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8第4章《平行四边形》阶段测试（一）
（测试范围：4.1~4.3 时间：120分钟 满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．矩形
C．正五边形 D．平行四边形
2．（3分）如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是（ ）
A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
3．（3分）若点P（a，2）与Q（﹣1，b）关于坐标原点对称，则a，b分别为（ ）
A．﹣1，2 B．1，﹣2 C．1，2 D．﹣1，﹣2
4．（3分）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
5．（3分）如图，在 ABCD中，延长边CD到E，使CE＝AD，连接BE交AD与点F，图中等腰三角形有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：
①∠BAC＝∠B1A1C1；②AC＝A1C1； ③OA＝OA1；
④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，则对角线BD的长是（ ）
A． B． C．12 D．14
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝7，EF＝3，则BC的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
9．（3分）在平行四边形ABCD中，∠ACB＝25°，现将平行四边形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠DFE的度数（ ）
A．135° B．120° C．115° D．100°
10．（3分）如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，则：①OE＝OF；②图中共有6对全等三角形；③若AB＝5，AC＝6，则2＜BD＜14；④S四边形ABFE＝S△ABC；其中正确的结论有（ ）
A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为 ．
12．（3分）过一个多边形的一个顶点出发有4条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形．
13．（3分）如图，已知△ABC与△ADE是成中心对称的两个图形，点A是对称中心，点B的对称点为点 ．
14．（3分）如图， ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，点E是BC的中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为 cm．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点坐标分别为A（3，a）、B（2，2）、C（b，3）、D（8，6），则a+b的值为 ．
16．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，点P在AD上，且AP＝2，若直线l经过点P，将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点Q，则线段PQ的长度为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）一个多边形，除了一个内角外，其余各内角之和为2750，求这个多边形的边数以及被去掉的那个内角的度数．
18．（8分）如图，在 ABCD中，DB＝CD，∠C＝70°，AE⊥BD于点E．试求∠DAE的度数．
19．（8分）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若AB，AC＝2，BD＝4．
（1）猜想∠BAO＝ ，并证明你的猜想．
（2）求平行四边形ABCD的周长．
（3）求点A到BC边的距离．
20．（8分）如图，在 ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠B＝65°，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
21．（8分）我们知道，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称．如图，在平面直角坐标系中， ABCD的四个顶点分别为A（1，3），B（0，1），C（3，1），D（4，3）．
（1）作 A1B1C1D1，使它与 ABCD关于原点O成中心对称．
（2）作 A1B1C1D1的两条对角线的交点O1关于y轴的对称点O2，则点O2的坐标为 ．
（3）若将点O2向上平移a个单位，使其落在 ABCD内部（不包括边界），则a的取值范围是 ．
22．（10分）在 ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG．
（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；
（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE．
23．（10分）有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程．
探索：
已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB＝CD．
应用此定理进行证明求解．
应用一、已知：如图2，AD∥BC，AD＜BC，AB＝CD．求证：∠B＝∠C；
应用二、已知：如图3，AD∥BC，AC⊥BD，AC＝4，BD＝3．求：AD与BC两条线段的和．
24．（12分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若，AB＝4，连接OE；
①若，求BD的长；
②设OB2﹣OA2＝k，试求k与m满足的关系．中小学教育资源及组卷应用平台
8第4章《平行四边形》阶段测试（一）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B B C D A A C B
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．矩形
C．正五边形 D．平行四边形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：A、等腰三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
C、正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，选项错误，不符合题意；
D、平行四边形不一定是轴对称图形，但不是中心对称图形，选项错误，不符合题意，
故选：B．
2．（3分）如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是（ ）
A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
【分析】证△AOE≌△COF（ASA），得OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，进而得出结论．
【解答】解：∵ ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，
又∵∠DOC＝∠BOA，
∴选项A成立，选项B、C、D不一定成立，
故选：A．
3．（3分）若点P（a，2）与Q（﹣1，b）关于坐标原点对称，则a，b分别为（ ）
A．﹣1，2 B．1，﹣2 C．1，2 D．﹣1，﹣2
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），那么，即可求得a与b的值．
【解答】解：∵点P（a，2）与Q（﹣1，b）关于坐标原点对称，
∴a，b分别为1，﹣2；
故选：B．
4．（3分）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．
【解答】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，
∴他走过的图形是正多边形，
∴边数n＝360°÷45°＝8，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80（m）．
故选：B．
5．（3分）如图，在 ABCD中，延长边CD到E，使CE＝AD，连接BE交AD与点F，图中等腰三角形有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由CE＝AD转化为CE＝CB得△BCE是等腰三角形，再通过角之间的转化即可得出图中所有等腰三角形的个数．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，则BC＝AD，且BC∥AD，
又∵CE＝AD，
∴CE＝BC，
∴△BCE是等腰三角形，
∴∠E＝∠CBE，
又∵BC∥AD，
∴∠AFB＝∠CBE，
又∵∠EFD＝∠AFB，
∴∠E＝∠EFD，
∴△DEF是等腰三角形，
同理可得△ABF是等腰三角形，
∴题中共有3个等腰三角形，
故选：C．
6．（3分）如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：
①∠BAC＝∠B1A1C1；②AC＝A1C1； ③OA＝OA1；
④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据中心对称的图形的性质即可判断．
【解答】解：中心对称的两个图形全等，则①②④正确；
对称点到对称中心的距离相等，故③正确；
故①②③④都正确．
故选：D．
7．（3分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，则对角线BD的长是（ ）
A． B． C．12 D．14
【分析】由∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，求得AC6，则CO＝AO＝3，所以DO＝BO，则BD＝2DO＝2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，
∴∠ACB＝90°，
∴AC6，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
∴CO＝AOAC＝3，
∴DO＝BO，
∴BD＝2DO＝2，
故选：A．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝7，EF＝3，则BC的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】先证明AB＝AF＝7，DC＝DE，再根据EF＝AF+DE﹣AD求出AD，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝7，BC＝AD，AD∥BC，
∵BF平分∠ABC交AD于F，CE平分∠BCD交AD于E，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，∠BCE＝∠DCE＝∠CED，
∴AB＝AF＝7，DC＝DE＝7，
∴EF＝AF+DE﹣AD＝7+7﹣AD＝3．
∴AD＝11，
∴BC＝11．
故选：A．
9．（3分）在平行四边形ABCD中，∠ACB＝25°，现将平行四边形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠DFE的度数（ ）
A．135° B．120° C．115° D．100°
【分析】首先根据折叠找到对应相等的角∠EAC＝∠ECA＝25°，∠FEC＝∠FEA，然后根据三角形内角和可算出∠AEC，进而可得∠FEC的度数，再根据平行四边形的性质可得∠DFE．
【解答】解：∵将平行四边形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，∠ACB＝25°，
∴∠EAC＝∠ECA＝25°，∠FEC＝∠FEA，
∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣（25°+25°）＝130°，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE＝180°﹣∠FEC＝180°﹣65°＝115°，
∴∠DFE的度数为115°．
故选：C．
10．（3分）如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，则：①OE＝OF；②图中共有6对全等三角形；③若AB＝5，AC＝6，则2＜BD＜14；④S四边形ABFE＝S△ABC；其中正确的结论有（ ）
A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【分析】根据平行四边形的性质得出，AD∥BC，证明△AEO≌△CFO，得出OE＝OF，判断①，根据平行四边形是中心对称图形，得出6对全等三角形，进而判断②，根据三角形三边关系得出BD的取值范围，判断③，根据全等三角形的性质判断④．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，，
∴∠AEO＝∠CFO，∠DAO＝∠BCA，
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，故①正确，
由平行四边形的中心对称性，全等三角形有：，△AOD≌△COB，△AOE≌△COF，△DOE≌△BOF，△ABD≌△CDB，△AOB≌△COD△ABC≌△CDA共6对，故②正确；
∵AC＝6，
∴AO＝3，
∴5﹣3＜OB＜5+3，
∴4＜BD＜16，故③错误；
∵△AEO≌△CFO，
∴S四边形ABFE＝S△ABC，故④正确；
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为 12 ．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°与外角和定理列出方程，求解即可得到答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得，
（n﹣2）×180°＝5×360°，
解得n＝12，
故答案为：12．
12．（3分）过一个多边形的一个顶点出发有4条对角线，这些对角线将这个多边形分成 5 个三角形．
【分析】根据过n边形的一个顶点，可以引出（n﹣3）条对角线，这些对角线把该多边形分成（n﹣2）个三角形，即可求解．
【解答】解：由题意可得：该多边形的边数为4+3＝7，
∴这些对角线将这个多边形分成三角形的个数为7﹣2＝5（个）．
故答案为：5．
13．（3分）如图，已知△ABC与△ADE是成中心对称的两个图形，点A是对称中心，点B的对称点为点D ．
【分析】根据中心对称的定义结合图形点B、D是对称点．
【解答】解：∵△ABC与△ADE是成中心对称的两个图形，
∴点B的对称点为点D．
故答案为：D．
14．（3分）如图， ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，点E是BC的中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为 4 cm．
【分析】由 ABCD的周长为26cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，可得AB+AD＝13cm，AD﹣AB＝3cm，求出AB和AD的长，得出BC的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．
【解答】解：∵ ABCD的周长为26cm，
∴AB+AD＝13cm，OB＝OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，
∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）＝AD﹣AB＝3cm，
∴AB＝5cm，AD＝8cm．
∴BC＝AD＝8cm．
∵AC⊥AB，E是BC中点，
∴AEBC＝4cm；
故答案为：4．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点坐标分别为A（3，a）、B（2，2）、C（b，3）、D（8，6），则a+b的值为 12 ．
【分析】利用中点坐标公式，构建方程求出a、b即可；
【解答】解：如图，连接AC、BD交于点O′．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO′＝O′C，BO′＝O′D，
∵A（3，a），B（2，2），C（b，3），D（8，6），
∴，，
∴a＝5，b＝7，
∴a+b＝12，
故答案为：12
16．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，点P在AD上，且AP＝2，若直线l经过点P，将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点Q，则线段PQ的长度为 ．
【分析】连接AC，BD交于O，过C作CM⊥AD于M，由四边形ABC是平行四边形，得AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，又PQ将平行四边形的面积平分，可知CQ＝AP＝2，DP＝BQ＝1，由含30°角的直角三角形性质可得DMCD＝1，CMDM，故M，P重合，再根据勾股定理可得答案．
【解答】解：连接AC，BD交于O，过C作CM⊥AD于M，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，
∵PQ将平行四边形的面积平分，
∴O在PQ上，
由平行四边形的中心对称性可知CQ＝AP＝2，
∴DP＝BQ＝1，
∵∠MDC＝∠ABC＝60°，
∴∠MCD＝30°，
∴DMCD＝1，CMDM，
∴DM＝DP，
∴M，P重合，
∴CP，∠PCQ＝∠DPC＝90°，
∴PQ，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）一个多边形，除了一个内角外，其余各内角之和为2750，求这个多边形的边数以及被去掉的那个内角的度数．
【分析】设这个多边形的边数是n，则其内角和为（n﹣2） 180°，根据“2570°＜这个多边形的内角和＜2570°+180°”列出不等式组，解不等式组求得n的取值范围，根据n为整数即可得n的值；然后根据求得n的值计算出这个多边形的内角和，减去2570°即可得答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则其内角和为（n﹣2） 180°．依题意，得2570°＜（n﹣2） 180°＜2570°+180°，
解这个不等式组，得：16n＜17，
因为n≥3，且n是整数，
所以n＝17，即这个多边形的边数为17，
被去掉的那个内角的度数为：（17﹣2） 180°﹣2570°＝130°．
18．（8分）如图，在 ABCD中，DB＝CD，∠C＝70°，AE⊥BD于点E．试求∠DAE的度数．
【分析】要求∠DAE，就要先求出∠ADB，要求出∠ADB，就要先求出∠DBC．利用DB＝DC，∠C＝70°即可求出．
【解答】解：∵DB＝DC，∠C＝70°，
∴∠DBC＝∠C＝70°，
由AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DBC＝70°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
那么∠DAE＝90°﹣∠ADE＝20°
故∠DAE的度数为20°．
19．（8分）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若AB，AC＝2，BD＝4．
（1）猜想∠BAO＝ 90° ，并证明你的猜想．
（2）求平行四边形ABCD的周长．
（3）求点A到BC边的距离．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再利用勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）先利用勾股定理可得，再根据平行四边形的周长公式即可得；
（3）过点A作AE⊥BC于点E，根据S平行四边形ABCD＝BC AE＝AB AC即可得．
【解答】解：（1）猜想∠BAO＝90°，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝2，BD＝4，
∴，
∵，
∴OA2+AB2＝4＝OB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠BAO＝90°，
故答案为：90°；
（2）∵，
∴，
则平行四边形ABCD的周长为；
（3）如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵，
∴S平行四边形ABCD＝BC AE＝AB AC，即，
解得，
即点A到BC边的距离为．
20．（8分）如图，在 ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠B＝65°，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
【分析】（1）先证明∠B＝∠EAD，然后利用SAS可进行全等的证明；
（2）先根据等腰三角形的性质可得∠BAE＝50°，求出∠BAC的度数，即可得∠AED的度数．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，
∴∠EAD＝∠AEB，
又∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠B＝∠EAD，
在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（SAS）．
（2）解：∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠BAE＝50°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝50°+25°＝75°，
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC＝75°．
21．（8分）我们知道，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称．如图，在平面直角坐标系中， ABCD的四个顶点分别为A（1，3），B（0，1），C（3，1），D（4，3）．
（1）作 A1B1C1D1，使它与 ABCD关于原点O成中心对称．
（2）作 A1B1C1D1的两条对角线的交点O1关于y轴的对称点O2，则点O2的坐标为 （2，﹣2） ．
（3）若将点O2向上平移a个单位，使其落在 ABCD内部（不包括边界），则a的取值范围是 3＜a＜5 ．
【分析】（1）依据中心对称的性质，即可得到 A1B1C1D1；
（2）作 A1B1C1D1的两条对角线的交点O1关于y轴的对称点O2，即可得出点O2的坐标；
（3）根据点O2到BC和AD的距离，即可得到a的取值范围．
【解答】解：（1）如图所示， A1B1C1D1即为所求；
（2）如图所示，点O2即为所求，点O2的坐标为（2，﹣2）；
故答案为：（2，﹣2）；
（3）将点O2向上平移a个单位，使其落在 ABCD内部（不包括边界），则a的取值范围是3＜a＜5，
故答案为：3＜a＜5．
22．（10分）在 ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG．
（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；
（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE．
【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可证△BDE是等腰直角三角形，可求DE＝2，在Rt△DEC中，利用勾股定理可求CE的长；
（2）在AD上截取MD＝DE，连接MG，由“SAS”可证△DGM≌△DGE，可得∠DEG＝∠DMG，由“ASA”可证△DGM≌△DGE，可得AM＝FB，可得结论．
【解答】解：（1）∵∠CBF＝90°，BD平分∠CBF，
∴∠DBC＝∠DBF＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BG＝DG，
∴∠ADB＝∠DBC＝45°，
∵BD平分∠ADE，
∴∠BDE＝45°＝∠DBC，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BE＝DE，∠BED＝90°，BDDE，
∵EG＝2，BG＝DG，
∴DB＝4，
∴DE＝2，
在Rt△DEC中，CE1；
（2）如图2，在AD上截取MD＝DE，连接MG，
在△DGM和△DGE中，
，
∴△DGM≌△DGE（SAS），
∴∠DEG＝∠DMG，
∵∠DEG＝∠BCD＝∠BAD，
∴∠DMG＝∠BAD，
∴AB∥MG，
∴∠BAF＝∠AGM，
∵AG＝AB，
∴∠ABG＝∠AGB，
∵∠ABG＝∠ABF+∠FBG，∠AGB＝∠GBC+∠GCB，
∴∠ABF＝∠BCG，
又∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝∠ABF，
在△BAF和△AGM中，
，
∴△BAF≌△AGM（ASA），
∴AM＝BF，
∴AD＝AM+DM＝BF+DE．
23．（10分）有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程．
探索：
已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB＝CD．
应用此定理进行证明求解．
应用一、已知：如图2，AD∥BC，AD＜BC，AB＝CD．求证：∠B＝∠C；
应用二、已知：如图3，AD∥BC，AC⊥BD，AC＝4，BD＝3．求：AD与BC两条线段的和．
【分析】探索：利用平行线的性质得出，∠DAC＝∠BCA，∠BAC＝∠DCA，进而得出△ABC≌△CDA（ASA），求出即可；
应用一：作DE∥AB交BC于点E，利用平行线的性质得出∠B＝∠C；
应用二：利用平行线的性质结合勾股定理得出AD与BC两条线段的和．
【解答】探索：
证明：如图1，
连接AC，
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA
∵AB∥CD．∴∠BAC＝∠DCA
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（ASA），
∴AB＝CD；
应用一：
证明：如图2，
作DE∥AB交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴AB＝DE
∵AB＝CD，
∴DE＝CD，
∴∠DEC＝∠C
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠DEC，
∴∠B＝∠C；
应用二、
解：如图3，
作DF∥AC交BC的延长线于点F
∵AD∥BC，∴AC＝DF、AD＝CF，
∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠BEC，
∵AC⊥BD，∴∠BDF＝∠BEC＝90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：BF＝5，
故BC+AD＝BC+CF＝BF＝5．
24．（12分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若，AB＝4，连接OE；
①若，求BD的长；
②设OB2﹣OA2＝k，试求k与m满足的关系．
【分析】（1）根据题目所给条件及角平分线的性质，证明△ABE为等边三角形即可得出答案；
（2）①由△ABE为等边三角形得出AB＝BE＝AE，再推导出AE＝EC，根据等腰三角形的性质得出OE⊥AC，得BA⊥AC，根据勾股定理求出OB，进而可以求出BD；
②过点A作AG⊥BC于G，过点D作DH⊥BA交BA延长线于H，设AD＝BC＝2x，则AB＝2mx，求出∠ADH＝30°，得到，则，进而可得BD2＝BH2+DH2＝4x2+8x+16，同理可得，AG2＝AB2﹣BG2＝12，CG＝BC﹣BG＝2x﹣2，则AC2＝AG2+CG2＝4x2﹣8x+16，根据OB2﹣OA2＝k可推出 k＝4x，再由AB＝2mx＝4，可得，据此可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB＝AE．
（2）解：①由（1）可知△ABE为等边三角形，即AB＝BE＝AE，
∵，
∴BE＝ABBC，
∴CE＝BC﹣BE＝2BE﹣BE＝BE，
∴AE＝CE，
∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，
∴AO＝CO，
∴EO⊥AC，OE∥AB，
∴BA⊥AC，
∵AB＝4，
∴ACAB＝4，
∴OAAC＝2，
∴OB2，
∴BD＝2OB＝4；
②如图所示，过点A作AG⊥BC于G，过点D作DH⊥BA交BA延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，，OBBD，
设AD＝BC＝2x，，
∴AB＝2mx，
∵∠BAD＝120°，
∴∠HAD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ADH＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴，
∴，
∴BH＝AB+AH＝x+4，
∴，
∵∠ABG＝60°，AG⊥BC，
∴∠BAG＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴，
∴AG2＝AB2﹣BG2＝12，CG＝BC﹣BG＝2x﹣2，
∴AC2＝AG2+CG2＝12+（2x﹣2）2＝4x2﹣8x+16，
∵OB2﹣OA2＝k，
∴，
∴，
∴，
∴x2+2x+4﹣x2+2x﹣4＝k，
∴k＝4x，
又∵AB＝2mx＝4，
∴，
∴．
