中小学教育资源及组卷应用平台
9第4章《平行四边形》阶段测试（二）
（测试范围：4.4~4.6 时间：120分钟 满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AB＝CD
2．（3分）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③
3．（3分）下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．2：3：2：3 C．2：3：3：2 D．1：2：2：3
4．（3分）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角小于或等于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于45°
B．两个锐角都小于45°
C．两个锐角都不大于45°
D．两个锐角都等于45°
5．（3分）如图所示，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）
A．OE＝OF B．DF＝BF C．CE＝AF D．∠ABE＝∠CDF
6．（3分）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，1），B（1，﹣1），C（m，n），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的m，n的值可以是（ ）
A．m＝4，n＝1 B．m＝﹣2，n＝﹣1 C．m＝4，n＝﹣1 D．m＝2，n＝2
7．（3分）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、DC、AC的中点．若∠ACB＝
64°，∠DAC＝22°，则∠EFG的度数为（ ）
A．42° B．38° C．32° D．21°
8．（3分）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为（ ）
A． B． C．3 D．4
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝6．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，四边形ABCD，对角线BD⊥AB，且平分∠ADC，O为BD的中点．在AD上取一点G，使CG⊥BD，E为垂足，取AC中点F，连结BF．下列五句判断：①AO＝2BO；②EF∥AD；③AG＝2BF；④连结DF，则四边形BCDF是平行四边形；⑤FB＝2GE．其中判断正确的是（ ）
A．①③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，校园内有一块等边三角形的空地ABC，已知M，N分别是边AB，AC的中点，量得MN＝4米，若想把四边形BCNM用围栏围成一个花园，则需要围栏的长是 ．
12．（3分）用反证法证明命题：“若a，b是整数，且ab能被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设 ．
13．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F在AD上，且AE＝DF，连接BE、CA、CE、CF，图中与△CDF面积相等的三角形共有 个．
14．（3分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝10，则EF的长为 ．
15．（3分）如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，且点A（3，0），B（0，6），另有两点C（﹣1，4），D（﹣3，4），若点P是直线AB上的动点，点Q为y轴上的动点，要使以Q，P，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且线段CD为平行四边形的一边，则满足条件的P点坐标为 ．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作EO⊥BD，交BC的延长线于点E，交CD于点F，若EF＝OF，∠CBD＝45°，，CE＝2，则下列所有正确结论的序号是 ①EO平分∠BED；②DE⊥BE；③CF：DF＝1：2；④．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C．
（1）求证：AD＝BC；
（2）若∠A＝40°，求∠B的度数．
18．（8分）用反证法证明：如图，D、E分别是△ABC的边AB．AC上的点，连接CD，BE．求证：CD与BE不能互相平分．
19．（8分）在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，点E、F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE，DF、AE，EF，DE与AF交于点O．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）若AB＝4，BC＝6．请直接写出DE的长为 ．
20．（8分）如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点G、H．
（1）求证：四边形AHCG是平行四边形；
（2）若DG＝3，AH＝2，求AB的长．
21．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数．
22．（10分）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，CD＝BD＝2，求AD的长．
23．（10分）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
24．（12分）如图1， ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动．
（1）如图1，运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠ABC的度数．
（2）如图2，在（1）问的条件下，连结BP并延长，与CD的延长线交于点F，连结AF，若AB＝8cm，BC上的高，求△APF的面积．
（3）如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝12cm，则t（t＞0）为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．中小学教育资源及组卷应用平台
9第4章《平行四边形》阶段测试（二）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B A B D D C D D
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AB＝CD
【分析】由平行四边形的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、四边形有可能是等腰梯形，故A符合题意；
B、由∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°得到∠B+∠C＝180°，判定AD∥BC，AB∥CD，推出四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；
C、由两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意；
D、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意．
故选：A．
2．（3分）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【解答】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：D．
3．（3分）下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．2：3：2：3 C．2：3：3：2 D．1：2：2：3
【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，由此即可判断．
【解答】解：A、C、D中的条件不能推出四边形ABCD的两组对角分别相等，故A、C、D不符合题意；
B、由条件推出∠A＝∠C，∠B＝∠D，判定四边形ABCD是平行四边形，故B符合题意．
故选：B．
4．（3分）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角小于或等于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于45°
B．两个锐角都小于45°
C．两个锐角都不大于45°
D．两个锐角都等于45°
【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，
应先假设两个锐角都大于45°．
故选：A．
5．（3分）如图所示，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）
A．OE＝OF B．DF＝BF C．CE＝AF D．∠ABE＝∠CDF
【分析】要想判断是平行四边形一般应用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明．根据平行四边形的判定和题中选项，逐个进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，
又∵OE＝OF
∴四边形DEBF是平行四边形．能判定是平行四边形．
B、DE＝BF，OD＝OB，缺少夹角相等．不能利用全等判断出OE＝OF
∴四边形DEBF不一定是平行四边形．
C、在△ADE和△CBF中，
∵，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE＝CF，
∴OE＝OF，故C能判定是平行四边形；
D、同理△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∴OE＝OF，故D能判定是平行四边形；
故选：B．
6．（3分）已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，1），B（1，﹣1），C（m，n），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的m，n的值可以是（ ）
A．m＝4，n＝1 B．m＝﹣2，n＝﹣1 C．m＝4，n＝﹣1 D．m＝2，n＝2
【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、O的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定C的位置，从而求出m，n的值．
【解答】解：根据题意画图如下：
∵O（0，0），A（3，1），B（1，﹣1），C（m，n），
∴分3种情况：
①以BO、AC为对角线，则BO、AC的中点重合，
∴，解得，
∴C″（﹣2，﹣2）；
②以BA、OC为对角线，则BA、OC的中点重合，
∴，解得，
∴C′（4，0），
③以BC、AO为对角线，则BC、AO的中点重合，
∴，解得，
∴C（2，2），
综上所述，点C的坐标可以为（﹣2，﹣2）或（4，0）或（2，2），
则符合条件的m，n的值可以是2，2，
故选：D．
7．（3分）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、DC、AC的中点．若∠ACB＝
64°，∠DAC＝22°，则∠EFG的度数为（ ）
A．42° B．38° C．32° D．21°
【分析】根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．
【解答】解：∵AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，
∴GFAD，GEBC．
又∵AD＝BC，
∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝22°，∠AGE＝∠ACB＝64°，
∴∠EFG＝∠FEG，
∵∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝22°+（180°﹣64°）＝138°，
∴∠EFG（180°﹣∠FGE）＝21°．
故选：D．
8．（3分）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为（ ）
A． B． C．3 D．4
【分析】首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA＝BE，CA＝CD，由△ABC的周长为26，及BC＝10，可得DE＝6，利用中位线定理可求出PQ．
【解答】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴∠QBA＝∠QBE，∠BQA＝∠BQE，BQ＝BQ，
∴△BQA≌△BQE，
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），
∴PQ是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝26﹣BC＝26﹣10＝16，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝6，
∴PQDE＝3．
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝6．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由AB2+AC2＝BC2，得出∠BAC＝90°，故①正确；再由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC＝DF＝AE＝4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB＝EF＝AD＝3，则四边形AEFD是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得∠DFE＝∠DAE＝150°，则③正确；最后求出S AEFD＝6，故④正确；即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB＝EF＝AD＝3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴AGAD，
∴S AEFD＝DF AG＝46，故④正确；
∴正确的个数是4个，
故选：D．
10．（3分）如图，四边形ABCD，对角线BD⊥AB，且平分∠ADC，O为BD的中点．在AD上取一点G，使CG⊥BD，E为垂足，取AC中点F，连结BF．下列五句判断：①AO＝2BO；②EF∥AD；③AG＝2BF；④连结DF，则四边形BCDF是平行四边形；⑤FB＝2GE．其中判断正确的是（ ）
A．①③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③④
【分析】根据含30°角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出△GED≌△CED（ASA），得到GE＝CE，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长AB，DC交于点H，然后证明出△ABD≌△HBD（ASA），得到AB＝HB，然后得到BF是△AHC的中位线，得到BF∥DH，然后结合等边对等角得到∠FEB＝∠FBD，然后结合AG＝2FE即可判断③；连接FD，证明出△FOB≌△COD（ASA），得到FB＝CD，然后结合FB∥CD，即可证明出四边形BCDF是平行四边形，进而可判断④；由GC＝2GE，FB＝CD，而GC≠CD，从而得到FB≠2GE，即可判断⑤．
【解答】解：∵BD⊥AB，但∠BAO≠30°，
∴AO≠2BO，故①错误；
∵CG⊥BD，
∴∠GED＝∠CED，
∵BD平分∠ADC，
∴∠GDE＝∠CDE，
又∵DE＝DE，
∴△GED≌△CED（ASA），
∴GE＝CE，
∵AC中点为F，
∴EF∥AD，故②正确；
如图所示，延长AB，DC交于点H
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝∠HBD＝90°，
∵∠GDE＝∠CDE，BD＝BD，
∴△ABD≌△HBD（ASA），
∴AB＝HB，
∵点F为AC的中点，
∴BF是△AHC的中位线，
∴BF∥DH，
∴∠FBD＝∠HDE，
∵∠GDE＝∠CDE，
∴∠FBD＝∠GDE，
∵EF∥AD，
∴∠FEB＝∠GDE＝∠FBD，
∴FB＝FE，
∵EF是△AGC的中位线，
∴AG＝2FE，
∴AG＝2BF，故③正确；
如图所示，连接FD，
∵∠FBO＝∠CDO，OB＝OD，∠FOB＝∠COD，
∴△FOB≌△COD（ASA），
∴FB＝CD，
又∵FB∥CD，
∴四边形BCDF是平行四边形，故④正确；
∵GC＝2GE，FB＝CD，而GC≠CD，
∴FB≠2GE，故⑤错误，
综上所述，其中判断正确的是②③④．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，校园内有一块等边三角形的空地ABC，已知M，N分别是边AB，AC的中点，量得MN＝4米，若想把四边形BCNM用围栏围成一个花园，则需要围栏的长是 20米 ．
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半求出BC的长，也就是等边三角形的边长，据此求解即可．
【解答】解：∵M，N分别是边AB，AC的中点，MN＝4米，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC＝2MN＝8米（三角形的中位线等于第三边的一半），
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝8米，
∴米，
∴篱笆的长＝BM+BC+CN+MN＝4+8+4+4＝20（米）．
故答案为：20米．
12．（3分）用反证法证明命题：“若a，b是整数，且ab能被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设 a，b都不能被5整除 ．
【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．
【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“a，b是整数，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．
所以假设a，b都不能被5整除．
13．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F在AD上，且AE＝DF，连接BE、CA、CE、CF，图中与△CDF面积相等的三角形共有 2 个．
【分析】根据平行四边形的性质，则AD到BC得距离是一定的，又由AE＝DF而解得△ABE，△AEC，△CFD面积相等．
【解答】解：由四边形ABCD是平行四边形且AE＝DF，
则AD到BC得距离是一定的．
故S△ABE＝S△AEC＝S△CFD．
故填2．
14．（3分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝10，则EF的长为 2.5 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝10，
∴，D是AB的中点，
在Rt△AFB中，，
∴EF＝DE﹣DF＝2.5，
故答案为：2.5．
15．（3分）如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，且点A（3，0），B（0，6），另有两点C（﹣1，4），D（﹣3，4），若点P是直线AB上的动点，点Q为y轴上的动点，要使以Q，P，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且线段CD为平行四边形的一边，则满足条件的P点坐标为 （2，2）或（﹣2，10） ．
【分析】先根据A，B两点求出AB的函数解析式，根据CD＝2可得出P点横坐标是2或﹣2，进而求得点P的坐标．
【解答】解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣2x+6，
∵C（﹣1，4），D（﹣3，4），
∴CD＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∵PQ∥CD，PQ＝CD＝2，
∴点P的横坐标为：2或﹣2，
当xP＝2时，y＝﹣2×2+6＝2，
∴P（2，2），
当xP＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）+6＝10，
∴P（﹣2，10），
故答案为：（2，2）或（﹣2，10）．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作EO⊥BD，交BC的延长线于点E，交CD于点F，若EF＝OF，∠CBD＝45°，，CE＝2，则下列所有正确结论的序号是 ①②④ ①EO平分∠BED；②DE⊥BE；③CF：DF＝1：2；④．
【分析】①根据平行四边形的性质得OB＝OD，则EO是线段BD的垂直平分线，进而得△EBD是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可对结论结论①进行判断；②根据∠CBD＝45°得△BED是等腰直角三角形，由此可对结论②进行判断；③过点F作FN⊥CE于点E，先求出DE＝BE＝6，，，证明△EFN是等腰直角三角形，可求出，根据勾股定理求得，，进而得到，即可得到CF：DF＝1：3，据此可对结论③进行判断，④分别求出S△CEF＝1.5，S ABCD＝24，进而可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EO⊥BD，交BC的延长线于点E，
∴OB＝OD，
∴EO是线段BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∴△EBD是等腰三角形，
∴EO平分∠BED，
故结论①正确；
②∵BE＝DE，∠CBD＝45°，
∴∠BDE＝∠CBD＝45°，
∴∠BED＝180°﹣∠BDC﹣∠CBD＝90°，
∴DE⊥BE，
故结论②正确；
③，CE＝2，如图，过点F作FN⊥CE于点E，
∵∠BED＝90°，BE＝DE，
∴△BED是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∵EO⊥BD，
∴，
∴△OBE是等腰直角三角形，，
∴∠BEO＝45°，
∴△EFN是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∵CE＝2，
∴，
在Rt△CFN中，由勾股定理得：，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
故结论③错误；
，
∴，
∵DE＝BE＝6，
∴BC＝BE﹣CE＝6﹣2＝4，
∴S ABCD＝BC DE＝4×6＝24，
∴，
∴，
故结论④正确．
综上所述：所有正确结论的序号是①②④．
故答案为：①②④．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C．
（1）求证：AD＝BC；
（2）若∠A＝40°，求∠B的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A+∠D＝180°，求出∠C+∠D＝180°，根据平行线的判定定理得出四边形ABCD是平行四边形，从而得出结论；
（2）根据AD∥BC得出∠A+∠B＝180°，从而得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC；
（2）解：由（1）知AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝140°．
18．（8分）用反证法证明：如图，D、E分别是△ABC的边AB．AC上的点，连接CD，BE．求证：CD与BE不能互相平分．
【分析】假设CD和BE互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到BD与CE平行，与已知相矛盾．
【解答】证明：假设CD和BE互相平分．
连接DE．
∵CD和BE互相平分，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴BD∥CE，
与D、E是△ABC上的边AB、AC上的点相矛盾．
故CD和BE不能互相平分．
19．（8分）在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，点E、F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE，DF、AE，EF，DE与AF交于点O．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）若AB＝4，BC＝6．请直接写出DE的长为 ．
【分析】（1）结合已知条件推知四边形AEFD是平行四边形，在该平行四边形的两条对角线互相平分；
（2）根据勾股定理求得AC的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求DO的长度，即可求得DE的长．
【解答】（1）证明：∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EFAB，
又AB＝2AD，即ADAB，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝6，
由勾股定理得AC，
又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，
∴，
在△AOD中，∠DAO＝90°，ADAB＝2，OA，
∴由勾股定理得，
∴DE＝2DO．
故答案为：．
20．（8分）如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点G、H．
（1）求证：四边形AHCG是平行四边形；
（2）若DG＝3，AH＝2，求AB的长．
【分析】（1）先证明AE∥CF，再由平行四边形的性质得AB∥CD，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AB＝CD，CG＝AH＝2，再证明BH＝DG＝3，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴四边形AHCG是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
由（1）可知，四边形AHCG是平行四边形，
∴CG＝AH＝2，
∴AB﹣AH＝CD﹣CG，
即BH＝DG＝3，
∴AB＝AH+BH＝2+3＝5．
21．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数．
【分析】（1）证明BC为△FEG的中位线，得出BC∥FG，BCFG，证出BC＝FH，由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，得出AD∥FH，AD＝FH，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出∠DAB＝∠DCB，由等腰三角形的性质得出∠BEC＝∠EBC＝75°，由三角形内角和定理求出∠BCE，得出∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝40°，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC为△FEG的中位线，
∴BC∥FG，BCFG，
又∵H是FG的中点，
∴FHFG，
∴BC＝FH．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠DCB，
∵CE＝CB，
∴∠BEC＝∠EBC＝75°，
∴∠BCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝10°+30°＝40°，
∴∠DAB＝40°．
22．（10分）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，CD＝BD＝2，求AD的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．根据全等三角形的判定和性质得到DF＝EF，于是得到四边形ADCE是平行四边形；
（2）过点C作CG⊥AB于点G．根据等腰三角形的性质求得∠CDG＝60°，在Rt△CGD中，∠DGC＝90°，∠DCG＝30°，求得GD＝1，，据此计算即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CE，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF＝CF，
在△AFD与△CFE中，
，
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴DF＝EF，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G，
∵CD＝BD，∠B＝30°，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∴∠CDG＝60°，
在Rt△CGD中，∠DGC＝90°，∠CDG＝60°，
∴∠DCG＝30°，
∴，
∴，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAG＝∠GCA＝45°，
∴，
∴．
23．（10分）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【分析】（1）由AM是△ABC的中线，D与M重合得DC＝BD，再根据平行线的性质证明∠EDC＝∠B，∠ECD＝∠ADB，即可证明△ECD≌△ADB，则DE与AB平行且相等，可证明四边形ABDE是平行四边形；
（2）过点M作MG∥AB交CG于点G，则四边形DEGM是平行四边形，得MG＝DE，由（1）得MG＝AB，所以DE＝AB，而DE∥AB，即可证明四边形ABDE是平行四边形．
【解答】（1）证明：如图1，∵AM是△ABC的中线，D与M重合，
∴DC＝BD，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B，
∵CE∥AM，即CE∥AD，
∴∠ECD＝∠ADB，
在△ECD和△ADB中，
，
∴△ECD≌△ADB（ASA），
∴DE＝AB，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）成立，理由如下：
如图2，过点M作MG∥AB交CE于点G，
∵DE∥AB，
∴MG∥DE，
∵CE∥AM，
∴四边形DEGM是平行四边形，
∴MG＝DE，
由（1）得MG＝AB，
∴DE＝AB，
∴四边形ABDE是平行四边形．
24．（12分）如图1， ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动．
（1）如图1，运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠ABC的度数．
（2）如图2，在（1）问的条件下，连结BP并延长，与CD的延长线交于点F，连结AF，若AB＝8cm，BC上的高，求△APF的面积．
（3）如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝12cm，则t（t＞0）为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【分析】（1）利用平行四边形性质和角平分线定义，推出∠DPC＝∠DCP，DP＝DC，进而证明△PDC是等边三角形，再结合等边三角形性质和平行四边形性质求解，即可解题；
（2）根据平行四边形性质得到AD∥BC，AB∥CD，PD＝DC＝AB＝8cm，推出∴S△APF+S△ABP＝S△ABP+S△PCD，进而得到S△APF＝S△PCD，再根据三角形面积公式求解，即可解题．
（3）根据运动情形得到点A到点D运动时间，以及点Q在BC边上往返运动2次，结合平行四边形判定定理，得到当PD＝BQ时，四边形PDQB是平行四边形，根据PD＝BQ分情况建立方程求解，即可解题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DPC＝∠PCB，
∵PC平分∠BCD，
∴∠PCD＝∠PCB，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC，
∵CD＝CP，
∴PC＝CD＝PD，
∴△PDC是等边三角形，∠D＝60°．
∴∠ABC＝∠D＝60°．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝8cm，BC到AD的距离为，
∴AD∥BC，AB∥CD，PD＝DC＝AB＝8cm，
∴，
∴，
∴S△APF+S△ABP＝S△ABP+S△PCD，
∴．
（3）∵AD∥BC，AD＝12cm，
∴BC＝AD＝12cm，
∵点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动．
则点A到点D运动时间为12÷1＝12（s），
∵点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，
则点Q在BC边上往返运动次，
∴当PD＝BQ时，四边形PDQB是平行四边形，
∵PD＝（12﹣t）cm，
∴12﹣t＝12﹣4t或12﹣t＝4t﹣12或12﹣t＝36﹣4t或12﹣t＝4t﹣36，
解得：t＝0（舍去）或4.8或8或9.6，
∴t为4.8s或8s或9.6s时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
