中小学教育资源及组卷应用平台
10第4章《平行四边形》单元测试A卷
（时间：120分钟 满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”（出自《礼记》）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、绘画、标识等设计上．下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）若一个多边形的内角和为900°，则从该多边形的一个顶点出发的对角线条数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（3分）如图，l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，点E，G为垂足，下列说法中错误的是（ ）
A．AB＝CD
B．CE＝FG
C．A，B两点间的距离就是线段AB的长
D．l1，l2间的距离就是线段AB的长
4．（3分）在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，若∠B＝55°，则∠D的度数是（ ）
A．145° B．125° C．55° D．35°
5．（3分）用反证法证明命题“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，第一步应假设（ ）
A．a不平行于b B．a平行于b
C．a不垂直于c D．b不垂直于c
6．（3分）如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．12 B．10 C．13 D．14
7．（3分）如图1， ABCD的对角线交于点O， ABCD的面积为120，AD＝20．将△AOD、△COB合并（A与C、D与B重合）形成如图2所示的轴对称图形，则MN+PQ＝（ ）
A．29 B．26 C．24 D．25
8．（3分）如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，若AE：AF＝2：3， ABCD的周长为40，则AB的长为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．13
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至F，使CFBC，若AB＝10，则EF的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（3分）如图，在 ABCD中（AB＜BC），∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O，动点E从点B出发，沿着B→C→D运动．设点E运动的路程为x，△BOE的面积为y，y关于x的函数图象如图所示．则AC长为（ ）
A．5 B．6 C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）直角坐标系中，点（3，﹣4）关于坐标原点O成中心对称的点的坐标是 ．
12．（3分）平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线长a的取值范围为 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若BC＝4，则点A的坐标是 ．
14．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为 ．
15．（3分）如图 ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝2，则AB的长是 ．
16．（3分）如图，在四边形ABCO中，AB∥OC，AO⊥OC，AB＝1，OC＝4，P为AO边上一个动点，连接PB并延长至点E，使得点E落在直线x＝3上，以PE，PC为边作 PEFC，连接PF，则PF长的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO．求证：四边形ABCD是平行四边形．
18．（8分）图1，图2，图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边所在直线称为格线，点O，A，B，C，E，F，G在格点上，D，H在格线上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图1中，画出△OAB关于点O的中心对称图形；
（2）在图2中，画出直线EM，使得EM∥CD；
（3）在图3中，画出△FHN，使得S△FHN＝S△FHG，且点N与点G不重合．
19．（8分）用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．
已知：在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B，∠C必为锐角．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＞AB．以点C为圆心，CD为半径作弧，交边BC于点E，连接AE．
（1）求证：∠ADE＝∠CDE；
（2）若AE⊥BC，CE＝5，BE＝3，求ED的长．
21．（8分）已知：如图，BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADE，AE⊥AC．
（1）证明：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AE＝DE＝5，AD＝6，求AC的长．
22．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H．
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）连接DG、BH，若DE＝BE，则四边形BGDH是什么特殊四边形？请证明你的结论．
23．（10分）如图，点E是 ABCD内一点，且AE⊥AD，CE⊥CD，∠AEB＝135°．
（1）写出图中与∠BAE相等的角，并证明；
（2）求证：CE＝CD；
（3）用等式表示线段BC，AE，BE之间的数量关系，并证明．
24．（12分）如图，在 ABCD中，∠A＝60°，AB＝6cm，连接BD，恰有∠ABD＝90°．过点D作DE⊥BC于点E．动点P从点D出发沿DA以1cm/s的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以4cm/s的速度沿射线BC运动，当点P到终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）AD的长度为 cm，DE的长度为 cm， ABCD的周长为 cm；
（2）①用含t的式子表示CQ；
②试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）若点P关于直线DQ对称的点恰好落在直线CD上，请直接写出点P，Q之间的距离．中小学教育资源及组卷应用平台
10第4章《平行四边形》单元测试A卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D C A A B A A D
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”（出自《礼记》）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、绘画、标识等设计上．下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A．图形是中心对称图形，符合题意；
B．图形不是中心对称图形，不符合题意；
C．图形不是中心对称图形，不符合题意；
D．图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
2．（3分）若一个多边形的内角和为900°，则从该多边形的一个顶点出发的对角线条数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据题意和多边形内角和公式求出多边形的边数，根据多边形的对角线的条数的计算公式计算即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝900°，
解得n＝7，
从七边形的其中一个顶点出发引的对角线的条数：7﹣3＝4，
故选：B．
3．（3分）如图，l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，点E，G为垂足，下列说法中错误的是（ ）
A．AB＝CD
B．CE＝FG
C．A，B两点间的距离就是线段AB的长
D．l1，l2间的距离就是线段AB的长
【分析】根据平行四边形的性质、平行线之间距离的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵l1∥l2，AB∥CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AB＝CD，故本选项不符合题意；
B、∵l1∥l2，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，
∴四边形CEGF是平行四边形，
∴CE＝FG，故本选项不符合题意；
C、∵AB是线段，
∴A、B两点间距离就是线段AB的长度，故本选项不符合题意；
D、∵CE⊥l2于点E，
∴l1与l2两平行线间的距离就是线段CE的长度，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，若∠B＝55°，则∠D的度数是（ ）
A．145° B．125° C．55° D．35°
【分析】由AB∥CD，AB＝CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，则∠D＝∠B＝55°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠B＝55°，
∴∠D＝55°，
故选：C．
5．（3分）用反证法证明命题“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，第一步应假设（ ）
A．a不平行于b B．a平行于b
C．a不垂直于c D．b不垂直于c
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，a∥b的反面是a不平行于b．
【解答】解：用反证法证明命题“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，第一步应假设a不平行于b，
故选：A．
6．（3分）如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．12 B．10 C．13 D．14
【分析】证明△AEO≌△CFO得OE＝OF＝1.5，AE＝CF，将四边形EFCD的周长转化为AD+CD+EF即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18，
∴AB＝CD，BC＝AD，OA＝OC，AD∥BC，
∴CD+AD＝9，∠OAE＝∠OCF，
在△AEO与△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE＝OF＝1.5，AE＝CF，
∴四边形EFCD的周长＝ED+CD+CF+EF
＝DE+CF+CD+EF
＝AD+CD+EF
＝9+3
＝12，
故选：A．
7．（3分）如图1， ABCD的对角线交于点O， ABCD的面积为120，AD＝20．将△AOD、△COB合并（A与C、D与B重合）形成如图2所示的轴对称图形，则MN+PQ＝（ ）
A．29 B．26 C．24 D．25
【分析】由题意可得对角线PQ⊥MN，且PQ与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出MN边的高即可．
【解答】解：如图，连接PQ，
则可得对角线PQ⊥MN，且PQ与平行四边形的高相等．
∵平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD＝20，
∴MN＝AD＝20，，
∴PQ＝6，
又MN＝20，
∴MN+PQ＝26，
故选：B．
8．（3分）如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，若AE：AF＝2：3， ABCD的周长为40，则AB的长为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．13
【分析】根据平行四边形的面积计算公式得出CD：BC＝2：3，然后根据平行四边形的对边相等进行求解．
【解答】解：在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AB＝CD，BC＝AD，S ABCD＝BC AE＝CD AF，
∵AE：AF＝2：3， ABCD的周长为40，
∴CD：BC＝2：3，CD+BC＝20，
∴CD＝8，BC＝12，
∴AB＝CD＝8，
故选：A．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至F，使CFBC，若AB＝10，则EF的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】由三角形中位线定理得出DE∥BC，由直角三角形斜边上的中线性质得出CDAB＝AD＝BD，又CFBC，即可证出四边形CDEF是平行四边形，由此即可解决问题．
【解答】解：∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥BC，DEBC，
∵CFBC，
∴DF∥CF，DF＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF＝CD，
∵∠ACB＝90°，AD＝DB，AB＝10，
∴CDAB＝5，
∴EF＝5．
故选：A．
10．（3分）如图，在 ABCD中（AB＜BC），∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O，动点E从点B出发，沿着B→C→D运动．设点E运动的路程为x，△BOE的面积为y，y关于x的函数图象如图所示．则AC长为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【分析】根据平行四边形性质可知S△BOC＝S△COD＝S△AOB，结合y关于x的函数图象可知当动点E从点B出发到达点C时，面积最大，y＝3，即S△BOC＝S△COD＝S△AOB＝3，作DH⊥BC，垂足为H，利用S△ABC＝2S△BOC＝6，BC+AB＝10，结合30度直角三角形性质可求出AB＝4，BC＝6，进而在Rt△AHB用勾股定理即可得到AC长．
【解答】解：在 ABCD中对角线AC、BD交于点O，则S△BOC＝S△COD＝S△AOB，
∵动点E从点B出发，沿着B→C→D运动．设点E运动的路程为x，△BOE的面积为y，y关于x的函数图象如图所示，
∴当动点E从点B出发到达点C时，面积最大，y＝3，即S△BOC＝S△COD＝S△AOB＝3，
当动点E从点B出发到达点D时，点E运动的路程为x＝10，即x＝BC+CD＝10，
设在 ABCD中，AB＝CD＝a，则BC＝10﹣a，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAH＝30°，
∴BHa，AHa，
∵S△ABC＝2S△BOC＝6，S△ABCBC AH，
∴6，
解得：a1＝4，a2＝6（不合题意舍去），
∵AB＜BC，故AB＝4，BC＝6，
∴，，HC＝BC﹣BH＝6﹣2＝4，
∴在Rt△AHB中，，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）直角坐标系中，点（3，﹣4）关于坐标原点O成中心对称的点的坐标是 （﹣3，4） ．
【分析】关于原点成中心对称的点的横纵坐标互为相反数，据此解答即可．
【解答】解：直角坐标系中，点（3，﹣4）关于坐标原点O成中心对称的点的坐标是（﹣3，4）．
故答案为：（﹣3，4）．
12．（3分）平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线长a的取值范围为 14＜α＜26 ．
【分析】首先根据题意画出图形，然后由平行四边形的性质，可得OCAC＝3，BD＝2OB，再由三角形三边关系，即可求得答案．
【解答】解：如图，若 ABCD中，BC＝10，AC＝6，
∴OCAC＝3，BD＝2OB，
∴10﹣3＜OB＜10+3，
即7＜OB＜13，
∴14＜BD＜26，
即它的另一条对角线长a的取值范围为：14＜α＜26．
故答案为：14＜α＜26．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若BC＝4，则点A的坐标是 （4，0） ．
【分析】根据平行四边形的性质得到OA＝BC＝4，再根据坐标与图形性质求解即可．
【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，BC＝4，
∴OA＝BC＝4，
∵点A在x轴上，
∴点A的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
14．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为 126° ．
【分析】根据翻折可得∠B′AC＝∠BAC，根据平行四边形可得DC∥AB，所以∠BAC＝∠DCA，从而可得∠1＝2∠BAC，进而求解．
【解答】解：根据翻折可知：∠B′AC＝∠BAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠DCA＝∠B′AC，
∵∠1＝∠B′AC+∠DCA，
∴∠1＝2∠BAC＝36°，
∴∠BAC＝18°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠2＝180°﹣18°﹣36°＝126°，
故答案为：126°．
15．（3分）如图 ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝2，则AB的长是 2 ．
【分析】根据平行四边形的判定定理可得四边形ABDE是平行四边形，得AB＝DE＝CD，即D是CE的中点，在直角△CEF中利用三角函数即可求得到CE的长，则求得CD，进而根据AB＝CD求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD．
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AB＝DE＝CD，
∴D为CE中点．
∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°．
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠ABC＝60°．
∴∠CEF＝30°．
∵EF＝2，
∴tan30°，
∵CF＝2，
∴AB＝CF＝2．
故答案为：2．
16．（3分）如图，在四边形ABCO中，AB∥OC，AO⊥OC，AB＝1，OC＝4，P为AO边上一个动点，连接PB并延长至点E，使得点E落在直线x＝3上，以PE，PC为边作 PEFC，连接PF，则PF长的最小值为 7 ．
【分析】作FN⊥x轴于N，EM⊥y轴于M，连接PF．利用全等三角形的性质证明CN＝EM＝3，推出ON＝7，根据垂线段最短解决问题即可．
【解答】解：作FN⊥x轴于N，EM⊥y轴于M，连接PF．
∵四边形PEFC是平行四边形，
∴PE＝CF，PE∥CF，
∴∠FCN＝∠ETC，
∵EM⊥y轴，FN⊥x轴，
∴∠EMP＝∠FNC＝90°，
∵EM∥TC，
∴∠MEP＝∠ETC，
∴∠MEP＝∠FCN，
∴△EMC≌△CNF（AAS），
∴EM＝CN＝3，
∵OC＝4，
∴ON＝OC+CN＝4+3＝7，
当PF⊥FN时，PF的值最小，此时PF＝ON＝7，
∴PF的最小值为7．
故答案为7．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】先根据AB∥CD可知∠ABO＝∠CDO，再由BO＝DO，∠AOB＝∠DOC即可得出△ABO≌△CDO，故可得出AB＝CD，进而可得出结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
在△ABO与△CDO中，
∵，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
18．（8分）图1，图2，图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边所在直线称为格线，点O，A，B，C，E，F，G在格点上，D，H在格线上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图1中，画出△OAB关于点O的中心对称图形；
（2）在图2中，画出直线EM，使得EM∥CD；
（3）在图3中，画出△FHN，使得S△FHN＝S△FHG，且点N与点G不重合．
【分析】（1）根据旋转的性质即可在图1中，画出△OAB关于点O的中心对称图形；
（2）在图2中，取格点O，连接DO并延长交网格线与点M，即可画出直线EM；
（3）在图3中，取格点O，连接HO并延长交网格线与点N，到点M，连接FN，NG，根据平行线间的距离处处相等可得S△FHN＝S△FHG．
【解答】解：（1）如图1所示，△OAB关于点O的中心对称图形是△OA′B′；
（2）如图2所示，所作直线EM即为所求；
（3）如图3所示，所作△FHN即为所求．
19．（8分）用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．
已知：在△ABC中，AB＝AC．求证：∠B，∠C必为锐角．
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理、反证法的一般步骤解答即可．
【解答】证明：假设∠B，∠C都不是锐角，即∠B，∠C为直角或钝角，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
当∠B、∠C都是直角时，∠B+∠C＝180°，
这与三角形内角和定理相矛盾，
当∠B、∠C都是钝角时，∠B+∠C＞180°，
这与三角形内角和定理相矛盾，
综上所述，假设不成立，
∴∠B，∠C必为锐角．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＞AB．以点C为圆心，CD为半径作弧，交边BC于点E，连接AE．
（1）求证：∠ADE＝∠CDE；
（2）若AE⊥BC，CE＝5，BE＝3，求ED的长．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及平行线的性质证明即可；
（2）如图，过点C作CH⊥AD于点H．求出AE＝4，利用勾股定理求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED，
∴∠ADE＝∠CDE；
（2）解：如图，过点C作CH⊥AD于点H．
∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴∠AEC＝∠EAC＝∠CHA＝90°，
∴四边形AECH是矩形，
∴AH＝EC＝5，
∵BE＝3，
∴AD＝BC＝8，
∴DH＝AD﹣AH＝3，
∵CD＝CE＝5，
∴AE＝CH4，
∴DE4．
21．（8分）已知：如图，BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADE，AE⊥AC．
（1）证明：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AE＝DE＝5，AD＝6，求AC的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，AB＝BC，根据全等三角形的性质得到∠DAB＝∠DCB，求得∠ADE＝∠DAB，根据平行四边形的判定定理得到四边形ABDE是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质得到AB＝BD＝5，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BD垂直平分AC，
∴AD＝CD，AB＝BC，
在△ADB与△CDB中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS），
∴∠DAB＝∠DCB，
∵∠BCD＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DAB，
∴DE∥AB，
∵AE⊥AC，
∴AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：∵AE＝DE＝5，四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝BD＝5，
∵AC⊥BD，
∴AD2﹣DF2＝AB2﹣BF2，
∴62﹣DF2＝52﹣（5﹣DF）2，
解得：DF＝3.6，
∴AF4.8，
∴AC＝2AF＝9.6，
故答案为：9.6．
22．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H．
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）连接DG、BH，若DE＝BE，则四边形BGDH是什么特殊四边形？请证明你的结论．
【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可；
（2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BG∥DH，∠BAD＝∠DCB，
∴∠AGE＝∠FHC，∠EAG＝∠FCH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（AAS）；
（2）解：四边形BGDH是菱形．
理由：如图，连接BD交EF于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵ED＝EB，
∴四边形BEDF是菱形，
∴OB＝OD，OE＝OF，BD⊥EF，
∵△AGE≌△CHF，
∴EG＝FH，
∴OG＝OH，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∵GH⊥EF，
∴四边形BGDH是菱形．
23．（10分）如图，点E是 ABCD内一点，且AE⊥AD，CE⊥CD，∠AEB＝135°．
（1）写出图中与∠BAE相等的角，并证明；
（2）求证：CE＝CD；
（3）用等式表示线段BC，AE，BE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得∠BAD＝∠BCD，由垂直的定义得∠EAD＝∠ECD＝90°，然后根据等式的性质可得∠BCE＝∠BAE；
（2）延长AE交BC于点F．由平行四边形的性质得AD∥BC，AB＝CD，求出∠EBF＝45°＝∠BEF可得BF＝EF，然后根据AAS证明△ABF≌△CEF即可证明结论成立；
（3）由△ABF≌△CEF可得CF＝AF，进而可证BC﹣AE＝2BF，然后由勾股定理得，从而可得．
【解答】解：（1）∠BCE＝∠BAE．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD．
∵AE⊥AD，CE⊥CD，
∴∠EAD＝∠ECD＝90°．
∴∠BCD﹣∠ECD＝∠BAD﹣∠EAD．
即∠BCE＝∠BAE．
（2）证明：如图，延长AE交BC于点F．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD．
∴∠BFA＝∠EAD＝90°．
∴∠AFC＝180°﹣∠BFA＝180°﹣90°＝90°＝∠BFA．
∵∠BEA＝135°，
∴∠BEF＝180°﹣∠BEA＝180°﹣135°＝45°．
在Rt△BFE中，∠EBF＝90°﹣∠BEF＝90°﹣45°＝45°＝∠BEF．
∴BF＝EF．
∵∠BCE＝∠BAE，∠AFC＝∠BFA，
∴△ABF≌△CEF（AAS）．
∴AB＝CE．
∵AB＝CD，
∴CE＝CD．
（3）．
由（2）△ABF≌△CEF可得，CF＝AF，
∴BC﹣AE＝BF+CF﹣AE＝BF+AF﹣AE＝BF+EF＝2BF．
在Rt△BFE中，∠BFE＝90°，由勾股定理可得，
BF2+EF2＝BE2，
BF2+BF2＝BE2，
2BF2＝BE2，
∴．
∴．
24．（12分）如图，在 ABCD中，∠A＝60°，AB＝6cm，连接BD，恰有∠ABD＝90°．过点D作DE⊥BC于点E．动点P从点D出发沿DA以1cm/s的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以4cm/s的速度沿射线BC运动，当点P到终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）AD的长度为 12 cm，DE的长度为 cm， ABCD的周长为 36 cm；
（2）①用含t的式子表示CQ；
②试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）若点P关于直线DQ对称的点恰好落在直线CD上，请直接写出点P，Q之间的距离．
【分析】（1）可求出∠ADB＝30°，根据含30°的直角三角形的性质可得AD＝2AB＝12cm，，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，则∠DBC＝30°，即可得，，即可求解；
（2）①分两种情况讨论，即可表示出CQ；
②分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得AP＝BQ，列出方程可求解；
（3）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝90°，∠A＝60°，AB＝6cm，
∴∠ADB＝30°，AD∥BC，
∴AD＝2AB＝12cm，，∠DBC＝∠ADB＝30°，
∵DE⊥BC，
∴，
∴ ABCD的周长为2（AB+AD）＝36cm；
故答案为：12；；36；
（2）①动点P从点D出发沿DA以1cm/s的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以4cm/s的速度沿射线BC运动，设点P运动的时间为t秒，
∴PD＝tcm，BQ＝4tcm，
当0≤t≤3时，CQ＝（12﹣4t）cm，
当3＜t≤12时，CQ＝（4t﹣12）cm；
∴；
②存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形；理由如下：
当CD为边即0≤t≤3时，
∵四边形PQCD是平行四边形，
∴PD＝CQ，
∴t＝12﹣4t，
解得：；
当CD为对角线即3＜t≤12时，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴PD＝CQ，
∴t＝4t﹣12，
解得：t＝4，
综上所述，t的值为或4；
（3）点P，Q之间的距离为或；理由如下：
如图2，当点P的对称点在线段CD上时，
∴∠ADQ＝∠QDC＝60°，
∴∠QDC＝∠BCD＝60°，
∴△CDQ是等边三角形，
∴CD＝CQ，
∴6＝12﹣4t，
解得：；
过点P作PH⊥BC于H，则，，
∵∠BCD＝60°，CD＝AB＝6cm，DE⊥BC，
∴，
∴，
在Rt△PQH中，由勾股定理得：；
如图3，当点P的对称点在线段CD的延长线上时，
∵∠CDA＝120°，
∴∠PDP'＝60°，
∵点P的对称点在线段CD的延长线上，
∴，
∵∠BCD＝∠CDQ+∠CQD，
∴∠CDQ＝∠CQD＝30°，
∴CD＝CQ＝6cm，
∴BQ＝12+6＝18（cm），
∴4t＝18，
解得：；
过点P作PH⊥BC于H，如图4，则，，
∵∠BCD＝60°，CD＝AB＝6cm，DE⊥BC，
∴，
∴，
在Rt△PQH中，由勾股定理得：；
综上所述：点P，Q之间的距离为或．
