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11第4章《平行四边形》单元测试B卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D D C A B B C
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】轴对称图形绕某一直线对折后，直线两旁能够完全重合，中心对称图形绕某点旋转180°后，能够与原图形完全重合，据此逐项判断即可．
【解答】解：A选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；
D选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：B．
2．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【分析】由平行四边形ABCD，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA＝OC，OB＝OD，又由∠ODA＝90°，根据勾股定理，即可求得AD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10cm，BD＝6cm
∴OA＝OCAC＝5cm，OB＝ODBD＝3cm，
∵∠ODA＝90°，
∴AD4cm．
故选：A．
3．（3分）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】先根据五边形内角和求得∠EDC+∠BCD，再根据角平分线求得∠PDC+∠PCD，最后根据三角形内角和求得∠P的度数．
【解答】解：∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，
∴∠EDC+∠BCD＝240°，
又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，
∴∠PDC+∠PCD＝120°，
∴△CDP中，∠P＝180°﹣（∠PDC+∠PCD）＝180°﹣120°＝60°．
故选：C．
4．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB∥DC B．AD＝BC C．∠ABC＝∠ADC D．∠DBC＝∠BAD
【分析】根据OA＝OC，OB＝OD先判断四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可进行判断．
【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，故A，B，C选项成立；
∵AD∥CB，
∴∠DBC＝∠ADB，
故D选项不成立．
故选：D．
5．（3分）已知，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（ ）cm．
A．11 B．22 C．20 D．20或22
【分析】设∠A的平分线交BC于点E，可证明AB＝EB，再分两种情况讨论，一是EB＝4cm，EC＝3cm，则AB＝EB＝4cm，BC＝EB+EC＝7cm；二是EB＝3cm，EC＝4cm时，则AB＝EB＝3cm，BC＝EB+EC＝7cm，分别求出平行四边形ABCD的周长即可．
【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝EB，
当EB＝4cm，EC＝3cm时，如图1，
则AB＝EB＝4cm，BC＝EB+EC＝7cm，
∴2AB+2BC＝2×4+2×7＝22（cm）；
当EB＝3cm，EC＝4cm时，如图2，
则AB＝EB＝3cm，BC＝EB+EC＝7cm，
∴2AB+2BC＝2×3+2×7＝20（cm），
∴平行四边形ABCD的周长为22cm或20cm，
故选：D．
6．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，P是边DC上的动点，G，H分别是PE，PF的中点，已知DC＝10cm，则GH的长是（ ）
A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm
【分析】连接EF，先证明出四边形ABFE是平行四边形，再证明GH是△PEF的中位线，进而求出GH的长度．
【解答】解：连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BD，AD∥BC，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB＝EF＝10cm，
∵G，H分别是PE，PF的中点，
∴GH是△PEF的中位线，
∴GHEF10＝5cm，
故选：C．
7．（3分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．有一个内角小于60°
【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．
故选：A．
8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，线段DE长是5，且两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，点M、N分别是DE、AB的中点，求MN的最小值（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】连接CM、CN，由勾股定理求得AB10，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CN＝5，CM＝2.5，当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可得出答案．
【解答】解：如图，连接CM、CN，
在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB10，
∵∠ACB＝90°，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CNAB10＝5，CMDE5＝2.5，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：5﹣2.5＝2.5，
故选：B．
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC中点，AF⊥CD于点F，AE＝4，AF＝6，则△AEF的面积是（ ）
A．6 B． C． D．9
【分析】求出AE＝EG，求出AG＝8，根据勾股定理求出GF，求出三角形AFG的面积，即可求出答案．
【解答】解：如图，延长DC和AE交于G，
∵E为BC的中点，
∴BE＝EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠ECG，
在△BAE和△CGE中，
，
∴△BAE≌△CGE（ASA），
∴AE＝CE＝4，AE＝EG，
即AG＝8，
∵AF⊥DC，
∴∠AFG＝90°，
由勾股定理得：GF2，
∴△AFG的面积是AF FG6×26，
∵AE＝EG，
∴S△AEFS△AFG63，
故选：B．
10．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，ABBC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB AC；③OB＝AB；④OEBC．其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由 ABCD中，∠ADC＝60°，易得△ABE是等边三角形，又由ABBC，证得①∠CAD＝30°；继而证得AC⊥AB，得②S ABCD＝AB AC；可得OE是三角形的中位线，证得④OEBC．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，
∵ABBC，
∴AEBC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S ABCD＝AB AC，故②正确，
∵ABBC，OBBD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
或∵AC⊥AB，
∴AB＜OB，故③错误；
∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE，
∴BE＝CE，
∵OA＝OC，
∴OEABBC，故④正确．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知一个正多边形每个内角都是120°，则这个正多边形共有 9 条对角线．
【分析】先根据正多边形内角和定理求出其边数，再根据多边形的对角线条数公式计算即可．
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
根据题意得，（n﹣2）×180°＝120°n，
解得n＝6，
∴正六边形共有9条对角线，
故答案为：9．
12．（3分）若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则ab＝ ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【解答】解：∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，
∴b＝﹣1，a＝2，
∴ab＝2﹣1．
故答案为：．
13．（3分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若AD＝6，则OE的长为 3 ．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半即可求出OE．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，
∵点E是边AB的中点，
∴AE＝EB，
∴OE是△ADB的中位线，
∴OEAD＝3，
故答案为：3．
14．（3分）用反证法证明“已知a＜|a|，求证：a必为负数”时第一步应假设a≥0 ．
【分析】直接利用反证法的基本步骤进而得出第一步．
【解答】解：用反证法证明“已知a＜|a|，求证：a必为负数”时第一步应假设：a≥0．
故答案为：a≥0．
15．（3分）如图，E是平行四边形ABCD内一点，△BCE是正三角形，连结AE，DE，若AE⊥AD，DE⊥EC，且AE＝1，∠ADE＝30°，则AB的长是 ．
【分析】先根据30度直角三角形的性质求得DE＝2AE＝2，，△EBC为等边三角形，得，在Rt△DEC中利用勾股定理，再结合平行四边形的性质就可得到答案．
【解答】解：∵AE⊥AD，DE⊥EC，
∴∠EAD＝90°，∠DEC＝90°，
∵∠ADE＝30°，AE＝1，
∴DE＝2AE＝2，，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，AB＝CD，
∵△EBC为等边三角形，
∴，
在Rt△DEC中，
∵DE＝2，，
∴，
∴．
故答案为：．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M在边BC上，点N在直线CD上，且M是BC的中点，连接AM、MN，若AM＝MN＝2，则DN的长为 6或 ．
【分析】分两种情况，一是点N为AM与DC的延长线的交点，可证明△NCM≌△ABM，得NC＝AB＝3，此时AM＝MN＝2，DN＝6；二是点N′在CN上，且AM＝MN′＝2，则MN′＝MN，作ME⊥CN于点E，则EN＝EN′，由勾股定理得22﹣EN2＝（）2﹣（3﹣EN）2，则EN，可求得DN′，于是得到问题的答案．
【解答】解：当点N为AM与DC的延长线的交点时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB＝3，
∴∠MCN＝∠B，
∵M是BC的中点，BC＝5，
∴CM＝BMBC5，
在△NCM和△ABM中，
，
∴△NCM≌△ABM（ASA），
∴NM＝AM＝2，NC＝AB＝3，
∴AM＝MN＝2，DN＝CD+NC＝3+3＝6；
当点N′在CN上，且AM＝MN′＝2时，则MN′＝MN，
作ME⊥CN于点E，则∠MEN＝∠MEC＝90°，EN＝EN′，
∵MN2﹣EN2＝CM2﹣CE2＝ME2，且CE＝3﹣EN，
∴22﹣EN2＝（）2﹣（3﹣EN）2，
∴EN，
∴NN′＝2EN＝2，
∴DN′＝6，
故答案为：6或．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．
【分析】根据等边对等角的性质求出∠DEC＝∠C，再由∠B＝∠C得∠DEC＝∠B，所以AB∥DE，得出四边形ABED是平行四边形，进而得出结论．
【解答】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C．
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD＝BE．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在BA的延长线上．
（1）按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．
①作∠CAM的平分线AN；
②作AC的中点O，连接BO，并延长BO交AN于点D，连接CD．
（2）在（1）的条件下，判断四边形ABCD的形状．并证明你的结论．
【分析】（1）作一个角的平分线和线段的垂直平分线可完成作图；
（2）由AB＝AC得∠ACB＝∠ABC，由AN平分∠MAC得到∠MAN＝∠CAN，则利用三角形外角的性质可得到∠ACB＝∠CAD，所以BC∥AD，于是可证明△BOC≌△DOA，得到BC＝AD，然后根据平行四边形的判定方法可判断四边形ABCD是平行四边形．
【解答】解：（1）作∠MAC的角平分线AN，作AC的中垂线得到AC的中点O，连接BO，并延长BO交AN于点D，连接CD，如图；
（2）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∵AB＝AC
∴∠ACB＝∠ABC，
∵AN平分∠MAC，
∴∠MAN＝∠CAN，
∵∠MAC＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴BC∥AD，
∵AC的中点是O
∴AO＝CO，
在△BOC和△DOA中
∴△BOC≌△DOA，
∴BC＝AD，
而BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
19．（8分）已知：如图，在 ABCD中，点E为边AC上，点F在边AD上，AF＝CE，EF与对角线BD相交于点O．
（1）求证：O是BD的中点．
（2）若EF⊥BD， ABCD的周长为24，连结BF，则△ABF的周长为 12 ．
【分析】（1）由已知条件容易证得四边形FBED是平行四边形，根据平行四边形的性质可证，EF与BD互相平分，所以O是BD的中点．
（2）根据线段的垂直平分线的性质，可知FB＝FD，推出△ABF的周长＝AB+AD即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接FB、DE，
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，
∴FD∥BE．
又∵AD＝BC，AF＝CE，
∴FD＝BE．
∴四边形FBED是平行四边形．
∴BO＝OD．
即O是BD的中点．
（2）解：∵OB＝OD，OF⊥BD，
∴FB＝FD，
△ABF的周长＝AB+AF+FB＝AB+AF+FD＝AB+AD24＝12．
故答案为：12．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）当AD＝4，BD＝3时，求CF的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到BD⊥AC，根据勾股定理得到AB＝BC5，根据三角形的中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD＝DC，
∵点E为AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴DE∥BF，
∵BD∥EF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝4，BD＝3，
∴AB＝BC5，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，
∵四边形DEFB是平行四边形，
∴BF＝DE，
∴CF＝BC+BF．
21．（8分）如图，在 ABCD中，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、F，连接DE，BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H．若 ABCD的周长为18，EH＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）证明：连接BD，交AC于点O，证明△ABE和△CDF全等得AE＝CF，进而得OE＝OF，再根据OB＝OD即可得出结论；
（2）过点E作EP⊥BC于点P，根据角平分线性质得EP＝EH＝2，再根据 ABCD的周长为18得AB+BC＝9，进而得S△ABE＝AB，S△BCE＝BC，然后根据S△ABC＝S△ABE+S△BCE即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝∠CDA，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠ABE∠ABC，∠CDF∠CDA，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
∴OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：过点E作EP⊥BC于点P，如图2所示：
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EH＝2，
∴EP＝EH＝2，
∵ ABCD的周长为18，
∴2（AB+BC）＝18，
∴AB+BC＝9，
∵S△ABEAB EH＝AB，S△BCEBC EP＝BC，
∴S△ABC＝S△ABE+S△BCE＝AB+BC＝9．
22．（10分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．
（1）若△DEC的面积为4，则四边形BDEF的面积为 8 ．
（2）求证：四边形BDEF是平行四边形．
（3）判断线段BF、AB、AC之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论．
【分析】（1）延长CE交AB于点G，证明△AEG≌△AEC（ASA），得EG＝EC，再由三角形中位线定理得DE∥AB，则四边形BDEF是平行四边形，即可求解；
（2）由全等三角形的性质得EG＝EC，再由三角形中位线定理得DE∥AB，然后由EF∥BC，即可得出四边形BDEF是平行四边形；
（3）由平行四边形的性质得BF＝DE，再由三角形中位线定理DEBG，则BFBG，然后由全等三角形的在得AG＝AC，即可得出结论．
【解答】（1）解：延长CE交AB于点G，如图所示：
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠GAE＝∠CAE，
在△AEG和△AEC中，
，
∴△AEG≌△AEC（ASA），
∴EG＝EC，
∵点D是边BC的中点，
∴DE为△BCG的中位线，BD＝CD，
∴DE∥AB，
又∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴平行四边形BDEF的面积＝2△DEC的面积＝2×4＝8，
故答案为：8；
（2）证明：由（1）得：△AEG≌△AEC（ASA），
∴EG＝EC，
∵点D是边BC的中点，
∴DE为△BCG的中位线，
∴DE∥AB，
又∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形；
（3）解：BF（AB﹣AC），证明如下：
由（2）得：四边形BDEF是平行四边形，DE为△BCG的中位线，
∴BF＝DE，DEBG，
∴BFBG，
由（1）得：△AEG≌△AEC，
∴AG＝AC，
∴BF（AB﹣AG）（AB﹣AC）．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10cm，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2cm，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）①CE＝ 2t﹣2 （用含t的式子表示）
②若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①由运动知CQ＝2t，即可得出结论；
②作AM⊥BC于M，由已知条件得出AB＝AC，由等腰三角形的性质得出BM＝CM，由直角三角形斜边上的中线性质得出AMBC＝5，证出△APN和△CEN是等腰直角三角形，得出PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，由CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2得出方程，解方程即可；
（2）分两种情况，由平行四边形的判定得出AP＝BE，得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）①由运动知，CQ＝2t，
∵在线段QC上取点E，使得QE＝2cm，
∴CE＝CQ﹣EQ＝2t﹣2，
故答案为2t﹣2；
②作AM⊥BC于M，如图所示，
∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，
∴∠C＝45°＝∠B，
∴AB＝AC，
∴BM＝CM，
∴cm，
∵AD∥BC，
∴∠PAC＝∠C＝45°，
∵PE⊥BC，
∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，
∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，
∴5﹣t＝2t﹣2，
∴t，
∴BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2；
（2）存在，t＝4或12s；理由如下：
（ⅰ）当点Q、E在线段BC上时，
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则AP＝BE，
∴t＝10﹣2t+2，
解得：t＝4，
（ⅱ）当点Q、E在线段CB的延长线上时，
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形
则AP＝BE，
t＝2t﹣2﹣10
解得：t＝12
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12秒．
24．（12分）在平行四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，∠BAD＝120°．
（1）若a＝b＝2，则BD＝ ；
（2）如图1，当a＝2时，求对角线BD的长（用含b的式子表示）；
（3）如图2，四边形BCEF，四边形AFED都是平行四边形，延长AF交BE于点G，若AG⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，求BE的长．
【分析】（1）延长BC，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，根据锐角三角函数的定义得出CE及DE的长，根据勾股定理即可得出结论；
（2）延长BC，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，根据∠BCD＝120°得出∠DCE＝60°再由DC＝a得出，故根据勾股定理即可得出结论，然后把a＝2代入即可；
（3）过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，先根据平行四边形的性质得出∠DCH＝60°，DC＝3，在Rt△BCH中求出CH和DH，再用勾股定理求出BD，然后利用平行四边形的性质求出DB＝1且DE⊥BE然后用勾股定理求BE即可．
【解答】解：（1）如图1，延长BC，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠ACD＝120°，
∴∠DCE＝60°，
∴DC＝a＝2，
∴，，
∵BC＝2，
∴BE＝3，
∴，
故答案为：；
（2）如图1，延长BC，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，
∵∠BCD＝120°，
∴∠DCE＝60°，
∵DC＝a，
∴，，
∵BC＝b，
∴，
∴，
当a＝2时，；
（3）过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3，∠BAD＝120°，
∴CD＝AB＝3，∠DCH＝∠ABC＝∠ADC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠DHC＝90°，
在Rt△DCH中，，，
∴，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴AF∥DE，AF＝DE＝1，
∵AG⊥BE，
∴DE⊥BE，
∴BE2＝BD2﹣DE2＝19﹣1＝18，
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11第4章《平行四边形》单元测试B卷
（时间：120分钟 满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
3．（3分）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
4．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB∥DC B．AD＝BC C．∠ABC＝∠ADC D．∠DBC＝∠BAD
5．（3分）已知，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（ ）cm．
A．11 B．22 C．20 D．20或22
6．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，P是边DC上的动点，G，H分别是PE，PF的中点，已知DC＝10cm，则GH的长是（ ）
A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm
7．（3分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．有一个内角小于60°
8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，线段DE长是5，且两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，点M、N分别是DE、AB的中点，求MN的最小值（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC中点，AF⊥CD于点F，AE＝4，AF＝6，则△AEF的面积是（ ）
A．6 B． C． D．9
10．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，ABBC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB AC；③OB＝AB；④OEBC．其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知一个正多边形每个内角都是120°，则这个正多边形共有 条对角线．
12．（3分）若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则ab＝ ．
13．（3分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若AD＝6，则OE的长为 ．
14．（3分）用反证法证明“已知a＜|a|，求证：a必为负数”时第一步应假设 ．
15．（3分）如图，E是平行四边形ABCD内一点，△BCE是正三角形，连结AE，DE，若AE⊥AD，DE⊥EC，且AE＝1，∠ADE＝30°，则AB的长是 ．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M在边BC上，点N在直线CD上，且M是BC的中点，连接AM、MN，若AM＝MN＝2，则DN的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在BA的延长线上．
（1）按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．
①作∠CAM的平分线AN；
②作AC的中点O，连接BO，并延长BO交AN于点D，连接CD．
（2）在（1）的条件下，判断四边形ABCD的形状．并证明你的结论．
19．（8分）已知：如图，在 ABCD中，点E为边AC上，点F在边AD上，AF＝CE，EF与对角线BD相交于点O．
（1）求证：O是BD的中点．
（2）若EF⊥BD， ABCD的周长为24，连结BF，则△ABF的周长为 ．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）当AD＝4，BD＝3时，求CF的长．
21．（8分）如图，在 ABCD中，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、F，连接DE，BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H．若 ABCD的周长为18，EH＝2，求△ABC的面积．
22．（10分）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．
（1）若△DEC的面积为4，则四边形BDEF的面积为 ．
（2）求证：四边形BDEF是平行四边形．
（3）判断线段BF、AB、AC之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10cm，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2cm，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）①CE＝ （用含t的式子表示）
②若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
24．（12分）在平行四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，∠BAD＝120°．
（1）若a＝b＝2，则BD＝ ；
（2）如图1，当a＝2时，求对角线BD的长（用含b的式子表示）；
（3）如图2，四边形BCEF，四边形AFED都是平行四边形，延长AF交BE于点G，若AG⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，求BE的长．
