平行四边形的性质——浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2025八下·诸暨期中）在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八下·杭州期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·北仑期末） 北北和仑仑想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形．
北北的作法： 如图1，在中，以点为圆心，为半径作弧交边于点E，再以点D为圆心，为半径作弧交边于点F，连结，则得到的四边形是菱形． 仑仑的作法： 如图2，在中，以点D为圆心，为半径作弧交边于点G，再以点G为圆心，为半径作弧交边于点H，连结，则得到的四边形是菱形．
下列说法正确的是（ ）
A．北北和仑仑的作法都正确
B．北北和仑仑的作法都错误
C．北北的作法正确，仑仑的作法错误
D．北北的作法错误，仑仑的作法正确
4．（2025八下·诸暨期末）已知一个平行四边形的对角线长度为6和8，那么这个平行四边形的边长长度取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八下·萧山期中）如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于直角坐标系的原点，点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八下·路桥期中）如图，在中，对角线，相交于点O，交的延长线于点E，连接，若的周长为28，的周长为18，则的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2025八下·义乌期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，点F，G为CD上的点，且FG=AB，连接OF，EG．若 ABCD的面积为60，则图中阴影部分面积是（ ）
A．12 B．15 C．15 D．
8．（2025八下·金东期末） 如图， 在 ABCD中， ， 在AC上取点P， 使， 连结BP， 过点P作交AB， CD分别于点E， F. 已知， ， ， 当x， y发生变化时， 下列代数式值不变的是（ ）
A． B． C．xy D．
二、填空题
9．能够平分平行四边形面积的直线有 条，它们的共同特点是 .
10．（2025八下·路桥期中）如图，在中，，，，则的面积为 ．
11．（2025八下·杭州月考）如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF=3，则CD= ．
12．（2025八下·余姚期中） 如图，在□ABCD中，∠A=60°，E是AD上一点，连接BE.将△ABE沿BE对折得到△A'BE，当点A'恰好落在边AD上时，A'D=4（图甲)，当点A'恰好落在边CD上时，A'D=6（图乙)，则AB= .
13．（2025八下·宁波期中）如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为 .
14．（2025八下·定海期中）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ．
三、解答题
15．（2025八下·杭州期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．
（1）如图1，画与关于点O的中心对称的图形；
（2）如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形；
（3）如图3，画一个以为对角线，且面积为9的平行四边形．
16．（2024八下·慈溪期中）已知：如图，在 ABCD中，点E为边AC上，点F在边AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O．
（1）求证：O是BD的中点，
（2）若EF⊥BD， ABCD的周长为24，连结BF，则△ABF的周长为
17．（2025八下·宁海期中）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为（14，0），点B的坐标为（18，4）.
（1）求点C的坐标和平行四边形OABC的对称中心的点的坐标；
（2）动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点继续运动到达终点结束.设点P运动的时间为t秒（t>0）.
①求当t=2时，△PQC的面积是多少
②求当t为何值时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半？（请直接写出答案!）
18．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形OABC 是平行四边形，点A的坐标为(14，0)，点 B 的坐标为(18，4 ).
（1）求点 C 的坐标和□OABC 的对称中心的坐标；
（2）动点 P 从点O 出发，沿 OA 方向以1个单位/秒的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 A 出发，沿AB 方向以2个单位/秒的速度向点 B 匀速运动.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点 P 运动的时间为t 秒(t>0)，则当 t 为何值时，△PQC 的面积是□OABC面积的一半
（3）当△PQC 的面积是□OABC 面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点 M，使以M，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 M 的坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】由平行四边形的邻角互补，对角相等得出∠A+∠B=180°，∠A=∠C，再结合已知可求出∠A的度数，从而即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形中，
对边平行且相等，故B，D成立；
平行四边形对角相等，故C成立；
平行四边形对角线互相平分，故AO=OC，DO=OB，故A不成立.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质求解即可.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】根据北北的作法可知，AD=AE=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AD=AE，
∴四边形AEFD为菱形，故北北作法是正确的；
根据仑仑的作法可知，AD=DG=GH，
无法判断四边形AEFD为平行四边形，故仑仑的作法是错误的，
故答案为：C.
【分析】结合北北和仑仑作图方法，根据平行四边形的性质，菱形的判定方法，分别进行判断即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：作平行四边形如图所示：
由题意可得：AC=8，BD=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=4，BO=DO=3，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】作平行四边形ABCD，可得AC=8，BD=6，利用平行四边形对角线互相平分的性质可得AO=4，BO=3，再结合三角形三边关系求解即可．
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，O为角线AC与BD的交点，
∴B与D关于原点O对称，
∵点D的坐标为（2，1），
∴点B的坐标为（-2，-1），
故选：A．
【分析】
关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标都互为相反数．
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且其的周长为28
∴，OB=OD，
又∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE=CD+CE，
∵的周长为18
∴
即
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】由平行四边形对角线互相平分得出OB=OD，由平行四边形对边相等结合周长可得BC+CD=14，易得OE是线段BD的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BE=DE=CD+CE，从而根据三角形周长计算方法结合△BCE的周长为18可列出方程求解即可.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接OE，设OF与EG交于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD
∵O为BD中点，E为BC中点，
∴OE=，OECD，
∴∠OEG=∠FGE，
∵∠OHE=∠FHG，
∴ OEH FGH，
∴OH=FH，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵
，
故答案为：B．
【分析】连接OE，设OF与EG交于点H，由平行四边形性质得OB=OD，AB=CD，由三角形中位线定理得出OE=FG，OE∥FG，由二直线平行，内错角相等得∠OEG=∠FGE，结合对顶角相等，可用“AAS”证△OEH≌△FGH，由全等三角形的对应边相等得OH=FH；设hBE为△BEO中BE边上的高，hBC为平行四边形ABCD中BC边上的高，根据平行四边形的中心对称性可求出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△BOE的面积为；设hAB为为平行四边形ABCD中AB边上的高，hOE是△OEH中OE边上的高，根据平行四边形的中心对称性及全等三角形对应边上的高线相等推出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△EOH的面积为，最后根据全等三角形的面积相等及S阴影=S△BEO+S△OEH+S△GFH计算即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；平行四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠ABC，
故∠CAB=α，则∠D=∠ABC=5∠CAB=5α，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAB=180°-∠D=180°-5α，∠DAC=∠ACB=∠DAB-∠CAB=180°-6α，
∵PC=BC，
∴，
∴∠PBE=∠ABC ∠CBP=5α 3α=2α，
在AE上取点G，连接PG，使AG=PG，如图：
则∠GAP=∠APG=α，
故∠PGE=∠GAP+∠APG=2α，
即∠PGE=∠PBE，
∴PG=PB=AG=y，
∵PE⊥AB，PG=PB，
∴GE=EB=2，
即AE-AG=GE=2，
故x-y=2.
故答案为：B .
【分析】根据平行四边形的对角相等，得出∠D=∠ABC，设∠CAB=α，则∠D=∠ABC=5α，根据平行四边形的对边平行，两直线平行，同旁内角互补，内错角相等得出∠DAB=180°-5α，∠DAC=∠ACB=180°-6α，根据等边对等角和三角形内角和是180°得出∠CBP=∠CPB=3α，求得∠PBE=2α，在AE上取点G，连接PG，使AG=PG，根据等边对等角得出∠GAP=∠APG=α，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出∠PGE=2α，根据等角对等边得出PG=PB=AG=y，根据等腰三角形底边上的中线、底边上的垂线、顶角的角平分线相互重合得出GE=EB=2，即可推得x-y=2，得出结论.
9．【答案】无数；过平行四边形对角线的交点
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：解：如图，连结AC，BD，
AC与BD 交于点 O，过点 O作直线分别交 BC，AD 于点 E，F，则线段EF分割的这两个四边形的面积相等.
故答案为：无数，过平行四边形对角线的交点.
【分析】根据平行四边形的中心对称性质解答即可.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作于E，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：．
【分析】过点A作AE⊥BC于E，则△ABE是等腰直角三角形，可得AE=BE，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长，最后根据矩形面积公式计算即可.
11．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在△ABD中，
∵ E、F分别是AD、BD的中点 ， EF=3，
∴AB=2EF=2×3=6，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=6
故答案为：6.
【分析】根据三角形的中位线定理可以得到AB的值，在根据平行四边形的性质可以得CD的值.
12．【答案】38
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作，
设，
在图甲中，
由轴对称的性质可得，
，
，
，
，
在图乙中，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
，
解得，
.
故答案为：38.
【分析】设，由轴对称的性质可得，，在图乙中作，利用含角直角三角形的性质可得CF=x+2，A'F=x-8，再利用勾股定理列出关于x的方程，解得x=19，进而求得AB的长度.
13．【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，，
∴，
∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO=QO，，
∴当PO最短时PQ也最短，
过O作BC的垂线OP'，如图所示：
∴PQ的最小值为2OP'，
∵∠ACB=90°-∠ABC=30°，
∴，
∴，
故答案为：3.
【分析】根据平行四边形的性质分析出当PO最短时PQ也最短，过O作BC的垂线OP'，即PQ的最小值为2OP'，利用勾股定理运算求解即可.
14．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，如图所示：
，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵垂线段最短，
∴当点与点重合时，最小，此时，
∴最小值为，
故答案为： ．
【分析】本题综合考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。解题时需要先添加辅助线：延长线段和，在的延长线上取点使得，连接。接着过点作于点，过点作交的延长线于点。
通过勾股定理和平行四边形的性质，可求出线段的长度。进一步证明四边形为平行四边形，再利用全等三角形的性质得到对应边相等。最后根据"垂线段最短"的性质确定最小值，即可完成解答。
15．【答案】（1）解：连接AO、BO并延长使，则j即为所求，如图所示：
（2）解：作四边形ABCD，如图所示：
，则四边形ABCD即为所求.
（3）解：作四边形ACBD，如图所示：
，则四边形ACBD即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称图形的性质直接作图即可；
（2）以AB为一条边，以4个小正方形的边长为底边的平行四边形即可；
（3）以AB为一条边，以3个小正方形的边长为底边的平行四边形即可．
（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：四边形即为所求；
∴；
（3）如图所示：四边形即为所求；
∴．
16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO
∵AD=BC，AF=EC，
∴AD－AF=BC－EC，即DF=EB.
在△FDO和△EBO中，
∴△FDO≌△EBO（ASA）
∴BO=OD．
即O是BD的中点．
（2）12．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）∵OB=OD，OF⊥BD，
∴FB=FD，
△ABF的周长=AB+AF+FB=AB+AF+FD=AB+AD=×24=12．
故答案为：12．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD=BC，AD//BC，继而可得DF=BE．再利用ASA证明△FDO≌△EBO，利用全等三角形的性质即可得到结论.
（2）根据线段的垂直平分线的性质，可知FB=FD，推出△ABF的周长=AB+AD即可解决问题；
17．【答案】（1）解：∵四边形0ABC是平行四边形，
∴AO=BC=14，
∵点A的坐标为(14，0)，点B的坐标为(18，4)
点C的坐标为（4，4)，平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为(9，2）
（2）解：①根据题意得：当t=2时，点P坐标为(2，0)，AQ=4.
∵点A的坐标为(14，0)，点B的坐标为(18，4)，
∴点Q坐标为(16，2).
②由题意得：
即
解得：
∴当时， △PQC的面积是平行四边形OABC的一半，
当当时， △PQC的面积是平行四边形OABC的一半，
综上所述，当时， △PQC的面积是平行四边形OABC的一半，
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；四边形-动点问题；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和直角坐标系中点的坐标可写出点C的坐标，根据平行四边形OABC的对称中心为对角线的中点，据此即可求解；
（2）①根据题意得：当t=2时，点P坐标为(2，0)，AQ=4，据此求出点Q的坐标，最后根据割补法计算面积即可；
②由题意得：列出方程，解得进而即可求解.
18．【答案】（1）解：∵四边形OABC是平行四边形，
∵点A的坐标为(14，0)， 点B的坐标为
∴点C的坐标为
平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为
（2）解：如图①，过点B作BD⊥x轴于点D，过点Q作QE⊥x轴于点E.
∵B(18，4)，
∴OD=18，BD=4.
∵A(14，0)，∴OA=14，
∴AD=OD-OA=4，
∴AB==8，易得∠ABD=30°.
∵QE⊥x轴，BD⊥x轴，
∴QE∥BD，
∴∠AQE=∠ABD=30°.
由题意，得AQ=2t，OP=t，
∴AE=t，AP=14-t，
∴QE==t.
根据题意，得S△PQC=S OABC-S△OPC-S△APQ-S△BCQ=S OABC，
∴S OABC=S△OPC+S△APQ+S△BCQ，
即×14×4=×t×4+(14-t)×t+×14×(4-t).
化简，得t2-2t=0，解得t1=4，t2=0(不合题意，舍去).
综上所述，当t=4时，△PQC的面积是 OABC面积的一半.
（3）解：M的坐标为(18，0)或(18，8)或(-10，0)
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质；四边形-动点问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：(3)当t=4时，由(2)知，此时P(4，0)，点Q与点B重合，画出图形如图②所示：
根据平行四边形的性质，可知点M的坐标为(18，0)或(18，8)或(-10，0).
【分析】(1)根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点C的坐标；平行四边形OABC的对称中心即是对角线的中点；
（2）根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的t值即可；
(3)根据(2)中得出的t值，找出此时点P和Q的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点M的坐标即可.
1 / 1平行四边形的性质——浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2025八下·诸暨期中）在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】由平行四边形的邻角互补，对角相等得出∠A+∠B=180°，∠A=∠C，再结合已知可求出∠A的度数，从而即可得出答案.
2．（2025八下·杭州期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在平行四边形中，
对边平行且相等，故B，D成立；
平行四边形对角相等，故C成立；
平行四边形对角线互相平分，故AO=OC，DO=OB，故A不成立.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质求解即可.
3．（2025八下·北仑期末） 北北和仑仑想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形．
北北的作法： 如图1，在中，以点为圆心，为半径作弧交边于点E，再以点D为圆心，为半径作弧交边于点F，连结，则得到的四边形是菱形． 仑仑的作法： 如图2，在中，以点D为圆心，为半径作弧交边于点G，再以点G为圆心，为半径作弧交边于点H，连结，则得到的四边形是菱形．
下列说法正确的是（ ）
A．北北和仑仑的作法都正确
B．北北和仑仑的作法都错误
C．北北的作法正确，仑仑的作法错误
D．北北的作法错误，仑仑的作法正确
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】根据北北的作法可知，AD=AE=DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AD=AE，
∴四边形AEFD为菱形，故北北作法是正确的；
根据仑仑的作法可知，AD=DG=GH，
无法判断四边形AEFD为平行四边形，故仑仑的作法是错误的，
故答案为：C.
【分析】结合北北和仑仑作图方法，根据平行四边形的性质，菱形的判定方法，分别进行判断即可.
4．（2025八下·诸暨期末）已知一个平行四边形的对角线长度为6和8，那么这个平行四边形的边长长度取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：作平行四边形如图所示：
由题意可得：AC=8，BD=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=4，BO=DO=3，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】作平行四边形ABCD，可得AC=8，BD=6，利用平行四边形对角线互相平分的性质可得AO=4，BO=3，再结合三角形三边关系求解即可．
5．（2025八下·萧山期中）如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线，交于直角坐标系的原点，点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，O为角线AC与BD的交点，
∴B与D关于原点O对称，
∵点D的坐标为（2，1），
∴点B的坐标为（-2，-1），
故选：A．
【分析】
关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标都互为相反数．
6．（2025八下·路桥期中）如图，在中，对角线，相交于点O，交的延长线于点E，连接，若的周长为28，的周长为18，则的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且其的周长为28
∴，OB=OD，
又∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE=CD+CE，
∵的周长为18
∴
即
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】由平行四边形对角线互相平分得出OB=OD，由平行四边形对边相等结合周长可得BC+CD=14，易得OE是线段BD的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BE=DE=CD+CE，从而根据三角形周长计算方法结合△BCE的周长为18可列出方程求解即可.
7．（2025八下·义乌期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，点F，G为CD上的点，且FG=AB，连接OF，EG．若 ABCD的面积为60，则图中阴影部分面积是（ ）
A．12 B．15 C．15 D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接OE，设OF与EG交于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD
∵O为BD中点，E为BC中点，
∴OE=，OECD，
∴∠OEG=∠FGE，
∵∠OHE=∠FHG，
∴ OEH FGH，
∴OH=FH，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵
，
故答案为：B．
【分析】连接OE，设OF与EG交于点H，由平行四边形性质得OB=OD，AB=CD，由三角形中位线定理得出OE=FG，OE∥FG，由二直线平行，内错角相等得∠OEG=∠FGE，结合对顶角相等，可用“AAS”证△OEH≌△FGH，由全等三角形的对应边相等得OH=FH；设hBE为△BEO中BE边上的高，hBC为平行四边形ABCD中BC边上的高，根据平行四边形的中心对称性可求出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△BOE的面积为；设hAB为为平行四边形ABCD中AB边上的高，hOE是△OEH中OE边上的高，根据平行四边形的中心对称性及全等三角形对应边上的高线相等推出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△EOH的面积为，最后根据全等三角形的面积相等及S阴影=S△BEO+S△OEH+S△GFH计算即可.
8．（2025八下·金东期末） 如图， 在 ABCD中， ， 在AC上取点P， 使， 连结BP， 过点P作交AB， CD分别于点E， F. 已知， ， ， 当x， y发生变化时， 下列代数式值不变的是（ ）
A． B． C．xy D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；平行四边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠ABC，
故∠CAB=α，则∠D=∠ABC=5∠CAB=5α，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAB=180°-∠D=180°-5α，∠DAC=∠ACB=∠DAB-∠CAB=180°-6α，
∵PC=BC，
∴，
∴∠PBE=∠ABC ∠CBP=5α 3α=2α，
在AE上取点G，连接PG，使AG=PG，如图：
则∠GAP=∠APG=α，
故∠PGE=∠GAP+∠APG=2α，
即∠PGE=∠PBE，
∴PG=PB=AG=y，
∵PE⊥AB，PG=PB，
∴GE=EB=2，
即AE-AG=GE=2，
故x-y=2.
故答案为：B .
【分析】根据平行四边形的对角相等，得出∠D=∠ABC，设∠CAB=α，则∠D=∠ABC=5α，根据平行四边形的对边平行，两直线平行，同旁内角互补，内错角相等得出∠DAB=180°-5α，∠DAC=∠ACB=180°-6α，根据等边对等角和三角形内角和是180°得出∠CBP=∠CPB=3α，求得∠PBE=2α，在AE上取点G，连接PG，使AG=PG，根据等边对等角得出∠GAP=∠APG=α，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出∠PGE=2α，根据等角对等边得出PG=PB=AG=y，根据等腰三角形底边上的中线、底边上的垂线、顶角的角平分线相互重合得出GE=EB=2，即可推得x-y=2，得出结论.
二、填空题
9．能够平分平行四边形面积的直线有 条，它们的共同特点是 .
【答案】无数；过平行四边形对角线的交点
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：解：如图，连结AC，BD，
AC与BD 交于点 O，过点 O作直线分别交 BC，AD 于点 E，F，则线段EF分割的这两个四边形的面积相等.
故答案为：无数，过平行四边形对角线的交点.
【分析】根据平行四边形的中心对称性质解答即可.
10．（2025八下·路桥期中）如图，在中，，，，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作于E，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：．
【分析】过点A作AE⊥BC于E，则△ABE是等腰直角三角形，可得AE=BE，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长，最后根据矩形面积公式计算即可.
11．（2025八下·杭州月考）如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF=3，则CD= ．
【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在△ABD中，
∵ E、F分别是AD、BD的中点 ， EF=3，
∴AB=2EF=2×3=6，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=6
故答案为：6.
【分析】根据三角形的中位线定理可以得到AB的值，在根据平行四边形的性质可以得CD的值.
12．（2025八下·余姚期中） 如图，在□ABCD中，∠A=60°，E是AD上一点，连接BE.将△ABE沿BE对折得到△A'BE，当点A'恰好落在边AD上时，A'D=4（图甲)，当点A'恰好落在边CD上时，A'D=6（图乙)，则AB= .
【答案】38
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作，
设，
在图甲中，
由轴对称的性质可得，
，
，
，
，
在图乙中，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
，
解得，
.
故答案为：38.
【分析】设，由轴对称的性质可得，，在图乙中作，利用含角直角三角形的性质可得CF=x+2，A'F=x-8，再利用勾股定理列出关于x的方程，解得x=19，进而求得AB的长度.
13．（2025八下·宁波期中）如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为 .
【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，，
∴，
∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO=QO，，
∴当PO最短时PQ也最短，
过O作BC的垂线OP'，如图所示：
∴PQ的最小值为2OP'，
∵∠ACB=90°-∠ABC=30°，
∴，
∴，
故答案为：3.
【分析】根据平行四边形的性质分析出当PO最短时PQ也最短，过O作BC的垂线OP'，即PQ的最小值为2OP'，利用勾股定理运算求解即可.
14．（2025八下·定海期中）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，如图所示：
，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵垂线段最短，
∴当点与点重合时，最小，此时，
∴最小值为，
故答案为： ．
【分析】本题综合考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。解题时需要先添加辅助线：延长线段和，在的延长线上取点使得，连接。接着过点作于点，过点作交的延长线于点。
通过勾股定理和平行四边形的性质，可求出线段的长度。进一步证明四边形为平行四边形，再利用全等三角形的性质得到对应边相等。最后根据"垂线段最短"的性质确定最小值，即可完成解答。
三、解答题
15．（2025八下·杭州期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．
（1）如图1，画与关于点O的中心对称的图形；
（2）如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形；
（3）如图3，画一个以为对角线，且面积为9的平行四边形．
【答案】（1）解：连接AO、BO并延长使，则j即为所求，如图所示：
（2）解：作四边形ABCD，如图所示：
，则四边形ABCD即为所求.
（3）解：作四边形ACBD，如图所示：
，则四边形ACBD即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称图形的性质直接作图即可；
（2）以AB为一条边，以4个小正方形的边长为底边的平行四边形即可；
（3）以AB为一条边，以3个小正方形的边长为底边的平行四边形即可．
（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：四边形即为所求；
∴；
（3）如图所示：四边形即为所求；
∴．
16．（2024八下·慈溪期中）已知：如图，在 ABCD中，点E为边AC上，点F在边AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O．
（1）求证：O是BD的中点，
（2）若EF⊥BD， ABCD的周长为24，连结BF，则△ABF的周长为
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO
∵AD=BC，AF=EC，
∴AD－AF=BC－EC，即DF=EB.
在△FDO和△EBO中，
∴△FDO≌△EBO（ASA）
∴BO=OD．
即O是BD的中点．
（2）12．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）∵OB=OD，OF⊥BD，
∴FB=FD，
△ABF的周长=AB+AF+FB=AB+AF+FD=AB+AD=×24=12．
故答案为：12．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD=BC，AD//BC，继而可得DF=BE．再利用ASA证明△FDO≌△EBO，利用全等三角形的性质即可得到结论.
（2）根据线段的垂直平分线的性质，可知FB=FD，推出△ABF的周长=AB+AD即可解决问题；
17．（2025八下·宁海期中）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为（14，0），点B的坐标为（18，4）.
（1）求点C的坐标和平行四边形OABC的对称中心的点的坐标；
（2）动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点继续运动到达终点结束.设点P运动的时间为t秒（t>0）.
①求当t=2时，△PQC的面积是多少
②求当t为何值时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半？（请直接写出答案!）
【答案】（1）解：∵四边形0ABC是平行四边形，
∴AO=BC=14，
∵点A的坐标为(14，0)，点B的坐标为(18，4)
点C的坐标为（4，4)，平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为(9，2）
（2）解：①根据题意得：当t=2时，点P坐标为(2，0)，AQ=4.
∵点A的坐标为(14，0)，点B的坐标为(18，4)，
∴点Q坐标为(16，2).
②由题意得：
即
解得：
∴当时， △PQC的面积是平行四边形OABC的一半，
当当时， △PQC的面积是平行四边形OABC的一半，
综上所述，当时， △PQC的面积是平行四边形OABC的一半，
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；四边形-动点问题；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和直角坐标系中点的坐标可写出点C的坐标，根据平行四边形OABC的对称中心为对角线的中点，据此即可求解；
（2）①根据题意得：当t=2时，点P坐标为(2，0)，AQ=4，据此求出点Q的坐标，最后根据割补法计算面积即可；
②由题意得：列出方程，解得进而即可求解.
18．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形OABC 是平行四边形，点A的坐标为(14，0)，点 B 的坐标为(18，4 ).
（1）求点 C 的坐标和□OABC 的对称中心的坐标；
（2）动点 P 从点O 出发，沿 OA 方向以1个单位/秒的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 A 出发，沿AB 方向以2个单位/秒的速度向点 B 匀速运动.当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设点 P 运动的时间为t 秒(t>0)，则当 t 为何值时，△PQC 的面积是□OABC面积的一半
（3）当△PQC 的面积是□OABC 面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点 M，使以M，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 M 的坐标.
【答案】（1）解：∵四边形OABC是平行四边形，
∵点A的坐标为(14，0)， 点B的坐标为
∴点C的坐标为
平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为
（2）解：如图①，过点B作BD⊥x轴于点D，过点Q作QE⊥x轴于点E.
∵B(18，4)，
∴OD=18，BD=4.
∵A(14，0)，∴OA=14，
∴AD=OD-OA=4，
∴AB==8，易得∠ABD=30°.
∵QE⊥x轴，BD⊥x轴，
∴QE∥BD，
∴∠AQE=∠ABD=30°.
由题意，得AQ=2t，OP=t，
∴AE=t，AP=14-t，
∴QE==t.
根据题意，得S△PQC=S OABC-S△OPC-S△APQ-S△BCQ=S OABC，
∴S OABC=S△OPC+S△APQ+S△BCQ，
即×14×4=×t×4+(14-t)×t+×14×(4-t).
化简，得t2-2t=0，解得t1=4，t2=0(不合题意，舍去).
综上所述，当t=4时，△PQC的面积是 OABC面积的一半.
（3）解：M的坐标为(18，0)或(18，8)或(-10，0)
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质；四边形-动点问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：(3)当t=4时，由(2)知，此时P(4，0)，点Q与点B重合，画出图形如图②所示：
根据平行四边形的性质，可知点M的坐标为(18，0)或(18，8)或(-10，0).
【分析】(1)根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点C的坐标；平行四边形OABC的对称中心即是对角线的中点；
（2）根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的t值即可；
(3)根据(2)中得出的t值，找出此时点P和Q的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点M的坐标即可.
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