三角形的中位线定理——浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．如图，要测量池塘边上B，C两点的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，连结AB，AC，并取AB，AC 的中点D，E，连结 DE，测出 DE 的长为20 米，则 B，C两点的距离为 ( )
A．20米 B．40米 C．20 米 D．20
2．如图，E，F 分别是AB，AC边的中点，D 是 EF 上一点，且∠ADC=90°.若 BC=10，AC=8，则 DE 的长为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图 4-5-4，∠BAC 的平分线交△ABC 的中位线 DE 于点 F.若AC=10，AB=6，则EF的长为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025八下·浙江期中） 如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC上的中线，过点 C作CG⊥AD于F，交AB于 G，连结EF，则线段EF的长为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2025八下·永康期末）在四边形ABCD中，AC⊥BD，E，F分别是AD和BC的中点。若AC=6，BD=8，则EF为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
6．（2025八下·象山竞赛）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，从每边中点分别作其余两边的垂线，这六条垂线围成六边形DPEQFR，设六边形DPEQFR的面积为，的面积为S，则（ ）
A．3：5 B．2：3 C．1：2 D．1：3
7．（2025八下·义乌期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，点F，G为CD上的点，且FG=AB，连接OF，EG．若 ABCD的面积为60，则图中阴影部分面积是（ ）
A．12 B．15 C．15 D．
8．（2024八下·义乌期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的一点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，∠BAE=35o，过点E作 EF⊥AB于点F，G为CE的中点，则∠FGB=( )
A．100o B．110o C．115o D．145o
二、填空题
9．（2025八下·路桥期中）如图，在中，，D是斜边的中点，平分且，连接，若，，则的长为 ．
10．（2025八下·新昌期末） 如图，在矩形ABCD中，， ，E，F分别为AB，BC的中点，连结CE，DF，取CE，DF的中点M，N，连结MN，则MN的长为 .
11．（2025八下·杭州月考）如图，在△ABC中，AC=BC，AB=4，D，E分别是AB，AC边上的中点，点F在BC的延长线上，CF=BC，若CF=3，则EF的长为 .
12．（2025八下·临海月考） 如图，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DC，若DC恰好平分，，则DE的长为 .
13．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4， CM是斜边AB上的中线，N是 BC 边上一点(不与点C重合)，D，E 分别为 CN，MN 的中点，则DE 的长是 .
14．（2025八下·鄞州期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于，两点，点C，D分别为线段，的中点，点为上一动点，当时，点的坐标为 ．
三、解答题
15． 如图6，在□AB-CD 中，E 是 CD 的中点，F 是 AE 的中点，FC与 BE相交于点 G.求证：GF=GC.
16．（2024八下·苍南期中）在中，，分别是边的中点，延长到点，使，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连结，交于点，若，求的长．
17．（2025八下·萧山期中）某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究．
（1）探究：如图，若四边形的对角线与相交于点，且，请你证明四边形的四条边长满足：．
（2）应用一：如图，若，分别是中，边上的中线．且垂足为，求证：；
（3）应用二：如图，中，点、、分别是，，的中点．若，，．求线段的长．
18．如图
（1）用数学的眼光观察
如图①，在四边形ABCD中，AD=BC，P 是对角线BD 的中点，M是AB 的中点，N 是DC 的中点.求证：
（2）用数学的思维思考
如图②，延长图①中的线段AD交MN 的延长线于点E，延长线段 BC交MN 的延长线于点 F.求证：
（3）用数学的语言表达
如图③，在 中，AC
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵D， E是AB， AC的中点，
∴DE是 的中位线，
又DE=20，
米.
故答案为：B.
【分析】根据三角形中位线定理即可得解.
2．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AB，AC边的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=BC.
∵BC=10，
∴EF=5.
在Rt△ADC中，
∵F是AC的中点，AC=8，
∴DF=AC=4，
∴DE=EF-DF=5-4=1.
故选A.
【分析】根据三角形的中位线定理得到EF=5，然后根据直角三角形斜边中线性质求出DF=4，然后根据线段的和差解答即可.
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， AC=10， AB=6，
∴∠CAF=∠DFA，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAF=∠CAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=DA =3，
∴EF= DE-DF =5-3=2，
故选： B.
【分析】根据三角形的中位线得出 ，求出AD=3，根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠DAF =∠DFA，根据等腰三角形的判定得出AD= DF=3， 再求出EF即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵ AD是∠BAC的角平分线，
∴∠DAG=∠DAC.
∵CG⊥AD于点F，
∴∠AFG=∠AFC=90°，
∵AF=AF，
∴△AFG≌△AFC(ASA)，
∴AG=AC=3，GF=FC.
∵AB=4，
∴BG=AB－AG=1.
∵GF=FC，AE是BC上的中线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴.
故答案为：B.
【分析】结合角平分线的定义和垂线的定义可证明△AFG≌△AFC，由全等三角形的性质可得AG=AC=3，GF=FC，继而可得BG长，再由中位线的定义即可求得EF的长.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点H，连接EH、FH，
∵E，H分别是AD和AB的中点，
∴EH//BD，，
同理可得：FH//AC
，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥FH，
∴
故答案为：.
【分析】取AB的中点H，连接EH、FH，根据三角形中位线定理得到EH//BD，，FH//AC，，证明EH⊥FH，根据勾股定理计算即可.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：过三个中点分别作六边形边的平行线，交于点M，
∴六边形DPEQFR被分成□DPEM，
□DMFR，平□EQFM，
∵DE、EF、DF分别是平行四边形的对角线，
∴S平行四边形 DPEM=2S△DEM，S平行四边形DMFR=2S△DFM，S平行四边形EQFM=2S△EFM，
：S六边形 DPEQFR=2S△DEF，
∵△DEF∽ΔABC，
∴，
∴S六边形 DPEQFR=S△ABC
∴S1： S=1： 2.
故选：C.
【分析】过三个中点分别作六边形边的平行线相交于点M，则此六边形被分割为3个平行四边形，从而得到六边形的面积等于三角形DEF面积的2倍，从而问题可解
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接OE，设OF与EG交于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD
∵O为BD中点，E为BC中点，
∴OE=，OECD，
∴∠OEG=∠FGE，
∵∠OHE=∠FHG，
∴ OEH FGH，
∴OH=FH，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵
，
故答案为：B．
【分析】连接OE，设OF与EG交于点H，由平行四边形性质得OB=OD，AB=CD，由三角形中位线定理得出OE=FG，OE∥FG，由二直线平行，内错角相等得∠OEG=∠FGE，结合对顶角相等，可用“AAS”证△OEH≌△FGH，由全等三角形的对应边相等得OH=FH；设hBE为△BEO中BE边上的高，hBC为平行四边形ABCD中BC边上的高，根据平行四边形的中心对称性可求出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△BOE的面积为；设hAB为为平行四边形ABCD中AB边上的高，hOE是△OEH中OE边上的高，根据平行四边形的中心对称性及全等三角形对应边上的高线相等推出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△EOH的面积为，最后根据全等三角形的面积相等及S阴影=S△BEO+S△OEH+S△GFH计算即可.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，分别延长交于，延长交于点，
，
，
由等腰三角形的判定得：
，
G为的中点，
，
，
由平行线的性质得：
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】分别延长交于，延长交于点，先根据等腰三角形的判定证明，再证明，可得再根据全等三角形的判定定理证明，可得，再由角的运算求解即可．
9．【答案】2
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长交于点F，
∵，
∴，
∵平分且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵D是的中点，E是的中点，
∴，
故答案为：2．
【分析】延长交于点F，首先在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB的长，由角平分线的定义得，由垂直定义得，从而根据“”证明，由全等三角形的对应边相等得，，根据线段和差求得，然后根据三角形中位线定理求得.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接CN并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90°，AD//BC
∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB=4，BC=8，
∴，，
∵AD//BC，
∴∠DPN=∠FCN，
在△PDN与△CFN中，
∴△PDN≌△CFN(AAS)，
∴PD=CF=4，CN=PN，
∴AP=AD-PD=4，
∴
∵点M是EC的中点，
∴
故答案为：.
【分析】连接CN并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A=90°，AD//BC，根据全等三角形的性质得到PD=CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论.
11．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DE、CD，
∵D，E分别是AB，AC边上的中点，AB=4，
∴DE是△ABC的中位线，BD=2，
∴，DE//BC，
∵，CF=3，
∴DE=CF，BC=6，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴EF=CD，
∵CA=CB，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】连接DE、CD，根据三角形中位线定理得到，DE//BC，根据平行四边形的性质得到CD=EF，根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，根据勾股定理求出CD，进而求出EF.
12．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，分别是边，的中点，
∴是的中位线.
∴，且.
∴.
又∵恰好平分 ，
∴.
∴.
∴为等腰三角形，且.
∴.
故答案为：3.
【分析】利用三角形中位线的性质得到，然后结合角平分的条件证明是等腰三角形，从而得知BC长，计算出DE长.
13．【答案】1
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： CM是斜边AB上的中线，
∵点D， E分别为CN， MN的中点，
∴DE是 的中位线，
故答案为：1.
【分析】由直角三角形斜边中线的性质求出CM，根据三角形中位线定理即可求出DE.
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形的中位线定理；一次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，如图所示．
点，分别为线段，的中点，
是的中位线，
，
，，
又，
，
点为线段的中点．
当时，，
点的坐标为，
点的坐标为；
当时，，
解得：，
点的坐标为，
又点为线段的中点，
点的坐标为，，
点的坐标为，．
故答案为：，．
【分析】连接，过点作于点；由三角形中位线平行第三边得，利用“两直线平行，内错角相等”及，可得出，结合等腰三角形的三线合一，可得出点为线段的中点；利用一次函数图象上点的坐标特征及坐标轴上点的坐标特点，可求出点B的坐标，根据中点坐标公式求出点D的坐标，由点的坐标与图形性质得到点C的纵坐标，进而将点C的纵坐标代入直线AB解析式算出对应的自变量x的值可得点C的坐标，再由中点坐标公式可得出点的坐标，进而可得出点的坐标．
15．【答案】证明：如图，取EB的中点H，连结FH，CH.
又∵F是AE的中点，
∴FH是△ABE的中位线，
∴FH∥AB，FH=AB.
∵四边形ABCD是平行四边形，E是CD的中点，∴CE∥AB，CE=CD，AB=CD，
∴CE∥FH，CE=FH，
∴四边形EFHC是平行四边形，∴GF=GC
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】取EB的中点H，连结FH，CH，根据三角形的中位线性质定理得到FH∥AB，FH=AB，然后根据平行四边形的性质得到CE∥AB，CE=CD，即可得到CE∥FH，CE=FH，进而得到四边形EFHC是平行四边形，然后根据平行四边形的对角线互相平分得到结论即可.
16．【答案】（1）证明：∵分别为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
在平行四边形中，，，
在中，，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（）利用三角形中位线的性质求出，，再求出，最后根据平行四边形的判定方法证明求解即可；
（）根据题意先求出，，再利用勾股定理求出AC的值，最后计算求解即可.
17．【答案】（1）证明：
如图由勾股定理得：
，
，
（2）证明：如图所示，连接.
，
，
，，
，，
，
，，，
，
（3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为，
点、分别是，的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
，
，分别是的中线，
由（2）的结论得：，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）直接应用勾股定理即可；
（2）连接，由（1）的结论可得，再由中点的概念结合中位线定理得，再等量代换即可；
（3）连接交于，设与的交点为，由中位线定理结合已知可得，再平行四边形的性质与判定可得四边形是平行四边形，则EF＝AB且点P平分AF，再由（2）的结论可得AF、AE与AE的数量关系，由于AE等于AD的一半，再分别代入EF、AE的值即可.
（1）
如图由勾股定理得：
，
，
（2）证明：连接，
，
，
，，
，，
，
，，，
，
（3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为，
点、分别是，的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
，
，分别是的中线，
由（2）的结论得：，
，
．
18．【答案】（1）证明：∵P是BD的中点，N是DC的中点，M是AB的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN=BC，PM=AD.
又∵AD=BC，∴PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM
（2）证明：由(1)知，PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PM∥AD，
∴∠PNM=∠F，∠PMN=∠AEM.
又∵∠PNM=∠PMN，
∴∠AEM=∠F
（3）解：△CGD是直角三角形.
证明：如图，连结BD，取BD的中点P，连结PM，PN.
∵P是BD的中点，N是DC的中点，M是AB的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PN=BC，PM∥AD，PM=AD.
∵AD=BC，∴PM=PN，
∴∠PNM=∠PMN.
∵PM∥AD，∴∠PMN=∠ANM=60°，
∴∠PNM=∠PMN=60°.
∵PN∥BC，∴∠CGN=∠PNM=60°.
又∵∠CNG=∠ANM=60°，
∴△CGN是等边三角形，∴CN=GN.
又∵CN=DN，∴DN=GN，
∴∠NDG=∠NGD=∠CNG=30°，
∴∠CGD=∠CGN+∠NGD=90°，
∴△CGD是直角三角形
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)证PN是△BCD的中位线， PM是△ABD的中位线，则 再证PM=PN，即可得出结论；
(2)由三角形中位线定理得PN∥BC，PM∥AD，再由平行线的性质得∠PNM =∠F， ∠PMN =∠AEM， 然后由 (1) 可知∠PNM =∠PMN， 即可得出结论；
(3)连接BD， 取BD的中点P， 连接PM、PN， 由三角形中位线定理得. AD， 再证△CGN是等边三角形.得CN=GN， 则DN=GN， 然后由等腰三角形的性质得∠NDG=∠NGD=30°， 则∠CGD=∠CGN+∠NGD=90°， 即可得出结论.
1 / 1三角形的中位线定理——浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．如图，要测量池塘边上B，C两点的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，连结AB，AC，并取AB，AC 的中点D，E，连结 DE，测出 DE 的长为20 米，则 B，C两点的距离为 ( )
A．20米 B．40米 C．20 米 D．20
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵D， E是AB， AC的中点，
∴DE是 的中位线，
又DE=20，
米.
故答案为：B.
【分析】根据三角形中位线定理即可得解.
2．如图，E，F 分别是AB，AC边的中点，D 是 EF 上一点，且∠ADC=90°.若 BC=10，AC=8，则 DE 的长为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AB，AC边的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=BC.
∵BC=10，
∴EF=5.
在Rt△ADC中，
∵F是AC的中点，AC=8，
∴DF=AC=4，
∴DE=EF-DF=5-4=1.
故选A.
【分析】根据三角形的中位线定理得到EF=5，然后根据直角三角形斜边中线性质求出DF=4，然后根据线段的和差解答即可.
3．如图 4-5-4，∠BAC 的平分线交△ABC 的中位线 DE 于点 F.若AC=10，AB=6，则EF的长为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， AC=10， AB=6，
∴∠CAF=∠DFA，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAF=∠CAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=DA =3，
∴EF= DE-DF =5-3=2，
故选： B.
【分析】根据三角形的中位线得出 ，求出AD=3，根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠DAF =∠DFA，根据等腰三角形的判定得出AD= DF=3， 再求出EF即可.
4．（2025八下·浙江期中） 如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC上的中线，过点 C作CG⊥AD于F，交AB于 G，连结EF，则线段EF的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵ AD是∠BAC的角平分线，
∴∠DAG=∠DAC.
∵CG⊥AD于点F，
∴∠AFG=∠AFC=90°，
∵AF=AF，
∴△AFG≌△AFC(ASA)，
∴AG=AC=3，GF=FC.
∵AB=4，
∴BG=AB－AG=1.
∵GF=FC，AE是BC上的中线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴.
故答案为：B.
【分析】结合角平分线的定义和垂线的定义可证明△AFG≌△AFC，由全等三角形的性质可得AG=AC=3，GF=FC，继而可得BG长，再由中位线的定义即可求得EF的长.
5．（2025八下·永康期末）在四边形ABCD中，AC⊥BD，E，F分别是AD和BC的中点。若AC=6，BD=8，则EF为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点H，连接EH、FH，
∵E，H分别是AD和AB的中点，
∴EH//BD，，
同理可得：FH//AC
，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥FH，
∴
故答案为：.
【分析】取AB的中点H，连接EH、FH，根据三角形中位线定理得到EH//BD，，FH//AC，，证明EH⊥FH，根据勾股定理计算即可.
6．（2025八下·象山竞赛）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，从每边中点分别作其余两边的垂线，这六条垂线围成六边形DPEQFR，设六边形DPEQFR的面积为，的面积为S，则（ ）
A．3：5 B．2：3 C．1：2 D．1：3
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：过三个中点分别作六边形边的平行线，交于点M，
∴六边形DPEQFR被分成□DPEM，
□DMFR，平□EQFM，
∵DE、EF、DF分别是平行四边形的对角线，
∴S平行四边形 DPEM=2S△DEM，S平行四边形DMFR=2S△DFM，S平行四边形EQFM=2S△EFM，
：S六边形 DPEQFR=2S△DEF，
∵△DEF∽ΔABC，
∴，
∴S六边形 DPEQFR=S△ABC
∴S1： S=1： 2.
故选：C.
【分析】过三个中点分别作六边形边的平行线相交于点M，则此六边形被分割为3个平行四边形，从而得到六边形的面积等于三角形DEF面积的2倍，从而问题可解
7．（2025八下·义乌期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，点F，G为CD上的点，且FG=AB，连接OF，EG．若 ABCD的面积为60，则图中阴影部分面积是（ ）
A．12 B．15 C．15 D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接OE，设OF与EG交于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD
∵O为BD中点，E为BC中点，
∴OE=，OECD，
∴∠OEG=∠FGE，
∵∠OHE=∠FHG，
∴ OEH FGH，
∴OH=FH，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵
，
故答案为：B．
【分析】连接OE，设OF与EG交于点H，由平行四边形性质得OB=OD，AB=CD，由三角形中位线定理得出OE=FG，OE∥FG，由二直线平行，内错角相等得∠OEG=∠FGE，结合对顶角相等，可用“AAS”证△OEH≌△FGH，由全等三角形的对应边相等得OH=FH；设hBE为△BEO中BE边上的高，hBC为平行四边形ABCD中BC边上的高，根据平行四边形的中心对称性可求出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△BOE的面积为；设hAB为为平行四边形ABCD中AB边上的高，hOE是△OEH中OE边上的高，根据平行四边形的中心对称性及全等三角形对应边上的高线相等推出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△EOH的面积为，最后根据全等三角形的面积相等及S阴影=S△BEO+S△OEH+S△GFH计算即可.
8．（2024八下·义乌期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的一点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，∠BAE=35o，过点E作 EF⊥AB于点F，G为CE的中点，则∠FGB=( )
A．100o B．110o C．115o D．145o
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，分别延长交于，延长交于点，
，
，
由等腰三角形的判定得：
，
G为的中点，
，
，
由平行线的性质得：
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】分别延长交于，延长交于点，先根据等腰三角形的判定证明，再证明，可得再根据全等三角形的判定定理证明，可得，再由角的运算求解即可．
二、填空题
9．（2025八下·路桥期中）如图，在中，，D是斜边的中点，平分且，连接，若，，则的长为 ．
【答案】2
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长交于点F，
∵，
∴，
∵平分且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵D是的中点，E是的中点，
∴，
故答案为：2．
【分析】延长交于点F，首先在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB的长，由角平分线的定义得，由垂直定义得，从而根据“”证明，由全等三角形的对应边相等得，，根据线段和差求得，然后根据三角形中位线定理求得.
10．（2025八下·新昌期末） 如图，在矩形ABCD中，， ，E，F分别为AB，BC的中点，连结CE，DF，取CE，DF的中点M，N，连结MN，则MN的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接CN并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90°，AD//BC
∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB=4，BC=8，
∴，，
∵AD//BC，
∴∠DPN=∠FCN，
在△PDN与△CFN中，
∴△PDN≌△CFN(AAS)，
∴PD=CF=4，CN=PN，
∴AP=AD-PD=4，
∴
∵点M是EC的中点，
∴
故答案为：.
【分析】连接CN并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A=90°，AD//BC，根据全等三角形的性质得到PD=CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论.
11．（2025八下·杭州月考）如图，在△ABC中，AC=BC，AB=4，D，E分别是AB，AC边上的中点，点F在BC的延长线上，CF=BC，若CF=3，则EF的长为 .
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DE、CD，
∵D，E分别是AB，AC边上的中点，AB=4，
∴DE是△ABC的中位线，BD=2，
∴，DE//BC，
∵，CF=3，
∴DE=CF，BC=6，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴EF=CD，
∵CA=CB，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】连接DE、CD，根据三角形中位线定理得到，DE//BC，根据平行四边形的性质得到CD=EF，根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，根据勾股定理求出CD，进而求出EF.
12．（2025八下·临海月考） 如图，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DC，若DC恰好平分，，则DE的长为 .
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，分别是边，的中点，
∴是的中位线.
∴，且.
∴.
又∵恰好平分 ，
∴.
∴.
∴为等腰三角形，且.
∴.
故答案为：3.
【分析】利用三角形中位线的性质得到，然后结合角平分的条件证明是等腰三角形，从而得知BC长，计算出DE长.
13．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4， CM是斜边AB上的中线，N是 BC 边上一点(不与点C重合)，D，E 分别为 CN，MN 的中点，则DE 的长是 .
【答案】1
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： CM是斜边AB上的中线，
∵点D， E分别为CN， MN的中点，
∴DE是 的中位线，
故答案为：1.
【分析】由直角三角形斜边中线的性质求出CM，根据三角形中位线定理即可求出DE.
14．（2025八下·鄞州期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于，两点，点C，D分别为线段，的中点，点为上一动点，当时，点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形的中位线定理；一次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，如图所示．
点，分别为线段，的中点，
是的中位线，
，
，，
又，
，
点为线段的中点．
当时，，
点的坐标为，
点的坐标为；
当时，，
解得：，
点的坐标为，
又点为线段的中点，
点的坐标为，，
点的坐标为，．
故答案为：，．
【分析】连接，过点作于点；由三角形中位线平行第三边得，利用“两直线平行，内错角相等”及，可得出，结合等腰三角形的三线合一，可得出点为线段的中点；利用一次函数图象上点的坐标特征及坐标轴上点的坐标特点，可求出点B的坐标，根据中点坐标公式求出点D的坐标，由点的坐标与图形性质得到点C的纵坐标，进而将点C的纵坐标代入直线AB解析式算出对应的自变量x的值可得点C的坐标，再由中点坐标公式可得出点的坐标，进而可得出点的坐标．
三、解答题
15． 如图6，在□AB-CD 中，E 是 CD 的中点，F 是 AE 的中点，FC与 BE相交于点 G.求证：GF=GC.
【答案】证明：如图，取EB的中点H，连结FH，CH.
又∵F是AE的中点，
∴FH是△ABE的中位线，
∴FH∥AB，FH=AB.
∵四边形ABCD是平行四边形，E是CD的中点，∴CE∥AB，CE=CD，AB=CD，
∴CE∥FH，CE=FH，
∴四边形EFHC是平行四边形，∴GF=GC
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】取EB的中点H，连结FH，CH，根据三角形的中位线性质定理得到FH∥AB，FH=AB，然后根据平行四边形的性质得到CE∥AB，CE=CD，即可得到CE∥FH，CE=FH，进而得到四边形EFHC是平行四边形，然后根据平行四边形的对角线互相平分得到结论即可.
16．（2024八下·苍南期中）在中，，分别是边的中点，延长到点，使，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连结，交于点，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵分别为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
在平行四边形中，，，
在中，，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（）利用三角形中位线的性质求出，，再求出，最后根据平行四边形的判定方法证明求解即可；
（）根据题意先求出，，再利用勾股定理求出AC的值，最后计算求解即可.
17．（2025八下·萧山期中）某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究．
（1）探究：如图，若四边形的对角线与相交于点，且，请你证明四边形的四条边长满足：．
（2）应用一：如图，若，分别是中，边上的中线．且垂足为，求证：；
（3）应用二：如图，中，点、、分别是，，的中点．若，，．求线段的长．
【答案】（1）证明：
如图由勾股定理得：
，
，
（2）证明：如图所示，连接.
，
，
，，
，，
，
，，，
，
（3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为，
点、分别是，的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
，
，分别是的中线，
由（2）的结论得：，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）直接应用勾股定理即可；
（2）连接，由（1）的结论可得，再由中点的概念结合中位线定理得，再等量代换即可；
（3）连接交于，设与的交点为，由中位线定理结合已知可得，再平行四边形的性质与判定可得四边形是平行四边形，则EF＝AB且点P平分AF，再由（2）的结论可得AF、AE与AE的数量关系，由于AE等于AD的一半，再分别代入EF、AE的值即可.
（1）
如图由勾股定理得：
，
，
（2）证明：连接，
，
，
，，
，，
，
，，，
，
（3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为，
点、分别是，的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
，
，分别是的中线，
由（2）的结论得：，
，
．
18．如图
（1）用数学的眼光观察
如图①，在四边形ABCD中，AD=BC，P 是对角线BD 的中点，M是AB 的中点，N 是DC 的中点.求证：
（2）用数学的思维思考
如图②，延长图①中的线段AD交MN 的延长线于点E，延长线段 BC交MN 的延长线于点 F.求证：
（3）用数学的语言表达
如图③，在 中，AC【答案】（1）证明：∵P是BD的中点，N是DC的中点，M是AB的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN=BC，PM=AD.
又∵AD=BC，∴PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM
（2）证明：由(1)知，PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PM∥AD，
∴∠PNM=∠F，∠PMN=∠AEM.
又∵∠PNM=∠PMN，
∴∠AEM=∠F
（3）解：△CGD是直角三角形.
证明：如图，连结BD，取BD的中点P，连结PM，PN.
∵P是BD的中点，N是DC的中点，M是AB的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PN=BC，PM∥AD，PM=AD.
∵AD=BC，∴PM=PN，
∴∠PNM=∠PMN.
∵PM∥AD，∴∠PMN=∠ANM=60°，
∴∠PNM=∠PMN=60°.
∵PN∥BC，∴∠CGN=∠PNM=60°.
又∵∠CNG=∠ANM=60°，
∴△CGN是等边三角形，∴CN=GN.
又∵CN=DN，∴DN=GN，
∴∠NDG=∠NGD=∠CNG=30°，
∴∠CGD=∠CGN+∠NGD=90°，
∴△CGD是直角三角形
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)证PN是△BCD的中位线， PM是△ABD的中位线，则 再证PM=PN，即可得出结论；
(2)由三角形中位线定理得PN∥BC，PM∥AD，再由平行线的性质得∠PNM =∠F， ∠PMN =∠AEM， 然后由 (1) 可知∠PNM =∠PMN， 即可得出结论；
(3)连接BD， 取BD的中点P， 连接PM、PN， 由三角形中位线定理得. AD， 再证△CGN是等边三角形.得CN=GN， 则DN=GN， 然后由等腰三角形的性质得∠NDG=∠NGD=30°， 则∠CGD=∠CGN+∠NGD=90°， 即可得出结论.
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