2.3 二次函数的性质

课件33张PPT。2.3二次函数的性质向上向上向下向下y轴y轴y轴y轴（0、0）（0、0）（0、k）（0、k）复习回顾向上直线x=-h（-h、0）向下直线x=-h（-h、0）向上向下直线x=-h（-h、t）直线x=-h（-h、t）对于二次函数y=ax2 +bx + c (a ? 0)图象:一条抛物线抛物线的形状,大小,开口方向完全由_____来决定. 当a的绝对值相等时,其形状完全相同,当a的绝对值越大,则开口越小,反之成立.a根据函数图象填空：
抛物线y= -2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在 侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大；在 侧，即x_____0时,y随着x的增大而减小.当x= 时，函数y最大值是____.当x____0时,y<0 (0,0)直线x=0y轴右y轴左00<>?(0,0)直线x=0Y轴右Y轴左00<>?根据函数图象填空：
抛物线y= -2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在 侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大；在 侧，即x_____0时,y随着x的增大而减小.当x= 时，函数y最大值是____.当x____0时,y<0 函数 y=ax2+bx+c 基本性质回顾二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线合作学习(1)当自变量增大时,函数的值将怎样变化?顶点在图象的位置有什么特点?(2)判别这个函数有没有最小值或最大值.你能发现这是由解析式中的哪一系数决定的吗?(3)这个函数值的增减性是怎样变化的?观察下列二次函数图像：顶点在图像的位置有什么特点？顶点是抛物线上的最高点（或最低点）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：a＞0a＜ 0(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?观察二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。解：∵A、B在x轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？x2-3x+2=0举例:结论：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。 如果二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴的两个交点的 坐标为 （ x1，0 ）和（ x2 ，0）方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的解与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的坐标有什么关系？那么x1和 x2 恰好是方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的两个根方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的解就是
函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的 坐标。横可以发现：二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的 存在性与 方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的解是否存在有关。合作探究 那么，进一步推想方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)解的存在性又与什么有关呢？b2 －4ac的正负性有关。故而：
①当b2 －4ac 时，抛物线与x轴 交点；②当b2 －4ac 时，抛物线与x轴只有 交点；③当b2 －4ac 时，抛物线与x轴 交点。＞0 两个＝0 一个＜0 没有例1、已知函数y=－0.5x2－7x＋7.5(1)求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标轴的交点 坐标，并画出函数的大致图像；解：（1）∵a=－0.5,b=－7,c=7.5;所以函数y=－0.5x2－7x＋7.5的大致图像如图：⑵自变量x在什么范围内时，y随x 的增大而增大？何时y 随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。解： ⑵由右图可知，当x≤－7 时 ， y随x 的增大而增大；当x≥－7 时，y 随x的增大而减小；当x＝－7时，函数有最大值32。(-15,0)(1,0)(0,7.5)(-7,32)(-14,7.5).0xy(3）根据第（１）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=0; ② y<0; ③ y>0.x=-15或x=1x<-15或x>1-15⑴求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的大致图像；解：∵ y=x2－3x－4 ＝(x－1.5)2－6.25,
∴图象顶点坐标为(1.5, －6.25);又当y=0时，
得x2－3x－4＝0的解为：
x1＝－1，x2＝4。
则与x轴的交点为(－1,0)和(4,0) 与y轴的交点为(0, －4)⑵记当x1=1.5, x2= , x3= 时对应的函数值分别为y1,y2,y3,试比较y1,y2,y3的大小?(2)在二次函数y=x2-3x-4中,自变量x_______时,y随x 的增大而增大,
x______时,y随x的增大而减小.≥1.5≤1.5∵ < <1.5即x2⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个2、下列函数何时有最大值或最小值，并求出最大值或最小值3、二次函数y=x2＋bx+8的图像顶点在x轴的负半轴上，那么b等于多少？D做一做例3、如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，几秒后ΔPBQ
的面积最大？最大面积是多少？PQ解：根据题意，设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大,则：AP=2x cm PB=（8-2x ） cm QB=x cm则： y=1/2 x（8-2x）=-x2 +4x=-（x2 -4x +4 -4）= -（x - 2）2 + 4所以，当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大最大面积是 4 cm2（0x2>0,试比较y1与y2的大小.综合练习2、如图直线l经过点A(4,0)和B(0,4)两点,它与二次函数y=ax2的图像在第一象限内相交于P点,若△AOP的面积为4.5,求二次函数的解析式.3、将抛物线y=x2向下平移后,使它的顶点C与它在x轴上的两个交点A,B组成等边三角形ABC,求此抛物线的解析式。　谈谈你的收获、感受？！1、如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。
(1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式
(2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC 解：１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等∴AP=CQ=x当P在线段AB上时 即S＝ (02） (2)当S△PCQ＝S△ABC时，有 ＝２此方程无实数根②　 ＝２
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴ x1=1+ , x2=1－ (舍去) ∴当AP长为1+ 时，S△PCQ＝S△ABC ⑴球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围⑵球在运动中离地面的最大高度。解: ⑴设函数解析式为:
y=a(x－2.5)2+k,根据题意，得：则：a=－0.2,k=3.5∴解析式为:y=－0.2x2+x+2.25,
自变量x的取值范围为：0≤x≤4.⑵球在运动中离地面的最大高度为3.5米。2、篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为x=2.5。求：再见