八年级浙教版数学下册1.3 二次根式的运算 同步练习（含答案）

1.3二次根式的运算
一、单选题
1．若最简二次根式与能合并，则的值可以是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知x，y满足等式，m是的小数部分，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
5．设，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．5
二、填空题
7．计算：__________．
8．若最简二次根式能与合并为一项，则的取值为________．
9．已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为____．
10．对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则_______________．
11.小明做数学题时，发现；…；按此规律，若（为正整数），则________．
12．观察下列各式：

请你根据以上三个等式提供的信息归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：__________________．
三、解答题
13．计算：
(1) (2)
(3) (4)
14．已知，分别求下列代数式的值．
(1)．
(2)．
15．已知最简二次根式与能合并．
(1)求 的值；
(2)若，化简：．
16．若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”．
(1)若M与是互为“6相关代数式”，则 ；
(2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值．
17．【观察】；．
【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式．
【运用】
(1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（各写一个即可）
(2)将下列各式分母有理化：
①______；
②______；
(3)计算：．
18．【问题初探】
小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整：
特例1：；特例2：；
特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子）
【发现规律】
______．（，且n为整数）
【应用规律】
（1）计算：；
（2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分．
参考答案
一、单选题
1．C
解：∵最简二次根式与能合并，
∴，
解得，
故选：C．
2．B
解：、∵，
∴该选项运算错误，不符合题意；
、∵，
∴该选项运算正确，符合题意；
、∵与不是同类二次根式，无法合并，
∴，该选项运算错误，不符合题意；
、∵，
∴该选项运算错误，不符合题意．
3．D
∵，
又∵，，
∴．
故选：D
4．C
解：x，y满足等式，，，
∴，，
解得，，
∵m是的小数部分，，
∴，
∴．
5．C
解：由题意得：，
，
，
，
，
∴，
．
6．A
解：根据题意，对2026逐步进行操作：
∵ ，
∴ ，可得第一次操作结果；
∵，，
∴ ，可得第二次操作结果；
∵，
∴，可得第三次操作结果；
∵，可得第四次操作结果；
因此对2026只需进行4次操作后变为2．
二、填空题
7．6
解：原式
．
故答案为：．
8．
因为最简二次根式能与合并为一项，所以与是同类二次根式，可得
解得
故答案为：
9．
解：因为最简二次根式 与 可以合并，
所以。
解得，
故答案为：．
10．
解：
．
故答案为：．
11．
解：由规律可得：，
当时，式子为，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
12．（为正整数）
解：根据等式的规律可得：（为正整数）
故答案为：（为正整数）．
三、解答题
13．（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
14．（1）解：∵，
∴
（2）解：∵，
15．（1）解：∵最简二次根式与能合并，
∴，
解得；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴
．
16．（1）解：与是互为“6相关代数式”，
，
；
（2）解：与是互为“相关代数式”，
，
整理得，，
是有理数，
，，
解得．
17．（1）解：∵，
∴的有理化因式是；
∵，
∴的有理化因式是；
故答案为：；；（答案均不唯一）
（2）解：①；
②；
（3）解：
．
18．问题初探：解：
故答案为：；
发现规律：解：
故答案为：；
应用规律：（1）解：
（2）解：
当小数部分是时，
，
解得：，
经检验是分式方程的根，
∴整数部分是．