浙教版八年级数学下册4.6 反证法 同步练习（含答案）

4.6反证法
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,)
1．用反证法证明命题：“在 ABC中，若，则．”时，第一步应先假设（ ）
A． B． C． D．
2．用反证法证明“若是的平分线，点在上，，，垂足分别为，，则”时，首先应假设（ ）
A． B．不成立
C．不成立 D．不是的平分线
3．用反证法证明命题“若，则关于的方程有且只有一个根”时，应先（ ）
A．假设有且只有一个根 B．假设至少有两个根
C．假设没有根或至少有两个根 D．假设没有根
4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：
①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（ ）
A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①②
5．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③④） B．③④②① C．③④①② D．④③②①
6．如图，点O是正六边形对角线上的一点， 若，则阴影部分的面积为 （ ）
A．10 B．15
C．20 D．随点O位置而变化
7．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
8．证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知： ABC．
求证：，，中不能有两个角是直角．
证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，∠B=90 ．
于是．
这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立．
所以，一个三角形中不能有两个角是直角．
上述证明方法是（ ）
A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法
9．已知 ABC中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①因此假设不成立．
②，这与三角形内角和为矛盾
③假设在 ABC中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①②
10．已知均为正数，为正整数．规定，下列说法：①若，则关于的方程有两个不相同的实数根；②若均为从小到大排列的连续正整数，且，则；③若，且，则中，小于2的数最多只有两个．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．若用反证法证明“”，则应假设___________．
12．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”第一步应假设_____．
13．用反证法证明“已知 ABC的三边长为，，，若，则不是直角三角形”时，应先假设________．
14．用反证法证明“任意三角形的三个内角中至多有一个直角”时，应假设_________．
15．如图，“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，应先应假设_________．
16．填空：
小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤：
①假设在 ABC中，和都是直角；
②则，________________；
③假设不成立，所以一个三角形中________含有两个直角．（填“能”或“不能”）
17．用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果a b，，那么．
证明：假设 ，那么它们相交于一点．
因为a b，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以．
18．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知：在 ABC中，．用反证法证明：．
20．（8分）已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：．
21．（10分）用反证法证明：在三角形中，大角对大边．
22．（10分）如图，在下列正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形关于直线对称的四边形，并求出四边形的面积．
23．（10分）毕达哥拉斯学派发现了无理数，这是数学史上的一件大事，它导致了第一次数学危机：为什么不是有理数？阅读下列证明过程，并完成相应问题．
证明：设是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得，即，两边平方，得①．
含有因数3，
设（为正整数），则，
②，
含有因数3，
含有因数3，
这样p，q有公因数3，不互质，这与假设p，q互质矛盾．
不是有理数．
（1）将上面的证明过程补充完整．
①____________；②____________；
（2）类比上述的证明过程，推理说明不是有理数．
24．（12分）材料：据我国古代《周髀算经》记载，早在西周初年，数学家商高就提出了“勾广三，股修四，径隅五”的理论，这是勾股定理的最早文字记录．这一发现比古希腊毕达哥拉斯定理的记载早了约年，是中国古代数学对世界文明的重要贡献．公元前年的古巴比伦泥板文书中，也记录了多组完整的勾股数．定义：满足的三个正整数、、称为勾股数，记作．
（1）观察为奇数的勾股数：，根据规律，请写出第组勾股数：______．
（2）若为奇数（），试用含的代数式表示和，并证明它们构成勾股数．
（3）观察为偶数的勾股数：，发现与的奇偶性相同．猜想：当为偶数时，与的奇偶性相同．请判断该猜想是否正确，若正确，请证明；若不正确，请举例说明．
参考答案
一、选择题
1．B
解：∵反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，原命题要证明的结论是，
∴该结论的反面为，即第一步应假设，
故选B．
2．A
解：反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，
原命题结论为，故应假设.
故选：A．
3．C
解：∵ 反证法需否定结论，“有且只有一个根”的否定是“没有根或至少有两个根”，
∴ 应假设“没有根或至少有两个根”；
故选：C．
4．D
解：反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立．
所以，正确的步骤是③①②．
故选：D．
5．C
解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．
证明：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于，
则三角形的三个内角的和大于，
这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾，
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．
则四个步骤正确的顺序是③④①②，
故选：C．
6．B
解：∵正六边形，
∴，四边形是矩形，
∴，
∴阴影部分的面积为，
故选：B．
7．D
解：如图，
，
，
∴．
故选：D．
8．C
解：由证明过程可知，证明方法是反证法，
故选：C．
9．C
解：运用反证法证明这个命题的四个步骤，
③假设在中，，
④由，得，即，
②，这与三角形内角和为矛盾，
①因此假设不成立．，
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①．
故选：C．
10．D
解：①当时，，
∴，
∵，
∴关于的方程有两个不相同的实数根；
故①符合题意；
②均为从小到大排列的连续正整数，且，
∴，
∴
，
故②符合题意；
③假设中，小于2的数至少有三个，不妨设，，，，， ，，
∴，，，， ，，
∴，
这与矛盾，
∴中，小于2的数最多只有两个，
故③符合题意．
故选：D．
二、填空题
11．
解：反证法证明“”时，应假设原命题不成立，即不小于，因此假设．故答案为．
故答案为：．
12．两个锐角都大于
解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，第一步应假设原命题的结论不成立，
即假设两个锐角都大于．
故答案为：两个锐角都大于．
13． ABC是直角三角形
解：反证法证明“已知的三边长为，，，若，则不是直角三角形”时，应先假设的是直角三角形，
故答案为：是直角三角形 ．
14．三角形的三个内角中至少有两个直角
解：由题意应假设：三角形的三个内角中至少有两个直角，
故答案为：三角形的三个内角中至少有两个直角；
15．
解：反证法证明命题“已知：在同一平面内，，求证：与不平行”时，首先应假设与平行，即．
故答案为：．
16． 这与三角形内角和定理矛盾 不能
解：假设 ABC中和都是直角，
则，∠B=90 ，．
又，
则，
这与三角形内角和定理矛盾，
故假设不成立，
所以一个三角形中不能含有两个直角．
故步骤②填“这与三角形内角和定理矛盾”，步骤③填“不能”．
故答案为：这与三角形内角和定理矛盾，不能．
17．与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
解：证明：假设与不平行，那么它们相交于一点．
a b，，过点的两条直线、都与直线垂直．
这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，
故假设不成立．
所以a c．
故答案为：与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
18．
解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=
故答案为：
三、解答题
19．
解：证明：假设．
∵在 ABC中，，
∴（等角对等边）．
但已知，这与上述结论矛盾．
∴假设不成立，故．
20．
解：证明：假设 ．
过点 G作直线 ，
使 ．
因为，
由平行线判定定理（同位角相等，两直线平行），
可知 ．
又已知 ，则过 G有两条直线和都平行于，
这与平行公理（过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行）矛盾．
因此假设 不成立，
所以 ．
21．
解：如图，已知：在 ABC中，．求证：．
证明：假设不大于，即或．
当时，，这与已知条件相矛盾；
当时，如图，在边上截取，
则，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∴，
即，
这与已知条件相矛盾；
上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立．
∴，
即在三角形中，大角对大边．
22．
解：如图，四边形即为所求．
四边形的面积为．
23．
解：（1）补全证明过程：①，②（或）
（2）证明：设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，即．
两边立方，得．
∴是3的倍数．
∵3是质数，
∴是3的倍数．
设（为正整数），则．
代入中，得，即．
∴是3的倍数．
∵3是质数，
∴是3的倍数．这样，有公因数3，不互质，
这与假设，互质矛盾．
∴不是有理数．
24．
解：（1）解：观察为奇数的勾股数：，
∵观察的数其规律为每次递增为，
∴第4组勾股数的为，
∵再观察、上的数，可发现，，
代入第组勾股数，可得：，
∴解得第组勾股数为，为，
∴第组勾股数为；
（2）∵观察得出：，，
∴将代入，得，即，
将化简为，代入，则，即，
证明：
．
∴．
（3）正确，理由如下：
假设股与弦的奇偶性不同，不妨设为奇数，为偶数，
则与均为奇数，则为奇数；
∵，
∴为奇数；
这与为偶数矛盾，所以假设不成立；
所以与的奇偶性一致．