平行四边形·尺规作图—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、作图题
1．（2024九上·北碚期末）如图，在中，的平分线交于点，交于点．
（1）用直尺和圆规，作的平分线交于点，交于点（只保留作图痕迹）．
（2）在（1）所作的图中，若，试说明．请根据以下思路完成填空：证明：在中，，
，
平分，平分，
， ▲ ，
，
▲ ，
，
▲ ．
，
．
2．（2024九下·河源月考）已知：如图，四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作的角平分线交于E点（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）求证：．
3．（2024八下·广州期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点O．
（1）尺规作图：作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，求证：．
4．（2025九上·坪山月考）尺规作图（仅用无刻度的直尺和圆规）：
（1）如图1，小明用尺规分别以□ABCD的点A，B为圆心，AB为半径画圆弧，交AD，BC于点E，F，连接EF.求证：四边形ABFE为菱形.
（2）在图2中，请用尺规在□ABCD的边AD，BC上分别作出点E，F，使四边形ABFE为菱形.（要求：方法与（1）不同，保留作图痕迹，不要求证明）
5．（2026九下·舟山一模）已知平行四边形，在平行四边形内作菱形ABCD．
小亮的作法：如图1，连接BD，分别以D、B为圆心大于 的长为半径画弧，连接两弧交点与平行四边形两边交于点A，C，连接AB，CD，则四边形ABCD 即为菱形．
（1）判断小亮的作法是否正确，并说明理由．
（2）小丽说，作平行四边形AECF一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗 请你在图2中作出图形(保留作图痕迹)．
6．（2025·开江模拟）如图，在平行四边形中，已知．
（1）实践与操作：作的平分线交于点，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接交于点，若，，求的长（未完成作图的，可用草图作解答）．
7．（2025八上·上虞期末）在的方格中，已知三点都在格点上．
（1）如图，请仅用一把无刻度的直尺按要求作图（请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图，不要求写作法）．画出的平分线．
（2）若每个小方格的边长为1，在的角平分线上有一点，已知，试求四边形的面积．
8．（2025九下·温州模拟）尺规作图问题：如图1，在中，用尺规作的角平分线.
小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？
小外：我想到了！如图2，以为圆心，AB为半径作弧，交AD于点，连结BE，则BE平分.
（1）按照小温的说法，在图1中用尺规作的角平分线；
（2）小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明.
9．（2025八下·东莞月考）如图，在平行四边形中，已知.
（1）作的平分线交于点，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.）
（2）直接写出四边形的形状．
10．（2025·剑阁模拟）小育在学行四边形的知识后，思考：如何在平行四边形（）里作出一个菱形？他的思路如下：在中，利用尺规作的平分线，交于点E，在上截取，连接EF．
（1）根据小育的思路作图；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）根据小育的思路，求证：四边形是菱形．
11．（2024·兴宁模拟）如图，四边形是矩形，连接．
（1）实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)
（2）猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想．
12．（2025·钱塘模拟）如图，平行四边形的顶点均在格点上，找到格点，使平分．
画法1：在边上找到格点，使．
画法2：在边上找到格点，使，连结，找到格点．
（1）请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点，连结．
（2）从两种画法中选择一种证明平分．
13．（2025·鹿城模拟）尺规作图问题：如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线．
小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？
小外：我想到了！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分．
（1）按照小温的说法，在图中用尺规作的角平分线．
（2）小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明．
14．（2024·普宁模拟）如图，在平行四边形中，E是边上一点.
（1）实践操作：过点E作的平行线，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.
（2）推理证明：在（1）的条件下，求证：.
15．（2025·拱墅模拟）如图，直线，连接，作的平分线，交于点C．
（1）求证：．
（2）圆圆说：“以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，则四边形为菱形．”圆圆的说法是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明作法中存在的问题，并说说使作出的四边形为菱形的点D的方法．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：根据题意，画图如下：
则即为所求．
（2）证明：在中，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
．
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】本题考查角平分线的尺规作图，平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质；
（1）根据尺规作图的基本步骤：先作出角平分线，标注交点可画出图形；
（2）根据平行四边形的性质和角平分线的性质可推出，进而证明，再根据平行线分线段成比例定理可得，利用等量代换进行计算可证明结论．
2．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）先在AB上找一点画弧（假设为F，AF大致小于），然后以A为圆心，AF为半径画弧（假设交AD于G），再以F为圆心，以FG为半径在平行四边形内画弧，然后以G为圆心，同样以FG为半径在平行四边形内画弧，假设两弧交于点H，连接AH并延长交BC于E，则AE为所求；
（2）要证AB=BE，可考虑通过证等腰三角形来完成， 利用两直线平行内错角相等的性质以及角平分线的定义，可证得，进而根据等角对等边可得AB=BE.
3．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形为平行四边形，∴，．
∵，
∴．
∵平分，
，
∴．
∴．
∴．
即．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】
（1）根据尺规作角平分线的方法求解即可；作法如下：首先，将圆规的尖端放置在角的顶点处，选择一个合适的半径画弧，该弧与角的两边分别相交于两点，接下来，分别以这两点为圆心，以任意相同的半径（通常选择两圆心点间距离的一半）画弧，两弧会在角内部相交于一点，这一点即为角的平分点。最后，从角的顶点向找到的平分点画一条直线，这条直线即为所求的角平分线。
（2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后利用等腰三角形三线合一性质得到，进而求解即可．
4．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，即AE//BF，
由作图知AB=AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
又AB=BF
∴四边形ABFE是菱形
（2）解：如图，四边形ABFE即为所求作：
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得AD//BC，即AE//BF，由作图知AB=AE=BF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）分别作∠A与∠B的角平分线，分别交BC于点F，AD于点E，即四边形四边形ABFE为菱形.
5．【答案】（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
设与交于点．
由作图方法可知，垂直平分，
∴，
四边形是平行四边形，
∴，即．
，
∴，
∴，
∴
四边形是菱形；
（2）解：作图如下：
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
根据现有条件无法证明，
∴无法证明是菱形，
∴小丽的作法不正确．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）设与交于点，由作图可知垂直平分，即可得到，然后根据平行四边形的性质，利用AAS得到，得到AD=BC，然后根据四条边相等的四边形是菱形证明即可；
（2）根据角平分线的尺规作图方法作图，根据平行四边形的性质得到∠BAF=∠FCE，然后根据平行线的性质和角平分线的定义得到，得到，同理可得，即可得到，进而得到是平行四边形，无法证明是菱形，据此解答即可．
6．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图，连接，交于点O，
∵，平分，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由角平分线的作法可知：在上截取，连接，画出图形即可；
（2）连接，交于点O，由等腰三角形的性质“等腰三角形的三线合一”可得，，由平行四边形的对边互相平行得AD∥BC，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等”可得，则，由等角对等边得，再由等腰三角形的三线合一可得，在中，用勾股定理求得AO的值，然后根据平行四边形的对角线互相平分得AE=2AO可求解．
（1）解：如图所示：
（2）解：如图，连接，交于点O，
∵，平分，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴．
7．【答案】（1）解：如图所示，
∴即为所求；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的面积；尺规作图-作角的平分线；同侧一线三垂直全等模型；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】
（1）由勾股定理结合一线三垂直全等模型知，再利用构造一线三垂直全等模型可构造全等三角形从而可得正方形ABCM，再分别连接对角线AC、BM，设两线段交于点N，再过点B作射线BN即可；
（2）由勾股定理知，再由全等的性质知，即可得四边形ABCM是正方形，则直接利用面积公式求解即可．
（1）解：如图所示，
∴即为所求；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：．
8．【答案】（1）解：如图所示， 射线BP就是的角平分线
（2）答：正确，理由如下：
由作图得
又在中，.
，即BE平分
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）尽规作图作已知角的平分线，先以顶点为圆心，任意长为半径画弧分别交角两边于一点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，最后以角的顶点为端点，过两弧的交点画射线即可；
（2）小外同学的想法是先利用等腰三角形的性质在内部作出一个并使它等于，再利用平行四边形中对边平行的特性，把转化到的剩余部分即上，恰好得到＝，显然平分，所以其作法正确.
9．【答案】（1）解：如图，图形即为所求：
（2）四边形ABEF是菱形
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】(2)解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形ABEF是平行四边形，
又，
平行四边形ABEF是菱形．
【分析】
本题考查了尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定，利用尺规正确作图是解题关键．
（1）根据角平分线的尺规作图方法：以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；过A与该交点作射线，交BC于E，此射线即为∠BAD的平分线；再以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于F，利用圆规截取等长线段，再连接EF即可得到所求线段；
（2）根据角平分线的定义可知：∠BAE=∠EAD，再根据平行四边形的性质：对边平行可知：AD∥BC，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠DAE=∠AEB，等量代换得：∠BAE=∠AEB，根据等腰三角形的性质：等角对等边可知：AB=BE，再结合AF=AB等量代换得：AF=BE，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知：四边形AFEB是平行四边形，再结合AF=AB，根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形可知：平行四边形ABEF是菱形，由此可证得结论．
（1）解：如图，图形即为所求：
（2）解：平分，
，
平行四边形，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形．
10．【答案】（1）解：如图所示，
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
，
，
∵平分，
，
，
，
，
，
而，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）根据角平分线的尺规作图即可；
（2）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边互相平行”可得AD∥BC，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠FBE=∠BEA，结合角平分线的性质和等量代换可得∠AEB=∠ABE，由等角对等边得AB=AE，结合已知可得，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断求解．
（1）解：如图所示，
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
，
，
∵平分，
，
，
，
，
，
而，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
11．【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：猜想，
证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵．
∴，，
∵，
∴
∵的平分线，交于点M．
∴，
∴，
∴
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图—角平分线的作法，进行作图即可。
（2）根据矩形性质可得，，，再根据角之间的关系可得，，再根据直线平行性质可得，再根据角平分线定义可得，则，即可求出答案.
12．【答案】（1）解：如图1和图2所示，P即为所求；
（2）证明：如图1所示
由题意可知，
，
，
，
则点P即为所求；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】
（1）如图1中，在上取点，使得，连接，点即为所求．
如图2中，作等腰，使，取的中点，作射线，点即为所求．
（2）①由画图可知，推出，再根据，证明，可得，则点P即为所求；②由画图可知，，点P为的中点，由三线合一定理可得平分，则点P即为所求．
（1）解：如图1和图2所示，P即为所求；
（2）证明：如图1所示
由题意可知，
，
，
，
则点P即为所求；
②如图2，
由题意可知，
点P为的中点，
由三线合一定理可得平分，
则点P即为所求．
13．【答案】（1）解：如图，射线即为所求，
（2）解：正确，
证明：四边形为平行四边形，
，
，
由作图可知，，
，
，
平分．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】
（1）根据尺规作图作角平分线的方法即可；
（2）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行”可得AD∥BC，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠AEB=∠CBE，由等边对等角可得∠AEB=∠ABE，再结合角平分线的概念即可判断求解．
（1）解：如图，射线即为所求，
（2）解：正确，
证明：四边形为平行四边形，
，
，
由作图可知，，
，
，
平分．
14．【答案】（1）解：（作法不唯一）如图，即为所求；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，.
又，，
又，.
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）在BC上截取连接EF，则EF即为所求；
（2）根据平行四边形的性质和平行线的性质得到：，， 最后结合，即可利用"ASA"证明.
15．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵的平分线是，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：小圆的做法，如图所示，不能唯一确定四边形，故无法证明.
正确的做法如下：作的平分线，交于点E，交于点D．
∵，
∴，
∵的平分线与的平分线相交于E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴直线垂直平分线线段，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故四边形是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得，利用角平分线的定义可得，即可得到，根据等角对等边解答即可．
（2）作的平分线，交于点D，根据角平分线的定义即可得到，然后证明，即可得到，进而证明结论即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵的平分线是，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：小圆的做法，如图所示，不能唯一确定四边形，故无法证明.正确的做法如下：
作的平分线，交于点E，交于点D．
∵，
∴，
∵的平分线与的平分线相交于E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴直线垂直平分线线段，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故四边形是菱形．
1 / 1平行四边形·尺规作图—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、作图题
1．（2024九上·北碚期末）如图，在中，的平分线交于点，交于点．
（1）用直尺和圆规，作的平分线交于点，交于点（只保留作图痕迹）．
（2）在（1）所作的图中，若，试说明．请根据以下思路完成填空：证明：在中，，
，
平分，平分，
， ▲ ，
，
▲ ，
，
▲ ．
，
．
【答案】（1）解：根据题意，画图如下：
则即为所求．
（2）证明：在中，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
．
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】本题考查角平分线的尺规作图，平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质；
（1）根据尺规作图的基本步骤：先作出角平分线，标注交点可画出图形；
（2）根据平行四边形的性质和角平分线的性质可推出，进而证明，再根据平行线分线段成比例定理可得，利用等量代换进行计算可证明结论．
2．（2024九下·河源月考）已知：如图，四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作的角平分线交于E点（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）求证：．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）先在AB上找一点画弧（假设为F，AF大致小于），然后以A为圆心，AF为半径画弧（假设交AD于G），再以F为圆心，以FG为半径在平行四边形内画弧，然后以G为圆心，同样以FG为半径在平行四边形内画弧，假设两弧交于点H，连接AH并延长交BC于E，则AE为所求；
（2）要证AB=BE，可考虑通过证等腰三角形来完成， 利用两直线平行内错角相等的性质以及角平分线的定义，可证得，进而根据等角对等边可得AB=BE.
3．（2024八下·广州期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点O．
（1）尺规作图：作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，求证：．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形为平行四边形，∴，．
∵，
∴．
∵平分，
，
∴．
∴．
∴．
即．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】
（1）根据尺规作角平分线的方法求解即可；作法如下：首先，将圆规的尖端放置在角的顶点处，选择一个合适的半径画弧，该弧与角的两边分别相交于两点，接下来，分别以这两点为圆心，以任意相同的半径（通常选择两圆心点间距离的一半）画弧，两弧会在角内部相交于一点，这一点即为角的平分点。最后，从角的顶点向找到的平分点画一条直线，这条直线即为所求的角平分线。
（2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后利用等腰三角形三线合一性质得到，进而求解即可．
4．（2025九上·坪山月考）尺规作图（仅用无刻度的直尺和圆规）：
（1）如图1，小明用尺规分别以□ABCD的点A，B为圆心，AB为半径画圆弧，交AD，BC于点E，F，连接EF.求证：四边形ABFE为菱形.
（2）在图2中，请用尺规在□ABCD的边AD，BC上分别作出点E，F，使四边形ABFE为菱形.（要求：方法与（1）不同，保留作图痕迹，不要求证明）
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，即AE//BF，
由作图知AB=AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
又AB=BF
∴四边形ABFE是菱形
（2）解：如图，四边形ABFE即为所求作：
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得AD//BC，即AE//BF，由作图知AB=AE=BF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）分别作∠A与∠B的角平分线，分别交BC于点F，AD于点E，即四边形四边形ABFE为菱形.
5．（2026九下·舟山一模）已知平行四边形，在平行四边形内作菱形ABCD．
小亮的作法：如图1，连接BD，分别以D、B为圆心大于 的长为半径画弧，连接两弧交点与平行四边形两边交于点A，C，连接AB，CD，则四边形ABCD 即为菱形．
（1）判断小亮的作法是否正确，并说明理由．
（2）小丽说，作平行四边形AECF一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗 请你在图2中作出图形(保留作图痕迹)．
【答案】（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
设与交于点．
由作图方法可知，垂直平分，
∴，
四边形是平行四边形，
∴，即．
，
∴，
∴，
∴
四边形是菱形；
（2）解：作图如下：
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
根据现有条件无法证明，
∴无法证明是菱形，
∴小丽的作法不正确．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）设与交于点，由作图可知垂直平分，即可得到，然后根据平行四边形的性质，利用AAS得到，得到AD=BC，然后根据四条边相等的四边形是菱形证明即可；
（2）根据角平分线的尺规作图方法作图，根据平行四边形的性质得到∠BAF=∠FCE，然后根据平行线的性质和角平分线的定义得到，得到，同理可得，即可得到，进而得到是平行四边形，无法证明是菱形，据此解答即可．
6．（2025·开江模拟）如图，在平行四边形中，已知．
（1）实践与操作：作的平分线交于点，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接交于点，若，，求的长（未完成作图的，可用草图作解答）．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图，连接，交于点O，
∵，平分，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由角平分线的作法可知：在上截取，连接，画出图形即可；
（2）连接，交于点O，由等腰三角形的性质“等腰三角形的三线合一”可得，，由平行四边形的对边互相平行得AD∥BC，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等”可得，则，由等角对等边得，再由等腰三角形的三线合一可得，在中，用勾股定理求得AO的值，然后根据平行四边形的对角线互相平分得AE=2AO可求解．
（1）解：如图所示：
（2）解：如图，连接，交于点O，
∵，平分，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴．
7．（2025八上·上虞期末）在的方格中，已知三点都在格点上．
（1）如图，请仅用一把无刻度的直尺按要求作图（请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图，不要求写作法）．画出的平分线．
（2）若每个小方格的边长为1，在的角平分线上有一点，已知，试求四边形的面积．
【答案】（1）解：如图所示，
∴即为所求；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的面积；尺规作图-作角的平分线；同侧一线三垂直全等模型；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】
（1）由勾股定理结合一线三垂直全等模型知，再利用构造一线三垂直全等模型可构造全等三角形从而可得正方形ABCM，再分别连接对角线AC、BM，设两线段交于点N，再过点B作射线BN即可；
（2）由勾股定理知，再由全等的性质知，即可得四边形ABCM是正方形，则直接利用面积公式求解即可．
（1）解：如图所示，
∴即为所求；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：．
8．（2025九下·温州模拟）尺规作图问题：如图1，在中，用尺规作的角平分线.
小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？
小外：我想到了！如图2，以为圆心，AB为半径作弧，交AD于点，连结BE，则BE平分.
（1）按照小温的说法，在图1中用尺规作的角平分线；
（2）小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明.
【答案】（1）解：如图所示， 射线BP就是的角平分线
（2）答：正确，理由如下：
由作图得
又在中，.
，即BE平分
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）尽规作图作已知角的平分线，先以顶点为圆心，任意长为半径画弧分别交角两边于一点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，最后以角的顶点为端点，过两弧的交点画射线即可；
（2）小外同学的想法是先利用等腰三角形的性质在内部作出一个并使它等于，再利用平行四边形中对边平行的特性，把转化到的剩余部分即上，恰好得到＝，显然平分，所以其作法正确.
9．（2025八下·东莞月考）如图，在平行四边形中，已知.
（1）作的平分线交于点，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.）
（2）直接写出四边形的形状．
【答案】（1）解：如图，图形即为所求：
（2）四边形ABEF是菱形
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】(2)解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形ABEF是平行四边形，
又，
平行四边形ABEF是菱形．
【分析】
本题考查了尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定，利用尺规正确作图是解题关键．
（1）根据角平分线的尺规作图方法：以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；过A与该交点作射线，交BC于E，此射线即为∠BAD的平分线；再以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于F，利用圆规截取等长线段，再连接EF即可得到所求线段；
（2）根据角平分线的定义可知：∠BAE=∠EAD，再根据平行四边形的性质：对边平行可知：AD∥BC，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠DAE=∠AEB，等量代换得：∠BAE=∠AEB，根据等腰三角形的性质：等角对等边可知：AB=BE，再结合AF=AB等量代换得：AF=BE，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知：四边形AFEB是平行四边形，再结合AF=AB，根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形可知：平行四边形ABEF是菱形，由此可证得结论．
（1）解：如图，图形即为所求：
（2）解：平分，
，
平行四边形，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形．
10．（2025·剑阁模拟）小育在学行四边形的知识后，思考：如何在平行四边形（）里作出一个菱形？他的思路如下：在中，利用尺规作的平分线，交于点E，在上截取，连接EF．
（1）根据小育的思路作图；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）根据小育的思路，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
，
，
∵平分，
，
，
，
，
，
而，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）根据角平分线的尺规作图即可；
（2）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边互相平行”可得AD∥BC，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠FBE=∠BEA，结合角平分线的性质和等量代换可得∠AEB=∠ABE，由等角对等边得AB=AE，结合已知可得，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断求解．
（1）解：如图所示，
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
，
，
∵平分，
，
，
，
，
，
而，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
11．（2024·兴宁模拟）如图，四边形是矩形，连接．
（1）实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)
（2）猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：猜想，
证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵．
∴，，
∵，
∴
∵的平分线，交于点M．
∴，
∴，
∴
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图—角平分线的作法，进行作图即可。
（2）根据矩形性质可得，，，再根据角之间的关系可得，，再根据直线平行性质可得，再根据角平分线定义可得，则，即可求出答案.
12．（2025·钱塘模拟）如图，平行四边形的顶点均在格点上，找到格点，使平分．
画法1：在边上找到格点，使．
画法2：在边上找到格点，使，连结，找到格点．
（1）请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点，连结．
（2）从两种画法中选择一种证明平分．
【答案】（1）解：如图1和图2所示，P即为所求；
（2）证明：如图1所示
由题意可知，
，
，
，
则点P即为所求；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】
（1）如图1中，在上取点，使得，连接，点即为所求．
如图2中，作等腰，使，取的中点，作射线，点即为所求．
（2）①由画图可知，推出，再根据，证明，可得，则点P即为所求；②由画图可知，，点P为的中点，由三线合一定理可得平分，则点P即为所求．
（1）解：如图1和图2所示，P即为所求；
（2）证明：如图1所示
由题意可知，
，
，
，
则点P即为所求；
②如图2，
由题意可知，
点P为的中点，
由三线合一定理可得平分，
则点P即为所求．
13．（2025·鹿城模拟）尺规作图问题：如图，在平行四边形中，用尺规作的角平分线．
小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？
小外：我想到了！如图，以为圆心，为半径作弧，交于点，连结，则平分．
（1）按照小温的说法，在图中用尺规作的角平分线．
（2）小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明．
【答案】（1）解：如图，射线即为所求，
（2）解：正确，
证明：四边形为平行四边形，
，
，
由作图可知，，
，
，
平分．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】
（1）根据尺规作图作角平分线的方法即可；
（2）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行”可得AD∥BC，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠AEB=∠CBE，由等边对等角可得∠AEB=∠ABE，再结合角平分线的概念即可判断求解．
（1）解：如图，射线即为所求，
（2）解：正确，
证明：四边形为平行四边形，
，
，
由作图可知，，
，
，
平分．
14．（2024·普宁模拟）如图，在平行四边形中，E是边上一点.
（1）实践操作：过点E作的平行线，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.
（2）推理证明：在（1）的条件下，求证：.
【答案】（1）解：（作法不唯一）如图，即为所求；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，.
又，，
又，.
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）在BC上截取连接EF，则EF即为所求；
（2）根据平行四边形的性质和平行线的性质得到：，， 最后结合，即可利用"ASA"证明.
15．（2025·拱墅模拟）如图，直线，连接，作的平分线，交于点C．
（1）求证：．
（2）圆圆说：“以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，则四边形为菱形．”圆圆的说法是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明作法中存在的问题，并说说使作出的四边形为菱形的点D的方法．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵的平分线是，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：小圆的做法，如图所示，不能唯一确定四边形，故无法证明.
正确的做法如下：作的平分线，交于点E，交于点D．
∵，
∴，
∵的平分线与的平分线相交于E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴直线垂直平分线线段，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故四边形是菱形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得，利用角平分线的定义可得，即可得到，根据等角对等边解答即可．
（2）作的平分线，交于点D，根据角平分线的定义即可得到，然后证明，即可得到，进而证明结论即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵的平分线是，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：小圆的做法，如图所示，不能唯一确定四边形，故无法证明.正确的做法如下：
作的平分线，交于点E，交于点D．
∵，
∴，
∵的平分线与的平分线相交于E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴直线垂直平分线线段，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故四边形是菱形．
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