2.3一元二次方程根与系数的关系 练习（含答案）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

2.3一元二次方程根与系数的关系
1.若x?，x?是一元二次方程 x2?2x+1=0的两根，则x?x?的值是 ( )
A. 1
B. 2
C. - 1
D. - 2
2.若一元二次方程 x2?5x?1=0的两个实数根是x?和x?，则 ( )
A. x1+x2=5
B. x1+x2=?5
C. x1+x2=?1
D. x1+x2=1
3.已知x?，x?是关于 x的一元二次方程 x2+4ax-4=0的两个根，则下列结论一定正确的是 ( )
A. x1=x2
B. x1+x2=?4
C. x1?x2=?4
D.该方程无实数根
4.已知关于 x的一元二次方程 x2+mx+n=0的两个实数根分别为 x1=?2,x2=4,则 m，n的值分别为 ( )
A. - 2,8 B. - 2,-8
C. 2,-8 D. 2,8
5.若x?,x?是方程 x2?3x?5=0的两个根，则 1x1+1x2的值为 ( )
A. ?35 B.35
C. 53 D. ?53
6.如果关于x的一元二次方程 2x2+5x+m=0 的两实数根互为倒数，那么 m 的值为 。
7.若α,β是方程 x2?2x?3=0的两个实数根，则 α+β=__________,αβ=__________,α2β+αβ2= 。
8.已知一元二次方程 x2+2kx?k=0的两个根分别为 x?,x?。若 x1?x2=1,则 x1+x2= 。
9.用公式法解方程 2x2+7x?4=0,并用根与系数的关系检验所求的根是否正确。
10.若关于x的方程 x2?a+6x+a2=0有两个相等的实数根 x?，x?，且满足x1+x2=x?x?,则实数a的值为 ( )
A. 6或-2
B. 3或-2
C. 6或 3
D. -2
11.已知一元二次方程 x2+6x+a=0的两根分别为 x?,x?,若 x1?x2=4,则 a 的值为 。
12.若方程 x2?3x?4=0的根为 p 和q,则 p2+3q+5的值为 。
13.已知关于 x的方程 x2?ax+a?1=0的根为 x?,x?。
(1)当a=4时,求 x1+x2+x1?x2的值。
(2)若方程的一个根 x1=6,求a 的值与另一个根x?。
14.已知关于 x 的方程 x2?k+4x+2k+4=0。
(1)求证：该方程总有两个实数根。
(2)记该方程的两个实数根为x?，x?。
①求代数式x1?2x2?2的值。
②若 M=x12+x22,N=3?x1x2,比较 M 与N 的大小。
2.3一元二次方程根与系数的关系
1. A 2. A 3. C 4. B 5. A
6. 2 7. 2 - 3 - 6 8. 2
9. 解:∵a=2,b=7,c=-4,
∴b2?4ac=72?4×2×?4=81>0,
∴x=?7±812×2=?7±94,
∴x1=12,x2=?4。
检验： ∵x1+x2=12?4=?72=?ba,
x1?x2=12×?4=?2=ca,
∴x1=12,x2=?4是原方程的根。
10. D
11.5 【解析】根据题意得 x1+x2=?6,x1x2=a。
∵x1?x2=4,
∴x1?x22=16,
∴x1+x22?4x1x2=16,
∴36-4a=16,
∴a=5。
12. 18 【解析】将x=p代入原方程,得 p2?3p?4=0, ∴p2?3p=4。
∵方程 x2?3x?4=0的根为p和q，
∴p+q=3,
∴p2+3q+5=p2?3p+3p+q+5=4+3×3+5=18。
13. 解:(1)当a=4时,方程为 x2?4x+3=0,
∴x1+x2=4,x1x2=3,
∴x1+x2+x1?x2=7。
(2)∵方程的一个根. x1=6,
∴36-6a+a-1=0,
∴a=7,
∴方程为 x2?7x+6=0,
解得 x1=6,x2=1。
∴a=7,另一个根x?=1。
14. 解:(1)证明::b?-4ac=[-(k+4)]?-4(2k+4)=k?+8k+16-8k-16=k?。
∵k?≥0,
∴b2?4ac≥0,
∴x2?k+4x+2k+4=0总有两个实数根。
(2)①∵该方程的两个实数根为x?,x?,
∴x1+x2=k+4,x1x2=2k+4,
∴x1?2x2?2=x1x2?2x1?2x2+4
=x1x2?2x1+x2+4=2k+4?2k+4+4
=2k+4-2k-8+4=0。
②由①知, x1+x2=k+4,x1x2=2k+4,
∵M=x12+x22,N=3?x1x2,
∴M?N=x12+x22?3+x1x2=x1+x22?2x1x2?3+ x1x2=x1+x22?x1x2?3=k+42?2k+4?3=
k2+16+8k?2k?4?3=k2+6k+9=k+32≥0,
∴M≥N。