专题突破 用适当的方法解一元二次方程 （含答案）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题突破 用适当的方法解一元二次方程
类型 1 根据方程的特点解方程
【例1】解方程:
14x2?9=0。
(2)x(x-2)+x-2=0。
【变式】用适当的方法解下列一元二次方程： 1x2?6x?4=0。
(2)3x(x-2)=2x-4。
类型 2 利用转化的策略解特定的方程
【例2】已知方程 x2+bx?c=0的根是 x1=1, x2=?3,现给出另一个方程2x+32+b(2x+3)-c=0,那么它的根是 。
【变式】已知关于x的方程 ax+m2+b=0(a,b，m为常数，a≠0)的解是 x1=2,x2=?1,那么方程 ax+m+22+b=0的解为 ( )
A. x1=2,x2=?3 B. x1=4,x2=1
C. x1=0,x2=?1 D. x1=0,x2=?3
类型 3 解含字母系数的方程
【例3】已知关于x的一元二次方程 x2?k+2x+k+1=0。
(1)求证：无论 k 取何值，该方程都有两个实数根。
(2)若方程的一个根为3，求 k 的值和方程的另一个根。
【变式】已知关于x的一元二次方程 x2?6mx+ 9m2?1=0。
(1)求证：方程有两个不相等的实数根。
(2)设此方程的两个根分别为x?，x?，且x1


跟踪巩固训练
1.方程 x2?4=0的两个根是 ( )
A. x1=2,x2=?2 B. x1=x2=?2
C. x1=x2=2 D. x1=2,x2=0
2.下列一元二次方程适合用配方法求解的是( )
A. x2?16=0 B. x2?6x=10
C. (x-3)(x-5)=0 D. x2+x=0
3.方程2x(x-3)+5(3-x)=0的根是( )
A. x=52 B. x=3
C. x1=52,x2=3 D. x1=?52,x2=3
4.若 x?,x?是一元二次方程 x2?2x?3=0的两根，则 x1+x2的值是 ( )
A. 1 B. 2
C. - 1 D. - 2
5.若关于x的一元二次方程 ax2+bx?2025=0(a≠0)有一根为x=2026,则一元二次方程ax?12+bx?1=2025必有一根为 。
6.若a+b2?4a+b+4=0,则a+b的值为 。
7.选择适当的方法解下列方程：
19y+42?49=0。
2x2?2x?2=0。
3x2?5x+3=0。
42x+12=?32x+1。
8.如果关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根。
9.已知关于 x的方程 x2?k+3x+3k=0。
(1)求证：无论 k 取何实数，该方程总有实数根。
(2)若等腰三角形的三边长分别为m，n，p，其中m=1，并且n，p恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长。
专题突破 用适当的方法解一元二次方程
例1 解:(1)将方程的左边分解因式,得(2x+3)(2x-3)=0,则 2x+3=0,或2x-3=0,
解得 x1=?32,x2=32。
(2)分解因式,得(x+1)(x-2)=0,
则x+1=0,或x-2=0,
解得. x1=?1,x2=2。
变式 解： 1x2?6x?4=0,
移项，得 x2?6x=4,
方程的两边同加上9，得 x2?6x+9=4+9,即( x?32=13,
∴x?3=13,或 x?3=?13,
∴x1=3+13,x2=3?13。
(2)3x(x-2)=2x-4,
3x(x-2)=2(x-2),
3x(x-2)-2(x-2)=0,
∴(3x-2)(x-2)=0,
∴3x-2=0,或x-2=0,
∴x1=23,x2=2。
例2 2x1=?1,x2=?3
变式 D
例 3 解:(1)证明: b2?4ac=?k+22?4×1×k+1 =k2,
∵无论k取何值,k?≥0,
∴无论 k取何值，该方程都有两个实数根。
(2)由题意,得9-3(k+2)+k+1=0,
解得 k=2。
此时原方程为 x2?4x+3=0,
配方得 x?22=1,
∴x-2=1,或x-2=-1,
解得 x1=3,x2=1。
∴k的值为2，方程的另一个根为x=1。
变式 解:(1)证明:· ∵b2?4ac=?6m2?49m2?1=4>0,∴方程有两个不相等的实数根。
2x=6m±42×1=3m±1,
∵x1 ∴x1=3m?1,x2=3m+1。
∵x2=2x1?3,
∴3m+1=2(3m-1)-3,解得m=2,
即m的值为2。
跟踪巩固训练
1. A 2. B 3. C 4. B 5. x=2027 6. 2
7. 解:(1)移项,得 9y+42=49,
则 y+42=499,
则 y+4=?73,或 y+4=73,
解得 y1=?193,y2=?53。
2∵x2?2x?2=0,
∴x2?2x=2,
∴x2?2x+1=3,
∴x?12=3,
∴x?1=±3,
解得 x1=1+3,x2=1?3。
3x2?5x+3=0,
a=1,b=-5,c=3,
b2?4ac=?52?4×1×3=13>0,
此方程有两个不相等的实数根，
x=?b±b2?4ac2a=??5±132×1=5±132,
即 x1=5+132,x2=5?132。
(4)移项,得 2x+12+32x+1=0,
将方程的左边分解因式,得(2x+1)(2x+4)=0,
则2x+1=0,或2x+4=0,
解得 x1=?12,x2=?2。
8. 证明:根据题意,得a+c=b,即a-b+c=0。
当x=-1时,c ax2+bx+c=a×?12+b×?1+c=a-b+c=0,
所以-1必是关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根。
9.解：(1)证明：对于方程 x2?k+3x+3k=0,
b2?4ac=?k+32?12k=k2+6k+9?12k=k2?6k+9=k?32≥0
则无论 k取何实数，该方程总有实数根。
(2)当n=p时, b2?4ac=0,即 k=3,.
方程为 x2?6x+9=0,
解得 x1=x2=3,
此时三边长为1,3,3,周长为1+3+3=7。
当m=n=1或m=p=1时,把x=1代入方程,得
1-(k+3)+3k=0,解得k=1,
此时方程为 x2?4x+3=0,解得 x1=3,x2=1,
此时三边长为1，1，3，不能组成三角形。
综上所述，此三角形的周长为7。