第2 章 一元二次方程本章整体评价（含答案） 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

第2 章 一元二次方程本章整体评价
一元二次方程的有关概念
【例1】已知 m 是一元二次方程 x2?3x+1=0的一个根，求下列各代数式的值：
(1)(m-4)(m+1)。
2m2+1m2。
【变式】将方程(x-1)(x+3)=1化成一般形式,为 。

一元二次方程的解法
【例2】解下列方程：
12x2?7x+5=0(用公式法解)。
23x2?10x?5=0(用配方法解)。
(3)2x(x-3)=9-3x(用因式分解法解)。
4x2+6x+4=0(用配方法解)。
【变式1】某节数学课上，甲、乙、丙三名同学都在黑板上解关于 x的方程x(x-1)=3(x-1),下列解法完全正确的个数为 ( )
甲
乙
丙
两边同时除以(x-1),得x=3。
整理得
x??4x=?3,
配方得
x??4x+2=--1,
∴x?2?=?1,
∴x-2=±1,
∴x?=1,x?=3。
移项得x(x-1)-3(x—1)=0,
∴(x-3)(x-1)=0,
∴x-3=0或x-1=0,
∴x?=1,x?=3。
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
【变式2】用较简便的方法解下列方程： ①2x2?50=0;②9x?-12x-1=0;③8x?+15x+6=0; ④32x?12=22x?1。下列说法正确的是( )
A.依次为开平方法、配方法、公式法、因式分解法
B.依次为因式分解法、公式法、配方法、开平方法
C.①用开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D.①用开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
【变式3】已知代数式3-x与 ?x2+3x的值互为相反数，则x的值是 ( )
A. -1或3 B. 1或-3.
C. 1 或 3 D. -1 或-3
一元二次方程根的判别式
【例3】已知关于x的方程 14x2?m?2x+m2=0。
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。
(2)若该方程有两个相等的实数根，求 m 的值及此时方程的根。
(3)若该方程没有实数根，求 m 的最小整数值。
【变式】关于x的一元二次方程 x2+4ax?4=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
一元二次方程根与系数的关系
【例4】已知关于 x的一元二次方程 2x2?3x? 2m2=0。
(1)若m=1,求此方程的根。
(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α-3β=5,求 m的值。
【变式】若m，n是一元二次方程 x2?4x?3=0的两个根,则3m+3n-mn的值是 。
一元二次方程的应用
【例5】如图,在长方形 ABCD 中,AB=6 cm,BC=12 cm,点 P 从点 A 沿边 AB 向点 B 以1 cm/s的速度移动;同时,点 Q 从点 B 沿边 BC向点C以2cm/s的速度移动。
(1)几秒后△PBQ 的面积等于8cm??
(2)△PDQ 的面积能为8cm? 吗?为什么?
【变式1】某商场对一款无人机进行降价促销，经过两次降价后其售价由最初的 400 元变为225元，且两次降价的百分率相同。设每次降价的百分率为x，可列方程 ( )
A. 4001?x2=225
B. 2251+x2=400
C. 4001?x2=225
D. 400(1-2x)=225
【变式2】某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到 1 056个红包，设群内共有x个人。根据题意可列方程 。
例1 解：(1)由条件可知： m2?3m+1=0,
∴m2?3m=?1,
∴m?4m+1=m2+m?4m?4=m2?3m?4=?1?4=-5。
(2)由条件可知 m2?3m+1=0,
∴m2+1=3m,
∴m2+1m2=m+1m2?2=m2+1m2?2=3mm2?2= 32?2=7。
变式 x2+2x?4=0
例 2 解: 12x2?7x+5=0,
b2?4ac=?72?4×2×5=9,
x=7±92×2=7±34,
x1=1,x2=52。
23x2?10x?5=0,
3x2?10x=5,
x2?103x=53,
配方得 x2?103x+532=53+532,
x?532=409,
则 x?53=2103,或 x?53=?2103,
x1=5+2103,x2=5?2103。
(3)2x(x-3)=9-3x,
2x(x-3)+3(x-3)=0,
(x-3)(2x+3)=0,
x-3=0,或2x+3=0,
x1=3,x2=?32。
4x2+6x+4=0,
x2+6x=?4,
x2+6x+9=?4+9,
x+32=5,
x+3=±5,
x1=?3+5,x2=?3?5。
变式 2 C 变式 2 C 变式 3 A
例3 解:(1)∵关于 x 的方程 14x2?m?2x+m2=0有两个不相等的实数根，
∴b2?4ac=?m?22?4×14m2=?4m+4>0,∴m<1。
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴b2?4ac=?m?22?4×14m2=?4m+4=0,
∴m=1,
此时方程为 14x2+x+1=0,即 12x+12=0, ∴x1=x2=?2。
(3)∵方程没有实数根，
∴b2?4ac=?m?22?4×14m2=?4m+4<0,∴m>1,∴m的最小整数值为2。
变式 A
例 4 解:(1)当 m=1时,原方程为 2x2?3x?2=0,
解得 x1=2,x2=?12。
(2)∵方程的两个实数根分别为α，β，
∴由根与系数的关系可知 α+β=32,αβ=?m2。
∵α-3β=5,
联立 {α?3β=5,α+β=32,解得 {α=198,β=?78,
∴αβ=?m2=?13364,
∴m=±1338。
变式15
例5 解:(1)当运动时间为t s时,AP=t cm,BP=(6-t) cm,BQ=2t cm,CQ=(12-2t) cm。
根据题意，得 126?t×2t=8,
整理得 t2?6t+8=0,
解得 t1=2,t2=4。
答:2 s 或 4 s后△PBQ 的面积等于 8 cm?。
(2)△PDQ的面积不能为 8 cm?,理由如下:
假设△PDQ的面积为8 cm?。
由题图知,S△PDQ=S长方形.
即 12×6?12×12t?126?t×2t?12×6×12?2t=8,整理得t?-6t+28=0。
∵b2?4ac=?62?4×1×28=?76<0,
∴原方程无解，
∴假设不成立,即△PDQ 的面积不能为 8 cm?。
变式1 C 变式 2 x(x-1)=1 056