2.4一元二次方程的应用 练习（含答案）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

2.4一元二次方程的应用
第1课时 代数型问题
1.某市图书馆7月份接待读者15万人次，9月份接待读者增长到 19万人次。若接待人次的月均增长率相同，设月均增长率为x，则根据题意，可列方程 ( )
A. 191+x2=15
B. 1+x2=15+19
C. 151+x2=19
D. 15(1+2x)=19
2.一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为 60元时，平均每天可售出 20件。为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施。经过一段时间，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出 4件。若该商店每天要实现1 400元的利润，则每件需降价多少元?设每件商品降价 x 元，由题意可列方程 ( )
A. (60-x)(20+4x)=1400
B. (40-x)(20+4x)=1400
C. (60-x)(20+2x)=1400
D. (40-x)(20+0.5x)=1400
3.一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送 306条信息，则这个小组有多少人?设这个小组有x人，根据题意可列方程 ( )
A. x(x+1)=306
B. 12xx+1=306
C. x(x-1)=306
D. 12xx?1=306
4.某药品原价为每盒 96元，连续两次降价后售价为每盒 54元，则该药品每次平均降价率为 ( )
A. 10% B. 20%
C. 25% D. 50%
5.某工厂1月份的产值是5万元，2，3月份产值的月平均增长率为x。
(1)若3月份的产值是 11.25 万元，则可列方程: 。
(2)若前3个月的总产值是18.2万元，则可列方程： 。
6.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆每增加1株，则平均每株盈利就减少0.5元，要使每盆盈利 15 元，则每盆应多植多少株?设每盆多植x株，则一株的盈利为 元,可列方程: 。
7.已知某两个连续自然数的积比它们的和大109，则这两个自然数为 。
8.某大剧院举办文艺演出，经调研，如果票价定为每张50元，那么1200张门票可以全部售出，且票价每增加1元，售出的门票将会减少 20张。要使门票收入为 60500元，则票价应定为多少元?
9.某种服装，平均每天可销售 50件，每件利润40元，若每件每降价 5元，则每天可多售出10件。如果要在扩大销量的同时，使每天的总利润达到 2100元，每件应降价多少元?若设每件应降价x元，则可列方程 ( )
A. 40?x50+10×x5=2100
B. 40?x50?10×x5=2100
C. 40+x50?10×x5=2100
D. 40+x50+10×x5=2100
10.随着《哪吒之魔童闹海》电影的大爆，与之相关的哪吒文创周边销售也异常火爆。某文创店将进价为20元/个的哪吒钥匙扣以30元/个出售，平均每天能售出50个，该文创店通过调查发现这种钥匙扣每个的售价每上涨1元，其每天的销售量就减少 2个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为608元，且售价不能超过 38元/个，这种钥匙扣的售价应定为 元/个。
11.某超市今年年初以每件 25元的进价购进一批商品。当商品售价为 40元时，一月份销售 128件。二、三月该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的销售量达到 200件。设二、三这两个月的月平均增长率不变。
(1)求二、三这两个月的月平均增长率。
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每降价 1元，其销售量在三月份销售量的基础上就增加 5件，当每件商品降价多少元时，商场获利 1250元?
12.某代理商销售一批衬衫，平均每天销售30件，每件盈利 35 元，为了增加盈利和减少库存，他决定采取适当降价的措施，经调查发现，如果每件每降价1元，则每天可多销售3件。
(1)若想每天盈利 1500元，则每件衬衫应降价多少元?
(2)问平均每天能否获利 2100元?若能，求出每件衬衫应降价多少元；若不能，请说明理由。
2.4一元二次方程的应用
第2课时 几何型问题
376745510452101.某农户用 26 m长的篱笆围成一个一边靠墙(墙长12m),且面积为 80 m? 的长方形花园，垂直于墙的一条边留有一个 1m 宽的门，设垂直于墙的另一条边的边长为 x m，如图。若可列方程x×★=80，则★表示的是 ( )
A. (26-2x) B. (27-2x)
C. 26?x2 D. 27?x2

2.我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等。问方(面)圆径各若干?”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块(如图所示)，面积之和为 252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等。问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少?设正方形田的边长为x，则可列方程 ( )
A. x22+πx2=252232410063500
B. x2+πx2=252
C. x2+πx22=252
D. 2x2+2πx2=252
3.如图，在长 70 m、宽40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分)，要使观赏路面积占总面积的 110，则路宽x(m)应满足的方程是 ( )
A. (40-x)(70-x)=280
B. (40-2x)(70-3x)=280
C. (40-x)(70-x)=2520
D. (40-2x)(70-3x)=2520
42246554267204.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，绿化后一边减少了3m ,另一边减少了 2m ,剩余长方形空地的面积为30 m?，则原正方形空地的边长为( )
A. 6m B. 7m C. 8m D. 9m
5.汉朝时期的五铢钱为“外圆内方”的造型，体现了“天圆地方”的人文观念。已知方孔的边长是7 mm，面积是整个圆面积的 18.若设五铢钱的半径是 x mm，则可列方程 。
6.在一幅长为 65 cm、宽为 30 cm的长方形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅长方形挂图，设金色纸边的宽为x cm,如果要使整个挂图的面积是 2 450 cm?,那么x满足的方程是 。
7.如图1，将一张宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分(两个正方形、两个长方形)之后，恰好折成如图 2的底面为正方形的有盖纸盒(下底面面积大于侧面积)，纸盒的侧面积为 32 cm?，求该有盖纸盒的底面边长。
8.我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法。以方程 x2+5x?14=0,即x(x+5)=14为例说明，《方图注》中记载的方法为：构造图形如下，其中大正方形的面积是(x+x+5)?，同时它又等于4个长方形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52,因此x=2。小明用此方法解关于x的方程 x2+mx?n=0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为 14，小正方形的面积为4，则 ( )
A. m=2,n=3 B. m=142,n=2
C. m=52,n=2 D. m=2,n=52
9.如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=30°,BC=5cm ,点 E 从点 A 出发,沿射线 AB 运动,速度为 2cm/s,点 F 从点 C 出发,沿线段CA 运动,速度为1 cm/s,连结 EF。若 E,F两点同时出发，当点 F 到达点 A 时，点 E 也停止运动,则经过 s后,△AEF的面积恰为 12 cm?。
10.某区政府准备开发一块长 32 m、宽 21 m的长方形空地。
(1)方案一：如图1，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m 就是它的右边线，则这块草坪的面积为 m?。
(2)方案二：如图 2，将这块空地种上草坪，修纵、横两条宽1m 的小路，则这块草坪的面积为 m?。
(3)方案三：修建一个长是宽的 1.6倍、面积为 432 m? 的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在25 m到30 m之间,宽在13 m到20 m之间，这个篮球场能用做比赛吗?并说明理由。
11.小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点 C 出发，以4 米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点 B 出发，以3 米/秒的速度由南向北行驶，AC=40 米，AB=30米(如图)。已知赛车之间的距离小于或等于 25 米时，遥控信号会相互干扰。
(1)出发 3 秒钟时，遥控信号是否会相互干扰?
(2)出发几秒钟时，遥控信号将会开始相互干扰?
2.4一元二次方程的应用
第1课时 代数型问题
1. C 2. B 3. C 4. C
5. (1)5(1+x)?=11.25 (2)5+5(1+x)+5(1+x)?=18.2
6. (4-0.5x) (3+x)(4-0.5x)=15 7. 11,12
8.解：设票价应定为x元，
由题意,得x[1 200-20(x-50)]=60 500,解得 x1=x2=55。
答：票价应定为55元。
9. A 10. 36
11.解：(1)设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意，得 1281+x2=200,
解得 x1=0.25=25%,x2=?2.25(不符合题意，舍去)。
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%。
(2)设每件商品降价y元，则每件的销售利润为(40-y-25)元,月销售量为(200+5y)件,
根据题意,得(40-y-25)(200+5y)=1 250,
整理得 y2+25y?350=0,
解得y?=10,y?=-35(不符合题意,舍去)。
答：当每件商品降价10 元时，商场获利1250元。
12.解：(1)设每件衬衫应降价x元，则每件盈利(35-x)元，每天可以售出(30+3x)件,
由题意,得(35-x)(30+3x)=1 500,
解得 x1=10,x2=15,
因为要减少库存，所以 x的值应为15。
答：若想每天盈利1500 元，每件衬衫应降价15元。
(2)假设能获利 2 100元，设每件衬衫应降价 y元，
由题意,得(35-y)(30+3y)=2 100,
整理，得 y2?25y+350=0,
因为b?-4ac=(-25)?-4×1×350=-775<0,
所以该方程无解，
所以平均每天不能获利 2 100元。
2.4一元二次方程的应用
第 2 课时几何型问题
1. B 2. C 3. D 4. C 5. 18πx2=7×7
6. (65+2x)(30+2x)=2 450
7.解：设剪掉的小正方形的边长为x cm，则该有盖纸盒的底面边长为(10-2x) cm,
根据题意,得4x(10-2x)=32,
整理得 x2?5x+4=0,
解得 x1=1,x2=4。
当x=1时, 10?2x2=10?2×12=64>32,符合题意，此时10-2x=10-2×1=8;
当x=4 时, 10?2x2=10?2×42=4<32,不符合题意，舍去。
答：该有盖纸盒的底面边长为 8 cm。
8. D 【解析】方程 x2+mx?n=0,即x(x+m)=n,作出图形，如图，
5071110271145由题意得 m2=4,4n+4=14,
所以 m=4=2,n=52。
9. 4 或6 【解析】过点 E作 EH⊥AC于点 H,如图,设运动时间为 t s。
∵在 Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=5 cm,∴AC=2BC=10 cm。
根据题意得AE=2t cm,CF=t cm,
∴AF=10?tcm,EH=12AE=tcm。
∵△AEF 的面积恰为 12 cm?,
∴12t10?t=12,
解得 t=4或t=6,
∴经过 4 s 或 6 s后,△AEF 的面积恰为 12 cm?。
10. 解:(1)651 (2)620
(3)这个篮球场能用做比赛，理由如下：
设宽为x m,则长为1.6x m,
依题意，得 1.6x2=432,
解得 x2=270。
∵132=169<270<400=202,
∴宽满足要求。
432 ÷1.6x2=691.2,252=625<691.2<900=302,
∴长满足要求，
∴这个篮球场能用做比赛。
11. 解:(1)出发3 秒钟时, CC1=12米， BB1=9米，
∵AC=40米,AB=30米,
∴AC1=28米， AB1=21米，
∴B1C1=282+212=35>25,
∴出发3秒钟时，遥控信号不会相互干扰。
(2)设出发t秒钟时，遥控信号将会开始相互干扰，
根据题意，得 40?4t2+30?3t2=252,
解得t?=5,t?=15(不合题意,舍去)。
答：出发5秒钟时，遥控信号将会开始相互干扰。