5.1多边形（2）

§5。1 多边形（2）
教学目标：
1、探索任意多边形的内角和，体验归纳发现规律的思想方法；
2、掌握多边形内角和的计算公式及外角和等于360°；
3、会用多边形的内角和与外角和的性质解决简单几何问题。
教学重点和难点：
重点：本节教学的重点是任意多边形的内角和公式；难点：例2的解题思路不易形成，是本节教学的难点。
教学设想：
考虑到如何更直观、形象地突破教学重、难点，增大课堂容量，提高课堂效率，采用了多媒体辅助教学。叶圣陶说“教是为了不教”，也就是我们传授给学生的不只是知识内容，更重要的是指导学生一些数学的学习方法。在分析理解性质的证明过程时，加强师生的双边活动，提高学生分析问题、解决问题的能力。通过例题、练习，让学生总结解决问题的方法，以培养学生良好的学习习惯。
教学过程设计：
一、创设情境，导入新课：
展示图片，增加学生的感官感受。上图中美国五角大楼的边缘是一个边数为5的多边形——五边形。如下图中的花边，则主要是由八边形图案组成。又如：我们知道边数为3的多边形——三角形，边数为4的多边形——四边形，……边数为n的多边形——n边形(n≥3)。
多边形定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的图形。
让学生例举多边形在生活中的实例。（对于学生而言，他们所能举的例子通常是四边形或六边形<地砖>，很少会想到如蜂巢为六边形，亭子则有八边形和六边形，工艺品则有多种多边形的组合等，教师应该事先加以注意，并在学生的回答中适当地加以引导。也可以结合一些实例向学生展示，增加学生对于了解日常生活中多边形的应用的意识和认识。）如：
连结多边形不相邻两顶点的线段叫做多边形的对角线（这是解决多边形问题的常用辅助线）。——解决多边形的问题，就是将它转化为三角形或四边形。如图：
二、合作交流，探究新知
（1）你能设法求出这个五边形的五个内角和吗？先启发学生回顾四边形的内角和及推理方法，下面可用连结对角线这同样的方法把多边形划分成若干个三角形来完成书本第96页的合作学习。
边数 图形 从某顶点出发的对角线条数 划分成的三角形个数 多边形的内角和
3 0 1 1×180° =180°
4 1 2 2×180° =360°
5 2 3 3×180° =540°
6 3 4 4×180° =720°
… … … … …
n n-3 n-2 (n-2)×180°
（2）再启发学生观察所能划分成的三角形个数与边数n有关。
（3)结论：n边形的内角和为（n－2）×180°(n≥3)。
（4）清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过一个角，他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？即在此图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？
主要利用的是①可以利用五边形的外角和来计算；
②可以应用转身的角度（一周）来思考。
（5）先启发学生回顾四边形的外角和及推理方法，由学生自己完成推论：任何多边形的外角和为360 。
多边形的外角和
三、应用新知，体验成功
（1）判断：
一个多边形中，锐角最多只能有三个。（ ）
一个多边形的内角和等于1080°，则它的边数为8。 （ ）
（2）完成书本第97页的课内练习1。2。
四、掌握思维方法，例题讲解
例、一个六边形如图。已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。
因本题中学生的思考思路通常不容易形成，可以作适当的教师启发：先观察图形，发现六边形的内角之间可能存在什么关系，设法用推理的方法予以证明；再结合已知平行线的性质并通过尝试添加辅助线(连结对角线)，转化思想的应用，找到解题的途径。
方法一方法二
解：连结AD，如图一
∵AB∥DE， CD∥AF（已知）
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）
∴∠1+∠3＝∠2+∠4即∠FAB＝∠CDE，同理∠B＝∠E，∠C＝∠F
∵∠FAB＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F=（6－2）×180°=720°
∴∠FAB＋∠C＋∠E= 1／2 ×720°=360°
引导学生一题多解，把多边形的问题转化到三角形中去解决。可向两个方向分别延长AB，CD，EF三条边，构成△PQR。（如图二）
∵ CD∥AF∴∠1=∠R，同理∠2=∠R
∴∠1＝∠2，∴∠AFE=∠DCB
同理∠FAB＝∠CDE，∠ABC=∠DEF
∵∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE＋∠DEF＋∠AFE=（6-2）×180°=720°
∴∠FAB＋∠BCD＋∠DEF= 1／2 ×720°=360°
本题对于学生而言，主要是没有或很少接触此类问题的时机，因此学生的思路通常很有局限性，在解决问题之后，可以培养学生进行合适的题后小结，尤其是寻找解题途径的思路，或解题中常用的转化方法——利用对角线将多边形转化为三角形或四边形等比较熟悉的问题来解决（可在内部，也可向外拓展）。
5、深化知识，培养能力
（1）一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是几边形？
（2）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
（3）有一个n边形的内角和与外角和之比为9：2，求n边形的边数。
（4）铺地板的六角砖内角和是多少度？
（5）公园里的八角亭的内角和是多少度
（6）十边形的内角和是多少？外角和呢
（7）若一个n边形内角和是1800° ，则n=
（8）n边形的每个内角都等于120°，则n=
（9）n边形的每个外角都等于72°，则n=
（10）一个内角和为1620°的多边形有多少条对角线
（11）五边形ABCDE中，若∠A=∠D=90o，且∠B：∠C：∠E=3：2：4，则∠C的度数为_____
（12）完成书本第98页的作业题4。
6、小结内容，自我反馈
学生自由发言：这节课学了什么？（师小结提问：学了什么？有什么规律？有什么常用方法？）
7、作业布置