浙教版八年级数学下册 5.2 菱形 期末小节习题（含答案）

5.2《 菱形》期末小节习题
一、单选题
1．在四边形中，，．如果再添加一个条件，即可推出该四边形是菱形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D=90 B． C． D．
2．艺术家埃舍尔将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图①是一个菱形，将图①截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②镶嵌得到图③，将图③着色后，再次镶嵌便得到埃舍尔作品（如图④），则图③中的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形中， ，为边的中点，为边上一点，将沿所在的直线折叠，点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，依次连接第一个菱形各边的中点得到一个矩形，再依次连接矩形各边的中点得到第二个菱形，按此方法继续下去，已知第一个菱形的面积为1，则第4个菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．有下列说法，其中正确说法的序号是（ ）
①矩形具有平行四边形的所有性质；
②平行四边形是轴对称图形；
③菱形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的等腰三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
A．①④ B．①③ C．①③④ D．①②③④
6．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（ ）
①；②四边形是菱形；③； ④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH，BD与EH相交于P，若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF=（ ）度．
A．25 B．30 C．45 D．35
8．如图所示是以所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形的各个内角相等，记四边形、四边形的周长分别为，且，已知，则的长是（ ）
A．22 B．33 C．44 D．55
9．如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接交于点，过点A作于点，连接．若，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④；⑤正确的有（　　）
A．①③④ B．①③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤
10．如图，已知矩形的邻边长分别为、，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形则第次操作后，得到四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，四边形和四边形均为菱形，且菱形的面积为落在边上，若 BCF的面积为，则的面积是___________．
12．如图，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将菱形绕着点按顺时针方向旋转得到菱形，点的对应点在轴上，则点的对应点的坐标为___________．
13．如图，菱形中，，点为对角线上一点，作于点，作于点，若，菱形的面积为 _________ ．
14．如图，矩形中，，对角线相交于，．点关于的对称点为，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段，连接CF，则线段长的最小值为______．
15．在四边形中，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______．
三、解答题
16．如图1， ABC为等腰三角形，，P点是底边上的一个动点．，．
(1)四边形的周长为________．
(2)点P运动到什么位置时，四边形是菱形，请说明理由；
(3)如果 ABC不是等腰三角形（图2）其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形是菱形，并说明理由．
17．如图，在（）中设计了以下作图方案．
第一步：在上取一点，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点；再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P．连接并延长，交于点E．
第二步：在上取一点，以点B为圆心，以的长为半径作弧，交于点；再以E为圆心，以的长为半径作弧，交于点；再以为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点Q，连接并延长，交于点F．
第三步：连接，．
某同学按照方案利用无刻度的直尺和圆规作图如下．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)经测量，，，求的度数．
18．如图，四边形是菱形，，点，在上，，连接，，，．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求四边形的周长．
19．在矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处．
(1)【初步认识】如图1，折痕的端点与点重合．
①当时，；
②若点恰好在线段上，求的长；
(2)【深入思考】如图2，点恰好落在边上．过点作交于点，连接．根据题意，补全图 并证明四边形是菱形；
(3)【拓展提升】如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长．
20.如图①，在矩形中，，，，分别是，上的点，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，始终保持，连接，，，．已知点，的速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为．
(1)若，分别是，中点．
①求证：；
②求证：四边形是平行四边形；
③若四边形为矩形，求的值；
(2)如图②，若点，以每秒1个单位长度的速度分别从、的中点与点、同时出发，分别向点，运动，当四边形为菱形时，直接写出的值．
参考答案
一、单选题
1．D
解：∵ ，，且四边形内角和为，
∴ ，即，
∴ （同旁内角互补，两直线平行），
又∵ ，且，
∴ ，
∴，
∴ 四边形是平行四边形.
A、当时，平行四边形为矩形，不符合题意；
B、当时，平行四边形为矩形，不符合题意；
C、当时，不能保证菱形，不符合题意；
D、当，则平行四边形中一组邻边相等，那么该平行四边形是菱形，符合题意．
故选：D．
2．B
解：如图所示，
由题意可知，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
3．D
解：∵四边形是菱形，
∴，
∵为边的中点，
∴，
由折叠得，，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
4．D
解：如图，连接矩形和菱形的对角线，
根据矩形和菱形的性质以及中点可得图中最小单位的16个三角形面积都相等，且为第1个菱形面积的，
已知第1个菱形的面积为1，则第1个矩形面积为；
同理可得第2个菱形的面积是第一个矩形面积的一半，为，
第3个菱形的面积为，
第4个菱形的面积为．
5．C
解：∵矩形是特殊的平行四边形，
∴矩形具有平行四边形的所有性质，故①正确；
∵普通平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，
∴②错误；
∵菱形是四边相等的平行四边形，任意一条对角线分割该平行四边形（菱形）后，得到的两个三角形三边对应相等（菱形边长相等，对角线为公共边），因此两个三角形全等，且每个三角形有两条边是菱形的边长，因此是等腰三角形，
∴③正确；
∵平行四边形的对角线互相平分，四个小三角形等底同高，面积都等于平行四边形面积的，因此四个小三角形面积相等，
∴④正确；
综上，正确说法的序号是①③④．
故选：C．
6．C
解：∵四边形是矩形， O是中点，
∴，
∴，
∴，
∴，是等边三角形，
∴，；
∵，
∴，垂直平分，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴；故①是正确的；
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形，故②正确；
∵，
∴；
∵，
∴，
∵
∴，
∴，故③正确，
设的面积为a，
∵，
则，
而M为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④错误；
故选：C．
7．A
解：E、G分别是AD、BD 的中点，F H分别是BC、AC的中点，
，
，
同理：，
四边形EGFH是平行四边形，
AB=CD，
GE=GF，
四边形EGFH是菱形
∠ABD= 20°，∠BDC= 70°，，
，，
，
，
，
FE平分 ，

故选:： A．
8．B
解：∵六边形的各个内角相等，
∴该六边形的每个内角为，每个外角都是，
∴，，都是等边三角形，
∴，，，，
∴ ABC是等边三角形，
∴，即，
又，
∴，
由轴对称可得，四边形、四边形都是菱形，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9．A
解：①由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，，
，，
∵，
，
，
，
，
四边形是菱形，故①正确；
②四边形是菱形，
，，，
，
，故②错误；
③四边形是菱形，
，故③正确；
④四边形是菱形，
，
，
，故④正确；
⑤四边形是菱形，
是的中点，
在中，是斜边的中线，
，故⑤错误．
故正确的有①③④，
故选：A．
10．B
解：如图，连接，
∵顺次连接矩形各边的中点，得到四边形，
∴四边形 是矩形，
∴，.
同理，，，
∴，
∴，
∵顺次连接四边形，各边的中点，得到四边形，
∴，，
∴，
依此可得，
∴四边形的面积是．
故选：B．
二、填空题
11．
解：如图，连接，
四边形和四边形都是菱形，
，，，，
，，
，
，
，
，
和同底等高，
，
菱形的面积为， BCF的面积为，
，
，
故答案为：．
12．
解：如图所示，连接交于点E，
∵菱形的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，
∴点，
∴．
由旋转的性质可得，
∴，
∴点D的对应点的坐标为．
13．
解：连接，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴由勾股定理可得，，
∵，
∴．
故答案为： ．
14．
解：如图，连接，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴ AOB是等边三角形，，
∴，
∵点与关于对称，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
要使最小，则需最小，根据垂线段最短可知，当时，最小，如图，
∵ AOB是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴线段长的最小值为．
15．12
解：，F分别是，的中点，
是 ABC的中位线，
，，
同理：，，
，，
四边形是平行四边形，
，G分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，，
，
四边形是矩形，
四边形的面积为：，
故答案为：．
三、解答题
16．（1）解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形的周长；
（2）解：当点P运动到中点时，四边形是菱形．理由如下：
连结，如图，
，，
四边形是平行四边形．
，P为的中点，
．
，
，
，
，
四边形是菱形；
（3）解：点P运动到的平分线上时，四边形ADPE是菱形，理由如下：
连结．
，，
四边形是平行四边形，
平分，
．
，
，
，
，
平行四边形是菱形．
17．（1）解：四边形是菱形，理由如下：
∵平行四边形
∴
∴
由作图可得，平分
∴
∴
∴
由作图可得，
又∵，即
∴四边形是平行四边形，
又∵
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形
∴，
∵，
∴．
18．（1）证明：如图，连接，交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，连接，交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵四边形是菱形，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴四边形的周长为．
19．（1）解：①∵，
∴，
由折叠可得，，
∴，
②当点恰好在线段上时，如图所示，
∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠可得，，，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴的长；
（2）补图如下：
证明：∵，
∴，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（3）由折叠可知，，设，则，
①当时，
在中，，
解得，
∴；
②当时，过点作交于，
则， ，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴；
综上，线段的长为或．
20．（1）解：①∵矩形中，，，
∴，，
∴，
∵，分别是，中点，
∴,，
∴，
∵，
∴．
②∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
③连接，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，∠B=90 ，
∴，
如图1，当点E，F相遇前，
∵四边形是矩形，
∴
∵，
∴，
解得；
如图2，当点E，F相遇后，
∵四边形是矩形，
又∵，，
∴，
解得,
综上所述，四边形为矩形时，或；
（2）如图，设M，N分别为、的中点，连接，，，令与相交于点O，
，，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
设，则，
由勾股定理，可得，
即，
解得，
∵，即，
当四边形为菱形时，t的值为．