第3章《实数》单元检测2026-2027学年第一学期浙教版七年级数学上册（含解析）

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第3章《实数》单元检测2026-2027学年第一学期浙教版七年级数学上册（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．的平方根是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】
【分析】先计算出的值，再求其平方根．
【解析】，
的平方根为，
故选．
2．在实数，，，，，（两个之间为依次增加一个）中，无理数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据无理数的三种形式求解．
【详解】解：＝2，
无理数有：﹣，，4.010010001…，共3个．
故选择：C．
3．估计的值在哪两个整数之间（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
【答案】C
【分析】本题考查无理数的估值，理解无理数的估值计算方法是正确解答的关键．根据无理数的估值进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴的值在4和5之间．
故选：C．
4．如图为张小亮的答卷，他的得分应是（ ）
姓名 张小亮 得分 填空（每小题20分，共100分） ①的绝对值是 1 . ②2的倒数是 . ③的相反数是 2 . ④1的立方根是 1 . ⑤和7的平均数是 3 .
A．100分 B．80分 C．60分 D．40分
【答案】B
【分析】根据绝对值、倒数、相反数、立方根以及平均数进行计算即可．
【详解】解： 1的绝对值是1，
2的倒数是，
2的相反数是2，
1的立方根为1，
1和7的平均数是3，
答对了4题，故小亮得了80分，
故选B．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目主要考查平方及算术平方根的非负性，求代数式的值，熟练掌握这些基础知识点是解题关键.
根据非负数的性质，平方项和算术平方根均为非负数，它们的和为零时，每个部分都为零，由此可解出a和b的值，再计算.
【详解】解：，
∵， ，
∴且，
∴，，
∴，
故选：B.
6．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（ ）
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出正方形花坛的边长为，再进行估算即可得解．
【详解】解：设正方形边长为，
则面积，
解得：，
，
，
边长介于和之间，
故选：D．
7．已知一个正数的平方根是和，则的值是（ ）
A．3 B．0 C．2 D．1
【答案】D
【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据该性质列方程即可求解的值．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数
去括号得
合并同类项得
移项得
解得．
8.有一个数值转换器，流程如下：
当输入的值为时，输出的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】依据转换器流程，先求出的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数；再取算术平方根为，最后输出，即可求出y的值．
【详解】解：∵的算术平方根是8，8是有理数，
取8的立方根为2，是有理数，
再取2的算术平方根为，是无理数，
则输出，
∴y的值是．
故选：B．
如图，用边长为5的两个小正方形拼成一个大正方形，在大正方形中放入一个直径d为整数的圆，
则d的最大值为（ ）
A．2 B．5 C．7 D．10
【答案】C
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，再对无理数进行估算即可求解．
【详解】解：∵用边长为5的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：，
则大正方形的边长为：，即，
∵，
∴，
∴大正方形的边长最接近的整数是7，即d的最大值为7．
对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为m的根整数，
如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．
例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①的值为4；
②若，则满足题意的m的整数值有2个，分别是2和3；
③对110连续求根整数，第3次后结果为1；
④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255．
其中错误的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据的定义，逐项进行计算即可．
【详解】解：①∵=2，=2，
∴ =2+2=4，因此①正确；
②若，则满足题意的m的整数值有3个，分别是1、2、3，因此②不正确；
③=10→=3→=l，
∴对110连续求根整数，第3次后结果为1，因此③正确；
④∵=15→=3→=l，
而=16→=4→=2→=1，
∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为l的所有正整数中，最大的是255．
因此④正确；综上所述，错误的结论是：②，共1个，故选：A．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
计算：_________．
【答案】
【分析】根据相关运算法则逐步计算即可.
【详解】解：
.
12．比较大小： .
【答案】>
【分析】因为两数的分母相同，比较分子的大小即可．
【详解】解：∵1>-1
∴>.
故答案为 >
13．若则， ．
【答案】-1
【分析】先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a、b、c的值，再代入即可得．
【详解】解：∵，
∴a-1=0，b+2=0，c-3=0，
∴a=1，b=-2，c=3，
∴．
观察下列一组算式的特征及运算结果：
①，②，③，…，
请根据规律计算的值为______．
【答案】
【详解】解：∵，，，……
规律为
∴．
原式
．
规定符号表示实数m的整数部分，例如，
按此规定，如果的小数部分为a，的整数部分为b，则＝______；
【答案】4
【分析】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的确定及新定义符号的应用，解题的关键是通过夹逼法确定无理数的取值范围，进而得到其整数部分和小数部分．
通过夹逼法得，求出的小数部分；同理得，求出的整数部分；计算后，根据符号的定义求其值．
【详解】解：∵ ，
∴ 的小数部分，
∵ ，
∴ 的整数部分，
则，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：．
将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，
若在，则的值为________．
【答案】
【分析】观察图形可知，第排有个数，且第排最大的被开方数为．当为奇数时，从左向右被开方数递增；当为偶数时，从左向右被开方数递减．先通过估算平方数确定所在的行数，再根据偶数行的排列规律计算列数，最后代入求值．
【详解】解：由图可知，第排有个数，第排有个数，，第排有个数
前排共有个数
所以第排最大的被开方数为
因为，且
所以位于第排，即
因为为偶数，由图可知偶数排从左向右被开方数递减第排第个数为即
所以
所以．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：．
【答案】
【分析】此题考查了实数的综合混合运算能力，解题的关键是能确定正确的运算顺序，并能准确运用各种计算法则进行运算．
先计算乘方、开方与绝对值，再计算加减．
【详解】解：，
，
．
18．解方程：
(1)； (2)
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题利用开平方和开立方解方程；
（1）用直接开平方法解方程即可；
（2）用直接开立方的方法解方程即可.
【详解】（1）解：
移项得：
开平方得：
解得：，.
（2）解：
开立方得：
解得：.
19．把下列各数的序号填入它们属于的集合内：
①；②；③7；④0；⑤；⑥；
⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2）；⑧；⑨．
【答案】见解析
【分析】本题考查了无理数、有理数、实数的分类．熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键．
根据无理数的定义，负有理数的定义，正实数的定义作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
（1）⑤，⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2），⑨属于无理数；
（2）①，②属于负有理数；
（3）③7，⑤，⑥，⑧，⑨属于正实数．
故答案为：
20．已知的平方根是，的立方根是4．
(1)求、的值．
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，；
(2)6．
【分析】（1）根据立方根与平方根的意义求出、的值；
（2）求出，再根据算术平方根的定义求出结果．
【详解】（1）解：∵的平方根是，
∴，
∴，
∵的立方根是4，
∴，
解得：，
∴，；
（2）由（1）可知：
，
∴的算术平方根为6．
21．【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
近似计算算术平方根的方法．
例如求的近似值．
因为，
所以，
则可以设成以下两种形式：
①，其中；
②，其中．
小明以①的形式求的近似值的过程如图．
因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，
理由如下；∵，，
∴，
∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高．
【分析】（1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则；
（2）可求出，据此可得结论．
【详解】解：（1）设，其中，
∴，
∴，
∵比较小，将忽略不计，
∴，
∴，
∴；
用①的形式得出的的近似值的精确度更高，
【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：
两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？
小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：，．所以．
小明：，．
这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，
所以．
任务：
猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？
运用以上结论，计算：
① ；
② ；
(3) 解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积．
【答案】(1)
(2)①；②；
(3)
【分析】本题考查了两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积的关系；根据关系进行计算，即可求解；
（1）根据已知可得，即可求解；
（2）①根据关系得，即可求解；
②根据关系得，即可求解；
（3）可得面积为，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
；
（2）解：①
；
②
；
（3）解：由题意得
，
答：这个长方形的面积为.
23．探究以下问题：
(1)【特例探究】
________，________，________；
(2)【规律总结】
对于实数，当时，________，当时，________；
(3)【学以致用】
计算：．
【答案】(1)6；0；3；
(2)；；
(3)
【分析】（1）根据算术平方根的性质即可求出各数的值；
（2）根据正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，求解即可；
（3）运用（2）得出的规律进行运算即可．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，当时，；
当时，；
（3）解：∵，，，……，，
∴
．
24．综合与实践．
【初步操作】
如图1，把两个面积为的小正方形沿对角线剪开，
拼成一个面积为的大正方形，可得小正方形的对角线长（大正方形的边长）为________；
【类比操作】
把长为2、宽为1的两个小长方形沿对角线剪开，
拼成如图2所示的一个大正方形（内部空白是一个小正方形），
仿照上面的探究方法求小长方形的对角线长；
【计算拓展】
若3是的一个平方根，的立方根是2，为图2中小正方形边长的小数部分，
请计算的平方根．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，求一个数的平方根，根据立方根和平方根求原数，实数的运算，无理数的估算等等， 熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据正方形面积计算公式求解即可；
（2）大正方形面积等于四个小长方形面积加上中间的小正方形面积，则，解方程即可得到答案；
（3）根据平方根和立方根的定义求出a、b的值，再根据（2）所求求出c的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义可得答案．
【详解】（1）解：∵大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为，即小正方形的对角线的长为；
（2）解：由题意得，，
∵，
∴，
∴小长方形的对角线长为；
（3）解：∵3是的一个平方根，的立方根是2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为图2中小正方形边长的小数部分，
∴，
∴，
∴的平方根为．
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第3章《实数》单元检测2026-2027学年第一学期浙教版七年级数学上册
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．的平方根是（ ）
A．6 B． C． D．
2．在实数，，，，，（两个之间为依次增加一个）中，无理数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．估计的值在哪两个整数之间（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
4．如图为张小亮的答卷，他的得分应是（ ）
姓名 张小亮 得分 填空（每小题20分，共100分） ①的绝对值是 1 . ②2的倒数是 . ③的相反数是 2 . ④1的立方根是 1 . ⑤和7的平均数是 3 .
A．100分 B．80分 C．60分 D．40分
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（ ）
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
7．已知一个正数的平方根是和，则的值是（ ）
A．3 B．0 C．2 D．1
有一个数值转换器，流程如下：
当输入的值为时，输出的值是（ ）
A．2 B． C． D．
如图，用边长为5的两个小正方形拼成一个大正方形，在大正方形中放入一个直径d为整数的圆，
则d的最大值为（ ）
A．2 B．5 C．7 D．10
对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为m的根整数，
如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．
例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①的值为4；
②若，则满足题意的m的整数值有2个，分别是2和3；
③对110连续求根整数，第3次后结果为1；
④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255．
其中错误的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
计算：_________．
12．比较大小： .
13．若则， ．
观察下列一组算式的特征及运算结果：
①，②，③，…，
请根据规律计算的值为______．
规定符号表示实数m的整数部分，例如，
按此规定，如果的小数部分为a，的整数部分为b，则＝______；
将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，
若在，则的值为________．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：．
18．解方程：
(1)； (2)
19．把下列各数的序号填入它们属于的集合内：
①；②；③7；④0；⑤；⑥；
⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2）；⑧；⑨．
20．已知的平方根是，的立方根是4．
(1)求、的值．
(2)求的算术平方根．
21．【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
近似计算算术平方根的方法．
例如求的近似值．
因为，
所以，
则可以设成以下两种形式：
①，其中；
②，其中．
小明以①的形式求的近似值的过程如图．
因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由．
【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：
两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？
小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：，．所以．
小明：，．
这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，
所以．
任务：
猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？
运用以上结论，计算：
① ；
② ；
(3) 解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积．
23．探究以下问题：
(1)【特例探究】
________，________，________；
(2)【规律总结】
对于实数，当时，________，当时，________；
(3)【学以致用】
计算：．
24．综合与实践．
【初步操作】
如图1，把两个面积为的小正方形沿对角线剪开，
拼成一个面积为的大正方形，可得小正方形的对角线长（大正方形的边长）为________；
【类比操作】
把长为2、宽为1的两个小长方形沿对角线剪开，
拼成如图2所示的一个大正方形（内部空白是一个小正方形），
仿照上面的探究方法求小长方形的对角线长；
【计算拓展】
若3是的一个平方根，的立方根是2，为图2中小正方形边长的小数部分，
请计算的平方根．
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