5.5.2 几何问题、行程问题-课件（共39张PPT）-2026-2027学年浙教版数学七年级上册

(共39张PPT)
浙教版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.5.5.2一元一次方程的应用——几何问题、行程问题第5章一元一次方程浙教版七年级上册5.5.2一元一次方程的应用——几何问题、行程问题练习题本节习题聚焦一元一次方程两大高频应用题型：几何问题与行程问题。几何问题重点利用周长、面积公式找等量关系；行程问题专攻相遇、追及基础模型，掌握路程、速度、时间核心关系。全程规范设元、列方程、求解作答步骤，针对性解决公式混淆、行程模型判断错误、几何边长设元出错、等量关系找不准等易错点，适配七年级同步拔高训练。一、基础选择题（每题4分，共20分）1.长方形周长为24，长为x，宽为4，列方程正确的是（）A. $$2x+4=24$$ B. $$2(x+4)=24$$ C. $$x+4=24$$ D. $$x+2\times4=24$$2.行程问题的核心等量关系是（）A.路程=速度÷时间B.路程=速度×时间C.速度=路程×时间D.时间=速度×路程3.甲乙两人相向而行，相遇时两人的（）相等A.速度B.时间C.路程D.位移4.一个三角形三边长之比为2:3:4，周长为36，最短边长为（）A. 8 B. 12 C. 16 D. 45.同向追及问题中，等量关系为（）A.两人路程和=总路程B.快者路程-慢者路程=初始距离C.速度和×时间=路程D.速度差=路程÷时间二、基础填空题（每题4分，共20分）1.长方形周长公式：周长=________，面积公式：面积=________。2.相遇问题：路程和=________×相遇时间。3.追及问题：路程差=________×追及时间。4.正方形边长增加2cm，周长增加________cm。5.甲乙速度分别为3km/h、5km/h，同向而行，每小时路程差为________km。三、专项解答题（共60分）1.（20分）几何周长面积问题：一个长方形的周长为40cm，长比宽多4cm，求长方形的长和宽。2.（20分）行程相遇问题：甲乙两车从相距360km的两地相向而行，甲车速度60km/h，乙车速度40km/h，两车同时出发，几小时后相遇？3.（20分）行程追及问题：甲乙两人同地同向出发，甲先出发2小时，速度为4km/h，乙速度为6km/h，乙出发几小时后追上甲？参考答案一、选择题：1.B 2.B 3.B 4.A 5.B二、填空题：1.$$2(长+宽)$$、$$长\times宽$$ 2.速度和3.速度差4.8 5.2三、解答题：1.解：设长方形宽为$$x$$ cm，则长为$$(x+4)$$ cm。列方程：$$2(x+x+4)=40$$化简：$$2(2x+4)=40，2x+4=20$$，解得$$x=8$$长：$$8+4=12$$（cm）答：长方形长12cm，宽8cm。2.解：设$$x$$小时后两车相遇。列方程：$$(60+40)x=360$$解得：$$100x=360，x=3.6$$答：3.6小时后相遇。3.解：设乙出发$$x$$小时后追上甲。甲总行驶时间：$$(x+2)$$小时列方程：$$6x=4(x+2)$$化简：$$6x=4x+8$$，解得$$x=4$$答：乙出发4小时后追上甲。小节易错总结：1.几何问题严格套用公式，设边长尽量设小量，避免复杂计算；2.相遇问题找路程和，追及问题找路程差，模型不混淆；3.行程问题先后出发题型，务必算对总行驶时间；4.方程解出后需检验是否符合实际长度、时间意义；5.应用题必须完整书写设、列、解、答步骤。1.某雕像的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3.2米的正方形框（如图阴影部分）。已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗岩（接缝忽略不计），问：该雕像的底面边长是多少米
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知识精讲
【分析】如图，用x表示中间空白正方形的边长，
本题的数量关系是：
阴影部分的面积=144块边长为0.8米的正方形花岗岩的面积；阴影部分可以分割成4个长为(x+3.2)米，宽为3.2米的长方形。
1.某雕像的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3.2米的正方形框（如图阴影部分）。已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗岩（接缝忽略不计），问：该雕像的底面边长是多少米
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知识精讲
解：设雕像底面的边长为x米，
根据题意得：4×3.2(x+3.2)=0.8×0.8×144，
解得：x=4，
答：雕像的底面边长为4米。
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知识精讲
在运用方程解决有关实际问题时，清楚地分辨量与量之间的关系，尤其是相等关系，是建立方程的关键。解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体过程可以省略不写。
3. [真实情境题·道路建设]据新华网北京频道(2023年11月24
日)报道，京雄高速五环至六环段主体已经完工.北京段计
划于2023年12月31日全线贯通.通车后，由西南五环至雄
安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟.小艺爸爸
发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27.5
千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和报
道中描述的情况吻合，通车前小艺爸爸驾车从西南五环去
雄安新区出差的平均车速是多少？
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【解】设通车前小艺爸爸驾车从西南五环去雄安新区出差
的路程为x千米，则通车后小艺爸爸驾车从西南五环去雄
安新区出差的路程为(x－27.5)千米，
由题意得 － ＝17，解得x＝133.5，
所以 ＝ ＝89.
答：通车前小艺爸爸驾车从西南五环去雄安新区出差的平
均车速是89千米/时.
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2.如图，用直径为200mm的钢柱锻造一块长、宽、高分别为300mm，300mm和80mm的长方体毛坯底板。问：应截取钢柱多少长（不计损耗，结果误差不超过1mm）
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知识精讲
【分析】钢柱在锻造过程中体积不变，即
截取的圆柱体积=锻造成的长方体体积。
2.如图，用直径为200mm的钢柱锻造一块长、宽、高分别为300mm，300mm和80mm的长方体毛坯底板。问：应截取钢柱多少长（不计损耗，结果误差不超过1mm）
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知识精讲
解：设截取圆柱的高为x(mm)，
根据题意得：π×1002×x=300×300×80，
答：应截取钢柱的长约为229mm。
解得：x=≈229，
例1、如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为2，求这个长方形色块图的面积。
解：设D边长为x，则B、C边长x-2，E边长x+2，F边长x+4，
根据题意得：x+2+(x+4)=x+(x-2)+(x-2)，
解得：x=10，
则x+2+(x+4)=x+(x-2)+(x-2)=26，x+(x+2)=22，
∴长方形的长为26，宽为22，
∴长方形的面积为26×22=572，
答：这个长方形色块图的面积是572。
【分析】等量关系：E的边长+F的边长=D的边长+B的边长+C的边长
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典例精析
例2、在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB=7cm，BC=11cm，则阴影部分图形的总面积为________cm2。
【分析】等量关系：小长方形的长+3×小长方形的宽=BC
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典例精析
解：设小长方形的长为xcm，则宽为(7-x) cm，
根据题意得：x+3(7-x) =11，
解得：x=5，则7-x=2，
∴阴影部分图形的总面积=7×11-5×5×2=27（cm2）。
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Q1：小明从家步行到学校大约需要20min，走的路程为1200m，求小明步行的速度。
小明步行的速度==60m/min
Q2：(1)行程问题中的基本量是什么？
(2)这些基本量之间的关系是什么？
路程=速度×时间
速度、路程、时间
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知识精讲
调配问题
4. [2024·湖州一模]甲煤场有煤390吨，乙煤场有煤96吨，为
了使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨
煤到乙煤场？若设应从甲煤场运x吨煤到乙煤场，则下列
方程中，正确的是(　A　)
A. 390－x＝2(96＋x)
B. 390＋x＝2(96－x)
C. 390－x＝2×96
D. 390－2x＝96
A
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5. 甲队有工人144人，乙队有工人108人，如果要求乙队的人
数是甲队人数的 ，那么应从乙队调多少人到甲队？设应
从乙队调x人到甲队，则可列方程为
.
(144＋x)＝108
－x　
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Part1：乌龟与兔子相遇的故事
乌龟的速度是10m/min，
兔子的速度是590m/min，
两家相距15000m，
龟兔同时出发，
请问多久以后他们会在路上遇到呢？
啦啦啦~
跑啊跑~
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知识精讲
解：设x分钟后它们在路上相遇，
相遇
根据题意得：590x+10x=15000，
590x
10x
10m/min
590m/min
15000m
解得：x=25，
答：乌龟和兔子经过了25分钟后可以相遇。
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知识精讲
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知识精讲
用方程解实际问题时，我们还常常通过画示意图或列表来分析数量关系，再建立方程求解。
例1、甲、乙两站相距365km，一列慢车从甲地开往乙地，每小时行驶65km，慢车行驶1h后，另有一列快车从乙站开往甲站，每小时行驶85km，快车行驶几小时后与慢车相遇？
【分析】相遇问题：两者的路程之和=两者间的距离
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典例精析
适当画图更清楚哦~
365km
甲
乙
慢车
快车
65km/h
85km/h
相遇
65(x+1)
85x
解：设快车行驶x小时后与慢车相遇，则慢车行驶(x+1)小时，
根据题意得：65(x+1)+85x=365，
解得：x=2，
答：快车行驶2小时后与慢车相遇。
365km
甲
乙
慢车
快车
65km/h
85km/h
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典例精析
不妨设总路程为单位1
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典例精析
什么是单位1？
复习单位1的概念：
泛指一个完整的量，比如一段路程、一项工程、一箱苹果、一本书、一段时间等，再赋予它们自然数1的特性。
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典例精析
【分析】若总路程为“1”，则甲的速度为，乙的速度为，
解：(1)设x小时可以相遇，
根据题意得：x+x=1，
解得：x=，
答：若两人同时相向而行，小时可以相遇；
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典例精析
(2)设家x小时可以追到乙，
根据题意得：x-x=1，
解得：x=，
答：若两人同时同向而行，甲小时可以追到乙。
例4、甲、乙两站相距480km，一列慢车从甲站开出，每小时行90km，一列快车从乙站开出，每小时行140km。
(1)慢车先开出1h，快车再开，两车相向而行，问快车开出多少小时后两车相遇？
(2)两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600km？
(3)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600km？
【分析】(1)相遇问题：两者的路程之和=两者间的距离
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典例精析
解：(1)设快车开出x小时后两车相遇，
根据题意得：90(x+1)+140x=480，
解得：x=，答：快车开出小时后两车相遇。
行程问题
1. 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行
驶，客车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是
60 km/h，客车比卡车早40 min经过B地.设A、B两地间的路程是x km，由题意可得方程为 .
－ ＝ 　
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2. [新考向·传统文化][2024·贵州] 在元朝朱世杰所著的《算
术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240
里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马
需要的天数是 .
20天　
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6. [情境题·生活应用]某中学举办运动会，学校选派志愿者负
责运动会的秩序维持和联络服务工作，刚开始负责秩序维
持工作的有35人，负责联络服务工作的有24人.因工作需
要，又调30人去支援这两处工作，使得负责秩序维持工作
的人数比负责联络服务工作人数的2倍少1人，应调往联络
服务、秩序维持工作各多少人？
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【解】设应调往联络服务工作x人，则调往秩序维持工作
(30－x)人，
根据题意得2(24＋x)－1＝35＋30－x，
解得x＝6，
所以30－x＝30－6＝24.
答：应调往联络服务工作6人，调往秩序维持工作24人.
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[易错题]因弄错一段时间内所行驶的路程而出错
7. 一列火车匀速行驶，完全经过一条长350 m的隧道需要12
s的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照
在火车上的时间是5 s，设火车的行驶速度为x m/s，依题
意列方程是 .
5x＋350＝12x　
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8. 甲烧杯有432毫升酒精，乙烧杯有96毫升酒精，若从甲烧
杯倒x毫升酒精到乙烧杯后，此时，甲烧杯中的酒精是乙
烧杯中的酒精的2倍，则此时乙烧杯中的酒精是(　C　)
A. 80毫升 B. 352毫升
C. 176毫升 D. 256毫升
C
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9. [2024·杭州萧山区月考]如图，正方形的边长为6，甲、乙
两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的
边开始运动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环
行，若甲的速度是乙速度的2倍，则它们第2 024次相遇是
在(　B　)
B
A. AD边上
B. A点
C. BC边上
D. B点
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10. 某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，
其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每名工人平
均每小时可以制作盒身50个或盒底120个.
(1)该工厂有男工、女工各多少名？
【解】设该工厂有男工x名，则有女工(2x－20)名，
由题意得x＋2x－20＝88，解得x＝36，
女工：2×36－20＝52(名).
答：该工厂有男工36名，有女工52名.
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(2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒
底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮
男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰
好配套？
【解】设调y名女工帮男工制作盒身，
由题意得50(36＋y)×2＝(52－y)×120，
解得y＝12.
答：调12名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制
作的盒身与盒底恰好配套.
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11. [新视角·实践探究题]综合与实践
问题情境：太原滨河自行车专用道位于汾河两侧，不仅
能满足太原市民通勤、运动与休闲的需求，还能缓解滨
河东、西路的交通压力.周末，甲、乙两人相约去滨河自
行车道骑车，甲从通达桥入口(记为A地)进入自行车
道，向胜利桥方向骑行，甲出发20 min后乙从胜利桥入
口(记为B地)进入自行车道，向通达桥方向骑行.已知
A，B两地相距大约18 km，甲的平均速度是10 km/h，
乙的平均速度是12 km/h.设甲骑行的时间为x h.
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数学思考：
(1)在两人骑行的过程中，甲骑行的路程为
km，乙骑行的路程为 km.(用含x的代数式表示)
10x　
(12x－4)　
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(2)当甲、乙两人相遇时，求x的值.
【解】由题意可知，A，B两地相距大约18 km，
当甲、乙两人相遇时，可列方程为10x＋(12x－4)＝
18，
解得x＝1.
问题解决：
答：当甲、乙两人相遇时，x的值为1.
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(3)两人相遇后，甲继续以原速度向B地骑行，乙休息3
min后掉头按原速度返回B地.在乙返回途中，当甲、
乙两人相距 km时，直接写出x的值.
【解】 或 .
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【点拨】
根据题意，设两人的相遇点为C，
从相遇点C开始，甲的骑行路程为10(x－1) km，
乙休息3 min，即 h，从相遇点C开始，乙的骑
行路程为12 km，即( 12x－ )km，
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所以①当乙追上甲前，且甲、乙两人相距 km
时，可得10(x－1)＝ ＋ ，
解得x＝ ；
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②当乙追上甲后，且甲、乙两人相距 km时，可
得10(x－1)＋ ＝12x－ ，
解得x＝ .
所以当甲、乙两人相距 km时，x的值为 或
.
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在运用方程解决有关实际问题时，清楚地分辨量与量之间的关系，尤其是相等关系，是建立方程的关键。解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体过程可以省略不写。
行程问题的几种情形：
相遇问题的等量关系：两者的路程之和=两者间的距离。
追及问题的等量关系：两者的路程之差=两者间的距离。
相背问题的等量关系：两者的路程之和+两者的初距离=两者的终距离。
追击未追上问题的等量关系：两者的路程之差=|两者的终距离-两者的初距离|。
用方程解实际问题时，我们还常常通过画示意图或列表来分析数量关系，再建立方程求解。