4.2 相似三角形
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课件22张PPT。4.3 两个三角形相似的判定（1）温故知新1、全等三角形、相似三角形的定义是什么？ 2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？ 全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形。 合作学习 如图在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且DE‖BC,则△ADE与△ABC相似吗?
(1)议一议:这两个三角形的三个内角是否对应相等?
(2)量一量这两个三角形的边长,它们是否对应成比例?平行移动DE的位置再试一试. 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.预备定理试一试1、如图，已知EF∥CD∥AB，请说出图中的相似三角形2、如图，已知DE∥BC，DF∥AC，请找出图中所有的相似三角形，并说明理由。 当∠Ａ＝∠Ａ/，∠Ｂ＝∠Ｂ/时， 下面的两个三角形相似吗？合作探究命题：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。分析:要证两个三角形相似，目前只有两个途径。 一个是三角形相似的定义（显然条件不具备）； 二个是这节课学习的利用平行线来判定三角形相似的定理。为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,求证:ΔABC∽ △A/B/C/ （把小的三角形移动到大的三角形上）。证明：在ΔABC的边AB、AC上分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/，∴ ∠ADE=∠B/，又∵ ∠B/=∠B，∴ ∠ADE=∠B，∴ DE//BC，∴ ΔADE∽ΔABC∴ ΔA/B/C/∽ΔABC已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,求证:ΔABC∽ △A/B/C/ 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。几何语言:三角形相似的判定定理1：例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=400，∠B=800，∠E=800， ∠F=600。求证：ΔABC∽ΔDEF 证明：
∵ 在ΔABC中, ∠A=400，∠B=800，
∴ ∠C=1800－∠A －∠B＝600
∵ 在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F
∴ ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）练一练（1）、已知ΔABC与ΔA/B/C/中，∠B=∠B/=750，∠C=500，∠A/=550，这两个三角形相似吗？为什么？（2）已知等腰三角形ΔABC和ΔA/B/C/中，∠A、∠A/分别是顶角，求证：①如果∠A=∠A/，那么ΔABC∽ΔA/B/C/。
②如果∠B=∠B/，那么ΔABC∽ΔA/B/C/（3）如图：已知，在△ABC中，其中∠ADE = ∠C，求证：△ABC∽△ADE，A证明：在△ABC 和△ADE，∵∠A=∠A
∵∠ADE = ∠C，
∴ △ABC∽△ADE)(︺练一练（三角形相似判定定理1）（4）如图，已知在△ABC中，P是AB上的一点，连接CP，使得∠ACP=∠B，
求证：△ACP∽△ABC证明：在△ACP 和△ABC中∵∠A=∠A
∵∠ACP= ∠B，
∴ △ACP∽△ABC)(︺练一练（三角形相似判定定理1）例2、在一次数学活动课上,为了测量河宽AB,张杰采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走４０m到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走１５m到达Ｄ处，再右转９０度走到Ｅ处，使Ｂ，Ｃ，Ｅ三点恰好在一条直线上，量得ＤＥ＝２０m，这样就可以求出河宽ＡＢ．请你算出结果（要求给出解题过程）解：∵ＡＢ⊥ＡＤ，ＤＥ⊥ＡＤ ∴∵AC=40,CD=15,DE=20∴∴△ABC∽△DEC∵∠ACB=∠DCE,∴∠BAC=∠EDA=Rt∠例3、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900， 此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.∴ ΔACD∽ΔABC同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。求证：1、如图：已知， AB，CD相交于点C，AB∥DE，
（1）求证： △ABC∽△CDE
（2）当AC=2，CE=3，AB=5，求DE的长。做一做2、如图，在ΔABC中，AB=12，AC=10，点D、E分别是边AB、AC上的点，AD=6，连结DE，当AE的长具备怎样的条件时，ΔADE与ΔABC相似？ 做一做做一做3、如图，等腰三角形ABC的顶角∠A=360，BD是∠ABC的平分线，判断点D是不是线段AC的黄金分割点，并说明理由。说说你在这节课中的收获与体会预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
简单说成:两个角对应相等,两三角形相似.母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。延伸练习 已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；F答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF.再见！
(1)议一议:这两个三角形的三个内角是否对应相等?
(2)量一量这两个三角形的边长,它们是否对应成比例?平行移动DE的位置再试一试. 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.预备定理试一试1、如图，已知EF∥CD∥AB，请说出图中的相似三角形2、如图，已知DE∥BC，DF∥AC，请找出图中所有的相似三角形，并说明理由。 当∠Ａ＝∠Ａ/，∠Ｂ＝∠Ｂ/时， 下面的两个三角形相似吗？合作探究命题：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。分析:要证两个三角形相似，目前只有两个途径。 一个是三角形相似的定义（显然条件不具备）； 二个是这节课学习的利用平行线来判定三角形相似的定理。为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,求证:ΔABC∽ △A/B/C/ （把小的三角形移动到大的三角形上）。证明：在ΔABC的边AB、AC上分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/，∴ ∠ADE=∠B/，又∵ ∠B/=∠B，∴ ∠ADE=∠B，∴ DE//BC，∴ ΔADE∽ΔABC∴ ΔA/B/C/∽ΔABC已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中,求证:ΔABC∽ △A/B/C/ 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。几何语言:三角形相似的判定定理1：例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=400，∠B=800，∠E=800， ∠F=600。求证：ΔABC∽ΔDEF 证明：
∵ 在ΔABC中, ∠A=400，∠B=800，
∴ ∠C=1800－∠A －∠B＝600
∵ 在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F
∴ ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）练一练（1）、已知ΔABC与ΔA/B/C/中，∠B=∠B/=750，∠C=500，∠A/=550，这两个三角形相似吗？为什么？（2）已知等腰三角形ΔABC和ΔA/B/C/中，∠A、∠A/分别是顶角，求证：①如果∠A=∠A/，那么ΔABC∽ΔA/B/C/。
②如果∠B=∠B/，那么ΔABC∽ΔA/B/C/（3）如图：已知，在△ABC中，其中∠ADE = ∠C，求证：△ABC∽△ADE，A证明：在△ABC 和△ADE，∵∠A=∠A
∵∠ADE = ∠C，
∴ △ABC∽△ADE)(︺练一练（三角形相似判定定理1）（4）如图，已知在△ABC中，P是AB上的一点，连接CP，使得∠ACP=∠B，
求证：△ACP∽△ABC证明：在△ACP 和△ABC中∵∠A=∠A
∵∠ACP= ∠B，
∴ △ACP∽△ABC)(︺练一练（三角形相似判定定理1）例2、在一次数学活动课上,为了测量河宽AB,张杰采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走４０m到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走１５m到达Ｄ处，再右转９０度走到Ｅ处，使Ｂ，Ｃ，Ｅ三点恰好在一条直线上，量得ＤＥ＝２０m，这样就可以求出河宽ＡＢ．请你算出结果（要求给出解题过程）解：∵ＡＢ⊥ＡＤ，ＤＥ⊥ＡＤ ∴∵AC=40,CD=15,DE=20∴∴△ABC∽△DEC∵∠ACB=∠DCE,∴∠BAC=∠EDA=Rt∠例3、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900， 此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.∴ ΔACD∽ΔABC同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。求证：1、如图：已知， AB，CD相交于点C，AB∥DE，
（1）求证： △ABC∽△CDE
（2）当AC=2，CE=3，AB=5，求DE的长。做一做2、如图，在ΔABC中，AB=12，AC=10，点D、E分别是边AB、AC上的点，AD=6，连结DE，当AE的长具备怎样的条件时，ΔADE与ΔABC相似？ 做一做做一做3、如图，等腰三角形ABC的顶角∠A=360，BD是∠ABC的平分线，判断点D是不是线段AC的黄金分割点，并说明理由。说说你在这节课中的收获与体会预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
简单说成:两个角对应相等,两三角形相似.母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。延伸练习 已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 。（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；F答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF.再见！
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