第三章圆的基本性质单元复习（二课时）
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(共35张PPT)
第三章圆单元复习
圆
概念
对称性
圆周角定理
点与圆的位置关系
确定圆的条件
轴对称性
圆的旋转不变性
垂径定理
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理
弧长、扇形面积和圆锥的侧面积相关计算
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。
圆的定义
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”
半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置
圆是一条封闭曲线
d点P在圆内
d=r
点P在圆上
d>r
点P在圆外
点和圆的位置关系：
r
O
P
●
d
●
r
P
d
r
O
●
P
d
1、⊙O的半径为13cm，圆心O到直线的距离OD=5cm．在直线上有三点P,Q,R，且PD = 12cm , QD<12cm, RD>12cm，则点P在 ，点Q在 ，点R在 .
圆上
圆内
圆外
3或7cm
3、已知Rt⊿ABC，∠ACB=90°AC=3，BC=4，M是
AB的中点，以C为圆心，以2.5为半径作圆，则点A，B，C，M与圆的位置关系
2、一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为10cm，则该圆的半径是 。
做一做
∠C＝90°
▲ABC是锐角三角形
▲ABC是钝角三角形
圆的确定：不在同一直线上的三点确定一个圆。
圆的确定
O
A
C
B
破镜重圆
●
●
●
2.过两点的圆有_________个，这些圆的圆心的都在 上.
过三点的圆及外接圆
1.过一点的圆有________个
无数
无数
0或1
连结着两点的线段的垂直平分线
4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离相等）
3.过三点的圆有______________个
锐角三角形的外心位于三角形内,
●O
A
B
C
●O
5、三角形的外心是否一定在三角形的内部？
A
B
C
C
A
B
┐
●O
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
AB是直径
AB⊥CD于E
垂径定理：
CB=DB
AC=AD
CE=DE
E
D
B
A
C
C
推论:
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
（1）平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（不是直径）
1、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
M
A
P
B
O
A
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦心距，这是一条非常重要的辅助线。
弦心距、半径、半弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。
2、如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？
F
O
B
A
E
C
D
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
3、如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，OD=2，AB=10，求圆的半径.
4、已知⊙O的直径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,
CD=16,则弦AB与 CD的距离为 .
2cm或14cm
5、一条３０米宽的河上架有一半径为２５m的圆弧形拱桥，请问一顶部宽为６米且高出水面４米的船能否通过此桥，并说明理由．
～～～～～～
～～～～～～～
～～～～～～～
圆的旋转不变性
圆心角定理
圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等， 圆心角所对弦的弦心距相等。
在同圆或等圆 (前提)
圆心角相等
（条件）
推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆周角定理
也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
推论1 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧相等
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。
1、如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=140°,则∠BCD等于( )
A.140° B.110° C.70° D.20 °
B
2、如图,AD是△ABC的外接圆直径,
AD= ∠B=∠DAC,则AC的长为( )
2 B.
C.1 D. 不能确定
C
3、如图,AB是⊙ O 的直径,C,D,E都是⊙O 上的点,则∠1+∠2= .
2
90°
1
2
4、如图,CD是⊙ O 的直径, O是圆心,E是圆上一点,且∠EOD=45°,A是DC延长线上一点,AE与半圆交于一点B,AB=OC,则∠EAD= .
15°
6、如图，在⊙O中，DE=2BC， ∠ EOD=64°，求∠ A的度数。
︵
︵
A
B
C
D
E
O
若BC=n°，DE=m°呢
︵
︵
5、 在⊙O中,弦AB所对的圆心角
∠AOB=100°,则弦AB所对的圆周角为______.
500或1300
7、如图，在⊙O中，DE=2BC=64°，
求∠E AD的度数。
︵
︵
m
A
B
C
D
E
若BC=n°，DE=m°呢
︵
︵
8、如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是＿＿＿,圆周角是＿＿＿＿＿＿.
60度
30度或150度
9、如图,△ABC是等边三角形,以BC为直径画⊙O交AB,AC于D,E 求证:BD=CE
10、如图， ⊙O 的直径PQ⊥弦CD,AC=BD,PQ交弦AB于点E.
求证:AE=BE
⌒
⌒
O
A
B
C
D
E
P
Q
11、P是⊙O直径AB上一点，PC⊥AB，PC交⊙O于C，∠OCP的平分线交⊙O于D，当点P在半径OA（包括0点，但不包括A点）上移动时，试比较弧AD和弧BD的大小，并证明你的结论。
A
B
C
D
P
0
M
G
1.弧长公式:
2.扇形面积公式:
3.圆锥侧面积公式:
4.圆锥全面积公式:
5.圆锥侧面展开图扇形圆心角公式:
计算公式：
1.已知弧长为4πcm,它所对的圆心角为120°,那么它所对的弦长为( )
2.在⊙O中, 所对的圆心角为60°,且弦AB=5cm,则 的长为( )
C
A
做一做
3、如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°，已以AB为直径画半圆，则阴影部分面积是（ ）
A.大于S△AOB B.等于S △AOB
C.小于S △AOB D.不能确定与S △AOB的关系
4.如图,正方形的边长为2,以边长为直径在正方形内画半圆,则阴影部分面积是( )
A.π- 4 B. 4- π C.π- 2 D.4- π/4
B
B
5.一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为６cm,母线长５cm,则它的侧面积是（ ）
Ａ.66π Ｂ.30π Ｃ.28π Ｄ.15π
6.在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 .
7.扇形半径为12,面积为9π,它的圆心角等于 度
D
4πcm
22.5
8.已知扇形的面积为24π ,弧长为８πcm,则扇形的半径是 cm,圆心角是 度
6
240
9.已知扇形的面积是12 ,半径是8cm,则扇形周长是 ．
10.圆锥的底面半径是1cm,母线是2cm,则高是 cm,侧面积是 ，全面积是 。
19
2π
3π
11、如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＣ＝２cm,圆周角∠ＡＢＣ＝４５°求阴影部分面积
12、如图,把Rt△ABC的斜边放在直线 l 上，按顺时针方向在 l 上转动２次，使它转到△A２B２C２的位置.设BC=1,AC=
求(1)点A所经过的路线长.
(2)点A所经过的路线与直线l所围成的面积．
13、如图,已知扇AOB,∠AOB=90°,OA=OB=4,以OA为直径作半圆⊙M,作MP∥OB交AB于P,交⊙M于点Q,求阴影部分面积.
14、一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为2400的扇形，求这个圆锥的高。
15、下图是由直径分别为4cm，6cm和10cm的三个半圆所组成的图形，求图中阴影部分的周长和面积。
16、如图,一个圆锥的高为 cm,侧面展开图是半圆,求
(1)圆锥母线l与底面半径之比.
(2)圆锥的表面积.
17、巳知圆锥的轴截面周长为10cm，设腰长为x，圆锥的表面积为S，求: ⑴ S关于X的函数表达式和自变量X的取值范围； ⑵ 画出这个函数图象，确定S的取值范围
例题解析：
1、我国某些东南沿海地区常会受到台风的侵袭，某日A市气象台测得台风中心在A市正东方向400km的B处，正快速向西北方向运动，距台风中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次台风的影响？为什么？
A
B
D
东
北
C
2、如图，P1是一块半径为1的半圆纸板，在P1的左下角剪去一个半径为 的半圆后，得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪去半圆的半径）得到图形P3，P4，P5…，Pn，…，记纸板Pn的面积为Sn，试计算求出S2 ，S3 ，并猜测得到Sn-Sn-1= ，（n≥2）。
P1
P2
P3
P4
3、如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）个。
A、1 B、2 C、3 D、4
4、如图，⊙C经过原点且与坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°，求⊙C的半径和圆心C的坐标。
A
B
C
M
O
X
Y
D
G
5、已知P（x，y）是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x，y都是整数，则这样的点共有（ ）个。
A、4 B、8 C、12 D、16
6、钟表的轴心到分针针端的长为5cm，若经过40min，求分针针端转过的弧长。
7、如图，有一块圆形铁皮，BC是⊙O的直径，AB=AC，在此圆形铁皮中剪下一个扇形（阴影部分）。
（1）当⊙O的半径为2时，求这个扇形（阴影部分）的面积（结果保留π）
（2）当O的半径为R0（R0＞2）时，在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由。
A
B
C
E
F
O
第三章圆单元复习
圆
概念
对称性
圆周角定理
点与圆的位置关系
确定圆的条件
轴对称性
圆的旋转不变性
垂径定理
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理
弧长、扇形面积和圆锥的侧面积相关计算
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。
圆的定义
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”
半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置
圆是一条封闭曲线
d
d=r
点P在圆上
d>r
点P在圆外
点和圆的位置关系：
r
O
P
●
d
●
r
P
d
r
O
●
P
d
1、⊙O的半径为13cm，圆心O到直线的距离OD=5cm．在直线上有三点P,Q,R，且PD = 12cm , QD<12cm, RD>12cm，则点P在 ，点Q在 ，点R在 .
圆上
圆内
圆外
3或7cm
3、已知Rt⊿ABC，∠ACB=90°AC=3，BC=4，M是
AB的中点，以C为圆心，以2.5为半径作圆，则点A，B，C，M与圆的位置关系
2、一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为10cm，则该圆的半径是 。
做一做
∠C＝90°
▲ABC是锐角三角形
▲ABC是钝角三角形
圆的确定：不在同一直线上的三点确定一个圆。
圆的确定
O
A
C
B
破镜重圆
●
●
●
2.过两点的圆有_________个，这些圆的圆心的都在 上.
过三点的圆及外接圆
1.过一点的圆有________个
无数
无数
0或1
连结着两点的线段的垂直平分线
4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离相等）
3.过三点的圆有______________个
锐角三角形的外心位于三角形内,
●O
A
B
C
●O
5、三角形的外心是否一定在三角形的内部？
A
B
C
C
A
B
┐
●O
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
AB是直径
AB⊥CD于E
垂径定理：
CB=DB
AC=AD
CE=DE
E
D
B
A
C
C
推论:
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
（1）平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（不是直径）
1、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
M
A
P
B
O
A
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦心距，这是一条非常重要的辅助线。
弦心距、半径、半弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。
2、如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？
F
O
B
A
E
C
D
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
3、如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，OD=2，AB=10，求圆的半径.
4、已知⊙O的直径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,
CD=16,则弦AB与 CD的距离为 .
2cm或14cm
5、一条３０米宽的河上架有一半径为２５m的圆弧形拱桥，请问一顶部宽为６米且高出水面４米的船能否通过此桥，并说明理由．
～～～～～～
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圆的旋转不变性
圆心角定理
圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等， 圆心角所对弦的弦心距相等。
在同圆或等圆 (前提)
圆心角相等
（条件）
推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆周角定理
也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
推论1 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧相等
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。
1、如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=140°,则∠BCD等于( )
A.140° B.110° C.70° D.20 °
B
2、如图,AD是△ABC的外接圆直径,
AD= ∠B=∠DAC,则AC的长为( )
2 B.
C.1 D. 不能确定
C
3、如图,AB是⊙ O 的直径,C,D,E都是⊙O 上的点,则∠1+∠2= .
2
90°
1
2
4、如图,CD是⊙ O 的直径, O是圆心,E是圆上一点,且∠EOD=45°,A是DC延长线上一点,AE与半圆交于一点B,AB=OC,则∠EAD= .
15°
6、如图，在⊙O中，DE=2BC， ∠ EOD=64°，求∠ A的度数。
︵
︵
A
B
C
D
E
O
若BC=n°，DE=m°呢
︵
︵
5、 在⊙O中,弦AB所对的圆心角
∠AOB=100°,则弦AB所对的圆周角为______.
500或1300
7、如图，在⊙O中，DE=2BC=64°，
求∠E AD的度数。
︵
︵
m
A
B
C
D
E
若BC=n°，DE=m°呢
︵
︵
8、如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是＿＿＿,圆周角是＿＿＿＿＿＿.
60度
30度或150度
9、如图,△ABC是等边三角形,以BC为直径画⊙O交AB,AC于D,E 求证:BD=CE
10、如图， ⊙O 的直径PQ⊥弦CD,AC=BD,PQ交弦AB于点E.
求证:AE=BE
⌒
⌒
O
A
B
C
D
E
P
Q
11、P是⊙O直径AB上一点，PC⊥AB，PC交⊙O于C，∠OCP的平分线交⊙O于D，当点P在半径OA（包括0点，但不包括A点）上移动时，试比较弧AD和弧BD的大小，并证明你的结论。
A
B
C
D
P
0
M
G
1.弧长公式:
2.扇形面积公式:
3.圆锥侧面积公式:
4.圆锥全面积公式:
5.圆锥侧面展开图扇形圆心角公式:
计算公式：
1.已知弧长为4πcm,它所对的圆心角为120°,那么它所对的弦长为( )
2.在⊙O中, 所对的圆心角为60°,且弦AB=5cm,则 的长为( )
C
A
做一做
3、如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°，已以AB为直径画半圆，则阴影部分面积是（ ）
A.大于S△AOB B.等于S △AOB
C.小于S △AOB D.不能确定与S △AOB的关系
4.如图,正方形的边长为2,以边长为直径在正方形内画半圆,则阴影部分面积是( )
A.π- 4 B. 4- π C.π- 2 D.4- π/4
B
B
5.一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为６cm,母线长５cm,则它的侧面积是（ ）
Ａ.66π Ｂ.30π Ｃ.28π Ｄ.15π
6.在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 .
7.扇形半径为12,面积为9π,它的圆心角等于 度
D
4πcm
22.5
8.已知扇形的面积为24π ,弧长为８πcm,则扇形的半径是 cm,圆心角是 度
6
240
9.已知扇形的面积是12 ,半径是8cm,则扇形周长是 ．
10.圆锥的底面半径是1cm,母线是2cm,则高是 cm,侧面积是 ，全面积是 。
19
2π
3π
11、如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＣ＝２cm,圆周角∠ＡＢＣ＝４５°求阴影部分面积
12、如图,把Rt△ABC的斜边放在直线 l 上，按顺时针方向在 l 上转动２次，使它转到△A２B２C２的位置.设BC=1,AC=
求(1)点A所经过的路线长.
(2)点A所经过的路线与直线l所围成的面积．
13、如图,已知扇AOB,∠AOB=90°,OA=OB=4,以OA为直径作半圆⊙M,作MP∥OB交AB于P,交⊙M于点Q,求阴影部分面积.
14、一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为2400的扇形，求这个圆锥的高。
15、下图是由直径分别为4cm，6cm和10cm的三个半圆所组成的图形，求图中阴影部分的周长和面积。
16、如图,一个圆锥的高为 cm,侧面展开图是半圆,求
(1)圆锥母线l与底面半径之比.
(2)圆锥的表面积.
17、巳知圆锥的轴截面周长为10cm，设腰长为x，圆锥的表面积为S，求: ⑴ S关于X的函数表达式和自变量X的取值范围； ⑵ 画出这个函数图象，确定S的取值范围
例题解析：
1、我国某些东南沿海地区常会受到台风的侵袭，某日A市气象台测得台风中心在A市正东方向400km的B处，正快速向西北方向运动，距台风中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次台风的影响？为什么？
A
B
D
东
北
C
2、如图，P1是一块半径为1的半圆纸板，在P1的左下角剪去一个半径为 的半圆后，得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪去半圆的半径）得到图形P3，P4，P5…，Pn，…，记纸板Pn的面积为Sn，试计算求出S2 ，S3 ，并猜测得到Sn-Sn-1= ，（n≥2）。
P1
P2
P3
P4
3、如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）个。
A、1 B、2 C、3 D、4
4、如图，⊙C经过原点且与坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°，求⊙C的半径和圆心C的坐标。
A
B
C
M
O
X
Y
D
G
5、已知P（x，y）是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x，y都是整数，则这样的点共有（ ）个。
A、4 B、8 C、12 D、16
6、钟表的轴心到分针针端的长为5cm，若经过40min，求分针针端转过的弧长。
7、如图，有一块圆形铁皮，BC是⊙O的直径，AB=AC，在此圆形铁皮中剪下一个扇形（阴影部分）。
（1）当⊙O的半径为2时，求这个扇形（阴影部分）的面积（结果保留π）
（2）当O的半径为R0（R0＞2）时，在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由。
A
B
C
E
F
O
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