第三章 圆的基本性质

九上第三章《圆的基本性质》
§3.1.1圆
1A.下列命题中哪些是真命题？哪些是假命题？请说明理由。
（1） 直径是弦；
（2） 圆内最长的弦是直径，最短的弦是半径；
（3） 半圆是弧，弧小于半圆；
（4） 过圆心的线段是直径。
2A．两个同心圆，圆心为O，半径分别为r、R（rA、大圆外 B、小圆内 C、大圆内，小圆外 D、无法确定
1B．一个点到定圆上最近点的距离为4，最远点的距离为
9，则此圆的半径是________。
2B．如图，点A、D、M在半圆O上，四边形ABOC，OEDF，
HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（ ）
A、a>b>c B、a=b=c C、c>a>b D、b>c>a
1C．如图，BE是半径为6的⊙D的圆周，C点是弧BE
上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长p
的取值范围是（ ）
A、12C、18＜p≤18+6 D、12＜p≤12+6
2C．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若∠AOC=105°，
求∠D的度数。
答案：
1A、（1）真命题；
（2）假命题；理由：半径不是弦；
（3）假命题；理由：优弧大于半圆；
（4）假命题；理由：线段的两个端点不一定在圆弧上。
2A、C
1B、
2B、B
1C、C
2C、25°
§3．1．2圆
1A.判断
（ ）（1）三点确定一个圆；
（ ）（2）已知圆心和半径可以确定一个圆；
（ ）（3）已知半径和圆上一点可以确定一个圆；
（ ）（4）已知半径和圆上两点可以确定一个圆；
（ ）（5）锐角三角形只有一个外接圆；
（ ）（6）任一个圆只有一个内接三角形；
（ ）（7）如果△ABC是⊙O的内接三角形，那么⊙O是△ABC的外接圆。
2A．如图，AB、CD为⊙O的两条直径。
求证：四边形ACBD为矩形。
1B．在直角三角形ABC中，AB=6，BC=8，则这个三角形的外接圆直径是_________。
2B．已知圆上两点A、B，用直尺和圆规求作以AB为一腰的圆内接
等腰三角形，这样的三角形能作几个？若作以AB为一边的圆
内接等腰三角形，能作几个？
1C．设AB=4cm，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形：
（1）到点A、B的距离都等于2cm的点的集合；
（2）到点A、B的距离都等于2.5cm的点的集合；
（3）到点A、B的距离都大于2.5cm的点的集合；
（4）到点A的距离大于2.5cm，到点B的距离小于2.5cm的点的集合。
2C．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上。
答案：
1A、（1）×（2）√（3）×（4）×（5）√（6）×（7）√
2A、略
1B、10或8
2B、图略 2个 4个
1C、（1）线段AB的中点；
（2）图中的C，D两点；（3）两圆覆盖的区域的外部（不包括边界）（4）图中阴影部分（不包括边界）
2C、连结BD，作BD中点O，连结AO，CO
∵∠A=90°，O为BD中点
∴OA=OB=OD
同理：OB=OD=OC
∴点O到A，B，C，D四点距离相等
∴A，B，C，D四点共圆。
§3.2圆的轴对称性(1)
1A．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB的弦心距为5，则这条弦的弦
长等于 ．
2A．如图，AB是⊙0的中直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中
不一定成立的是（ ）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．BD=BC
1B．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长
为（ ）
A．3 B．6cm C． cm D．9cm
2B．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则
OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5
C．31C．已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为 ．
2C．已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．
答案：
1A、24
2A、C
1B、A（注：圆内过定点M的弦中，最长的弦是过定点M的直径，最短的弦是过定点M与OM垂直的弦，此结论最好让学生记住，课本作业题也有类似的题目．）
2B、A
1C、2或24（注：要分两种情况讨论：（1）弦AB、CD在圆心O的两侧；（2）弦AB、CD在圆心O的同侧．）
2C、思路：作OM⊥AB，垂足为M， ∴CM=DM
∵OA=OB ， ∴AM=BM ， ∴AC=BD．
§3.2圆的轴对称性(2)
1A. 如图，如果是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下面
结论中，错误是（　　）
Ａ．　　　 Ｂ．　
Ｃ．　 　Ｄ．
2A.已知⊙O的半径为6cm，P是⊙O内一点，OP=2cm，那么过P的最短的弦长等于　　　　　　_________cm，过的最长的弦长为　　　　　cm．
1B. 如图，弦DC,FE的延长线交于圆外一点P，PAB经过圆心，试结合现有图形，添加一个适当的条件 ，使．
2B. 如图，⊙O的直径与弦相交于点，于，于，若，，，则⊙O的半径是（ ）
Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．8
1C. 如图，⊙O的直径和弦相交于点，已知，，，求的长．
2C. 如图，是直角梯形，以斜腰为直径作圆，交于点，，交于点．求证：（1）；（2）．
答案:
1A.D
2A.
1B.略
2B.4
1C.
2C. 略
§3.3圆心角（一）
1A.若把圆10等分，那么每一份弧的度数是________．
2A.在⊙O中，60°的圆心角所对的弦长为5cm，则这个圆的半径为________．
1B.在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到AB的距离为4，求⊙O的直径．
2B.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的点，∠1=∠2，则下列结论中：
①；②；③AC=BD；④∠BOD=∠AOC；
正确的有（ ）．
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
1C.如图在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，并交CD于点E，直径MN交CD于点F，且FO=FD=2OE，且弧的度数．
2C.如图M、N分别是⊙O内接三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCD…的边AB、BC上的一点，且BM=CN，连结OM、ON．
（1）求图①中∠MON的度数；
（2）在图②和图③中，∠MON的度数是________和________；
（3）试探究∠MON的度数与正n边形的边数n之间的关系（直接写出答案即可）．
答案：
1A. 36°
2A. 5cm
1B.
2B. D
1C. 150°
2C. （1）120° （2）90°和72° （3）°
§3.3圆心角（二）
1A.下列结论正确的是（ ）．
A．长度相等的两条弧相等 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．圆是轴对称图形 D．平分弦的直径垂直于弦
2A. 如图已知=，若AB=5cm，则CD=______．
1B.如图，已知△ABC内接于，点A、B、C把⊙O三等分.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)求∠AOB的度数．
2B.如图D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，试判断与 的大小关系，并说明理由．
1C.已知△ABC是等边三角形，以BC为直径画⊙O 交AB、AC于D、E
两点．求证：BD=CE．
2C.如图，在⊙O中，B为的中点，D在AB的延长线上，
若∠OAB=50°，求∠CBD的度数．
答案：
1A. C
2A. 5cm
1B. ∵点A、B、C是⊙O三等分点
∴===120°
∴AB=BC=CA
∴△ABC是等边三角形
∵∠AOB
∴∠AOB=120°
2B. =，理由如下：
∵ CD⊥OA，CE⊥OB
∴ ∠CDO=∠CEO=90°
∵ CD=CE OC=OC
∴ △CDO ≌ △CEO（HL）
∴ ∠COD=∠COE
∴ =
1C. 过点O作OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N
∴ ∠BMO=∠CNO=90°
∵ △ABC是等边三角形
∴ ∠B=∠C=60°
∵ OB=OC
∴ △BMO ≌ △CNO（AAS）
∴ OM=ON
∴ BD=CE
2C. 80° 提示：连结OB、OC，求∠ABC的度数．
§3.4 圆周角（1）
1A．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（ ）
　　 A．75° 　B．65° 　C．60°　D．50°
2A．如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是
圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD= ．
1B．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=1400，则∠DCE= ．
2B．如图：△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，求证：BD=CD．
1C．已知AB是⊙O的直径，AC, AD是弦，且AB=2, AC= HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 ，AD=1，则圆周角∠CAD的度数是 ( )
A． 450或600 B． 600 C．1050 D． 150或1050
2C．如图， AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB, E是AD上一点，若∠BCD=350，
求∠AED的度数．
答案：
1A．B；
2A．130°；
1B．70°
2B．证明：连AD， ∵AB是O的直径，D在⊙O上
∴∠ADB=90°即AD⊥BC
又∵AB=AC ∴BD=CD（等腰三角形三线合一）
1C．D
2C．连OD，∵∠BCD=35°，∴∠BOD=70°，又∵AB是直径，∴∠AOD=110°
∴∠AED=
§3．4 圆周角（2）
1A．如图，BD是⊙O的直径，弦AC与BD相交于点E，下列结论中不一
定成立的是（ ）
A．∠ABD=∠ACD B．∠ACD=∠AOD
C．∠BAC=∠BDC D．∠ABD=∠BDC
2A． 如图，AC是⊙O的直径，点B, D在⊙O上，那么图中等于∠BOC 的角有（ ）
A． l 个 B． 2 个 C．3 个 D． 4 个
1B．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=30°，BC=4cm，求⊙O的直径．
2B．如图， A， B， C， D四点都在⊙O上， AD是⊙O的直径，
且AD=2cm，若∠ABC=∠CAD．求弦AC的长．
1C．如图，已知四边形ABCD内接于圆，AD为直径，AC平分∠BAD，若
∠ABC=124°，求∠BCD的度数．
2C．如图，BC是⊙O的直径，弦 AE⊥BC，垂足为点D,,AE与BF相交于点G．求证：BG=GE．
答案：
1A．D；
2A．C
1B．作直径BD，连DC
则∠A=∠D=30°，∠BCD=90°
∵在Rt△BCD中，BC=4
∴BD=8
∴⊙O的直径为8
2B．连DC
则∠B=∠D
又∵∠B=∠CAD
∴∠CAD=∠D
又∵AD是直径
∴△ADC为等腰直角三角形
∴AC=
1C．∵∠ABC=124°
∴∠ADC=248°
∴∠ABC=112°
∴∠D=56°
又∵AD是直径，C在⊙O上
∴∠ACD=90°，∠CAD=34°
∴∠BAC=34°，∠BCA=22°
∴∠BCD=112°
2C．连BE
∵AE⊥BC，BC是直径
∴弧AB=BE
∵弧AB=BF
∴弧BE=EF=AB
∴∠AEB=∠FBE
∴GB=GE
§3.5弧长与扇形面积（1）
1A.在⊙O中，30°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ; 30°的圆周角所对的弧长是圆周长的 .
2A. ⊙O的周长是24π，则长为5π的弧所对的圆心角为 ，所对的圆周角为 ．
1B. 一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），
那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）
A． B． C．4 D.
2B.一段铁路弯道成圆弧形，圆弧的半径是0.3km , 一列火车以每小时36km的速度经10秒钟通过弯道，求弯道所对圆心角的度数（л取3.14，结果精确到0.10) .
1C.一段铁丝长80лcm，把它弯成半径为160cm的一段圆弧，求铁丝两端间的距离．
2C. 在⊙O中，弦AB的弦心距等于弦长的一半，该弦所对的弧长是47лcm，求⊙O的半径．
答案；
1A．；
2A. 75°，37.5°
1B. B
2B. r=0.3km=300m， 速度=36km/时
∴弧长=10×10=100m
设圆心角度数为n，
则有
∴n≈19.1°
1C.如图，
设圆心角为n度，则有：
∴n=90°
∴∠AOB=90°
在Rt△AOB中，由勾股定理可得：
AB=
2C. 如图，由题意可知：OH=AB=AH=BH
∴△AOH与△BOH为等腰Rt△
∴∠A=∠B=45°
∵OA=OB
∴∠AOB=90°
若弦对劣弧长为47л，则47л=，∴R=94cm
若弦对优弧长为47л，则47л=，∴R=
∴R=94cm或R=
§3.5弧长与扇形面积（2）
1A. 扇形的圆心角是30°，半径是2cm，则扇形的面积是 cm2 .
2A. 扇形的面积是cm2，半径是2cm，则扇形的弧长是 cm.
1B. 如图，在△ABC中，以各顶点为圆心分别作⊙A、⊙B、⊙C两两外，
且半径都是2cm，求图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和．
2B. 如图，以正三角形ABC的AB边为直径画⊙O，分别交AC，BC于点D, E,
AB=6cm，求弧DE的长及阴影部分的面积．
1C. 如图，在Rt△ABC中，AC=BC ，以A为圆心画弧DF，交AB于点D，交
AC延长线于点F，交BC于点E，若图中两个阴影部分的面积相等，求
AC与AF的长度之比（л取3 ) .
HYPERLINK "http://www.1230.org/"
2C.如图，花园边墙上有一宽为lm的矩形门ABCD，量得门框对角线AC的长
为2m ，现准备打掉部分墙体，使其变为以AC为直径的圆弧形门，问要
打掉墙体的面积是多少？（精确到0.lm2，л≈3.14，≈1 . 73 )
答案：
1A.
2A.
1B.由题意可知：阴影部分面积为半径为2cm的半圆面积
∴
2B.（1）连结AE，DE
∵AB为⊙O的直径 ∴∠AEB=90°
又∵△ABC为正三角形 ∴BE=CE= BC=3
同理，连结BD，AD=CD=AC=3
∴CE=CD=3
又∵∠C=60° ∴△CDE为正三角形
∴DE=CE=CD=3cm
（2）连结OD，OE
∵O为AB中点，D为AC中点
∴OD为△ABC中位线
∴OD∥BC
∴∠AOD=∠B=60°
又∵AO=DO ∴△AOD为正三角形
∴
1C. 由题意可得：
即： ∴
2C. 连结BD，交AC于点O
∵AC=2 AD=1,且∠ADC=90°
∴∠ACB=30°
∵四边形ABCD为矩形
∴AO=CO=BO=DO=AC=1
∴∠AOD=60°，∠AOB=120°
∴S=
§3.6圆锥的侧面积和全面积
1A．填空:
(1) 圆锥的底面直径为24cm,母线长为13cm,则圆锥的高线长为____________；
(2) 圆锥的母线长为10cm,圆锥的高为8cm,则圆锥的底面圆的半径为____________；
(3) 圆锥的侧面展开图的弧长为6πcm,圆心角为216°,则圆锥的母线长为____________；
(4) 圆锥的底面半径为3cm,高为4cm,则这个圆锥的表面积为_______________。
2A．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为8cm，一只蚂蚁从底面圆周上一点A出发，沿圆锥侧面绕行到母线AB的中点C，求这只蚂蚁所走的最短路程。
1B．已知Rt△ABC的斜边AB=5cm，直角边AC=4cm，BC=3cm，以直线AB为轴旋转一周，则得到的几何体的全面积为__________。
2B．圆锥的全面积为12πcm2，侧面积为8πcm2，则圆锥的高与母线之间的夹角为______。
1C．如图，有一直径是1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形CAB。
（1）被剪掉的阴影部分的面积是多少？
（2）若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？
2C．如图，圆锥的高PO=10，母线PA=PB=10，△PAB是过顶点P的截面，它把底面圆周截出，
（1）求底面圆的半径；
（2）求截面PAB的面积。
答案：
1A．（1）5cm (2)6cm (3)cm (4)24πcm
2A．蚂蚁所走的最短路线为：圆锥侧面展开图中A，C两点之间的线段长。
侧面展开的圆心角°=°
∵C为AB中点 ∴BC=AB=4cm
∴AC=
1B．
2B．30°
1C．（1）连接AB，则AB为⊙O的直径，
（2）设所剪成圆锥的底面圆的半径为r，
则 ∴
2C．（1）
（2）∵△AOB把底面圆周截去
∴△AOB为等腰直角三角形
∴AB=
过P作PD⊥AB于点D，则
∴
（第1题）
（第2题）
（第3题）
（第4题）
（第6题）
（第1题）
（第2题）
（第3题）
（第4题）
（第5题）
（第6题）
⌒
⌒
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ｅ
Ｏ
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｆ
Ｍ
Ｇ
Ｏ
Ａ
Ｅ
Ｃ
1
2
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｐ
Ｅ
Ｆ
Ｂ
Ｆ
Ｃ
Ａ
Ｏ
Ｅ
Ｂ
Ｄ
Ｏ
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｈ
Ｆ
Ｃ
Ｇ
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