3.2三角形内切圆
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课件22张PPT。3.2 三角形的内切圆1、确定圆的条件是什么？1.圆心与半径2、叙述角平线的性质与判定性质：角平线上的点到这个角的两边的距离相等。
3、下图中△ABC与圆O的关系？△ABC是圆O的内接三角形；
圆O是△ABC的外接圆
圆心O点叫△ABC的外心知识回顾2.不在同一直线上的三点判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 李师傅在一家玻璃厂上班，工作之余想
对厂里的三角形废料（如图）进行加工，裁
下一块半径尽可能大的圆形用料做圆桌的桌
面。你能帮他画出裁剪图吗？下图几种设计，请同学们确定一下哪个跟自己的想法一样思考ABC可以发现A图中的圆与三角形各边有什么位置关系？ 1、一般地,与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.定义 2、 三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.作法： ABC1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。 I2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。 3．以I为圆心，ID为半径作⊙I. MN探究：三角形内切圆的作法⊙I就是所求的圆。∟．画三角形内切圆的步骤:
画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论OACB小结：1. 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心有什么性质:思考三角形三边
中垂线的交
点1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．三角形三条
角平分线的
交点1.到三边的距离
相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．例1、如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱。圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径。CABrOD由等边三角形和三角形内切圆的性质可以想到什么?如图是这个木模的俯视图CABrOD例1、如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱。圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径。解： 如图是这个木模的俯视图，设圆o切AB于点D，连结OA，
OB，OD.∵圆o是△ABC的内切圆,∴AO,BO是∠BAC, ∠ABC的角平分线∵ △ABC是等边三角形,∴ ∠OAB=∠OBA=300∵OD⊥AB,AB=3cm,∴AD=BD= AB=1.5(cm)∴OD=AD. tan300= (cm)答:圆柱底面圆的半径为 cm.练习：已知正三角形的边长为6.求它的内切圆和外接圆的半径。OABCDOD=OA=可见正三角形内切圆和外接圆的半径之比是1：2例２、如图，已知⊙O 是△ABC的内切圆，切点分别点D、E、F，设△ABC周长为Ｌ。
求证：ＡＥ＋ＢＣ＝ ＬAB·EFOCD证明:连接OE,OF,OA.∵⊙O是△ABC的内切圆,E,F 为切点,∴∠AEO=∠AFO=90°.又∵OE=OF,OA=OA,∴△AOE≌ △AOF.∴ AE=AF同理,BD=BF,CD=CE.∴ AE+BC=AE+BD+CD= (AE+AF+BD+BF+CD+CE)=(HL)已知：在△ABC中，BC=14，AC=9,AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F， 求AF、BD和CE的长。ABCFDExx13-x13-x9-x9-x∴(13-x)+(9-x)=14解得x=4答：AF=4
BD=9
CE=5∴AF=4，BD=9，CE=5
练习：ABCODEr如：直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm 则其内切圆的半径为______。 变式拓展1：
如图，直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边为c 则其内切圆的半径ｒ为:
（以含ａ、ｂ、ｃ的代数式表示ｒ）2cmFrr如图.已知△ABC的三边BC,AB,AC分别为
a,b,c,O为内心，内切圆半径为r,
求△ABC的面积(用a,b,c,r表示）证明：连结AO,BO,CO
Ｓ△ABC＝Ｓ△BCO + Ｓ△ABO + Ｓ△ACO练习：
⑴边长为３，４，５的三角形的内切圆半径是＿＿
⑵边长为５，５，６的三角形的内切圆半径是＿＿11.5变式拓展2：（三）、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：ABCOIabc直角三角形外接圆、内切圆半径的求法1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.2、画三角形的内切圆:
画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论3、性质：内心到三角形三边的距离相等；
内心与顶点连线平分内角。4、简单应用课堂小结：作业作业：
1、作业本（2） 3.2
2、同步练习与测评：3.2题1： 如图，在△ABC中，点O是内心，∠ABC=50°，∠ACB＝7０°，求∠BOC的度数。变式1：在△ABC中，点O是内心，
∠BAC=50°，求∠BOC的度数。变式2：在△ABC中，点O是内心，
∠BOC=120°，求∠BAC的度数。若∠BAC=X °则∠BOC= °115°60°120°（2）若∠A=80 °，则∠BOC = 度。
（3）若∠BOC=100 °，则∠A = 度。解:13020（1）∵点O是△ABC的内心，∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3)= 180 °－(25°＋ 35 °)=120 °同理 ∠3= ∠4= ∠ACB= ?70° =35 °∴ ∠1= ∠2= ∠ABC= ?50°= 25°理由： ∵点O是△ABC的内心，∴ ∠1＋ ∠3 = （∠ABC+ ∠ACB）∴ ∠1= ∠ABC， ∠3= ∠ACB= 180 °－（ 90 ° － ∠A ）= （180 ° － ∠A ）= 90 °+ ∠A= 90 ° － ∠A答： ∠BOC =90 ° + ∠A（4）试探索： ∠A与∠BOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由。在△OBC中，∠BOC =180 °－（ ∠1＋ ∠3 ）如图,I是?ABC的内心,连结AI并延长交BC边于点D,交?ABC的外接圆于点E. 求证:(1) EI = EB ;(2)IE 2 = AE · DE .分析拓展提高题：
3、下图中△ABC与圆O的关系？△ABC是圆O的内接三角形；
圆O是△ABC的外接圆
圆心O点叫△ABC的外心知识回顾2.不在同一直线上的三点判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 李师傅在一家玻璃厂上班，工作之余想
对厂里的三角形废料（如图）进行加工，裁
下一块半径尽可能大的圆形用料做圆桌的桌
面。你能帮他画出裁剪图吗？下图几种设计，请同学们确定一下哪个跟自己的想法一样思考ABC可以发现A图中的圆与三角形各边有什么位置关系？ 1、一般地,与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.定义 2、 三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.作法： ABC1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。 I2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。 3．以I为圆心，ID为半径作⊙I. MN探究：三角形内切圆的作法⊙I就是所求的圆。∟．画三角形内切圆的步骤:
画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论OACB小结：1. 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心有什么性质:思考三角形三边
中垂线的交
点1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．三角形三条
角平分线的
交点1.到三边的距离
相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．例1、如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱。圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径。CABrOD由等边三角形和三角形内切圆的性质可以想到什么?如图是这个木模的俯视图CABrOD例1、如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱。圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径。解： 如图是这个木模的俯视图，设圆o切AB于点D，连结OA，
OB，OD.∵圆o是△ABC的内切圆,∴AO,BO是∠BAC, ∠ABC的角平分线∵ △ABC是等边三角形,∴ ∠OAB=∠OBA=300∵OD⊥AB,AB=3cm,∴AD=BD= AB=1.5(cm)∴OD=AD. tan300= (cm)答:圆柱底面圆的半径为 cm.练习：已知正三角形的边长为6.求它的内切圆和外接圆的半径。OABCDOD=OA=可见正三角形内切圆和外接圆的半径之比是1：2例２、如图，已知⊙O 是△ABC的内切圆，切点分别点D、E、F，设△ABC周长为Ｌ。
求证：ＡＥ＋ＢＣ＝ ＬAB·EFOCD证明:连接OE,OF,OA.∵⊙O是△ABC的内切圆,E,F 为切点,∴∠AEO=∠AFO=90°.又∵OE=OF,OA=OA,∴△AOE≌ △AOF.∴ AE=AF同理,BD=BF,CD=CE.∴ AE+BC=AE+BD+CD= (AE+AF+BD+BF+CD+CE)=(HL)已知：在△ABC中，BC=14，AC=9,AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F， 求AF、BD和CE的长。ABCFDExx13-x13-x9-x9-x∴(13-x)+(9-x)=14解得x=4答：AF=4
BD=9
CE=5∴AF=4，BD=9，CE=5
练习：ABCODEr如：直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm 则其内切圆的半径为______。 变式拓展1：
如图，直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边为c 则其内切圆的半径ｒ为:
（以含ａ、ｂ、ｃ的代数式表示ｒ）2cmFrr如图.已知△ABC的三边BC,AB,AC分别为
a,b,c,O为内心，内切圆半径为r,
求△ABC的面积(用a,b,c,r表示）证明：连结AO,BO,CO
Ｓ△ABC＝Ｓ△BCO + Ｓ△ABO + Ｓ△ACO练习：
⑴边长为３，４，５的三角形的内切圆半径是＿＿
⑵边长为５，５，６的三角形的内切圆半径是＿＿11.5变式拓展2：（三）、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：ABCOIabc直角三角形外接圆、内切圆半径的求法1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.2、画三角形的内切圆:
画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论3、性质：内心到三角形三边的距离相等；
内心与顶点连线平分内角。4、简单应用课堂小结：作业作业：
1、作业本（2） 3.2
2、同步练习与测评：3.2题1： 如图，在△ABC中，点O是内心，∠ABC=50°，∠ACB＝7０°，求∠BOC的度数。变式1：在△ABC中，点O是内心，
∠BAC=50°，求∠BOC的度数。变式2：在△ABC中，点O是内心，
∠BOC=120°，求∠BAC的度数。若∠BAC=X °则∠BOC= °115°60°120°（2）若∠A=80 °，则∠BOC = 度。
（3）若∠BOC=100 °，则∠A = 度。解:13020（1）∵点O是△ABC的内心，∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3)= 180 °－(25°＋ 35 °)=120 °同理 ∠3= ∠4= ∠ACB= ?70° =35 °∴ ∠1= ∠2= ∠ABC= ?50°= 25°理由： ∵点O是△ABC的内心，∴ ∠1＋ ∠3 = （∠ABC+ ∠ACB）∴ ∠1= ∠ABC， ∠3= ∠ACB= 180 °－（ 90 ° － ∠A ）= （180 ° － ∠A ）= 90 °+ ∠A= 90 ° － ∠A答： ∠BOC =90 ° + ∠A（4）试探索： ∠A与∠BOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由。在△OBC中，∠BOC =180 °－（ ∠1＋ ∠3 ）如图,I是?ABC的内心,连结AI并延长交BC边于点D,交?ABC的外接圆于点E. 求证:(1) EI = EB ;(2)IE 2 = AE · DE .分析拓展提高题：