第一章 解直角三角形
（时间120分钟，总分150分）
一、细心选一选（共10小题；每题4分，共40分。请把答案写在下面表格内）
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么tanB=( )
A. B. C. D.
2. 在△ABC中， tan A＝1，cos B＝ ，则∠C的度数是（ ）
A. 75° B.60° C. 45° D.105°
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC =1，BC =，则sinA，cosA的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4．在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( )
A. 都扩大1倍 B.都缩小为原来的一半 C.都没有变化 D. 不能确定
5．已知α是锐角，且sinα+cosα=,则sinα·cosα值为( )
A. B. C. D. 1 21世纪教育网
6．化简： 的结果为( )
A.1+tan40° B. 1－tan40° C. tan40°－1 D. tan240°+1
7.已知β为锐角，cosβ≤，则β的取值范围为( )
A.30°≤β ＜90° B. 0°＜β≤60° C. 60°≤β＜90° D. 30°≤β＜60°
8.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是( )
A. cos43°＞cos16°＞sin30° B. cos16°＞sin30°＞cos43°
C. cos16°＞cos43°＞ sin30° D. cos43°＞sin30°＞cos16°
9．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E ，设∠ADE=α,
且cosα=，AB=4，则AD的长为( )
A.3 B. C. D.
10．在平行四边形ABCD中，已知AB=3cm，BC=4cm，∠B=60°，则SABCD等于( )
A. 6 cm2 B. 12 cm2 C.6 cm2. D.12 cm2
二、精心填一填（共6小题；每小题5分，共30分）
11.若sin（α+5°）=1，则α= °。
12.边长为8，一个内角为120°的菱形的面积为 。
13. 一等腰三角形的腰长为3，底长为2，则其底角的余弦值为 。
14.在△ABC中，∠BAC=120°, AB=AC, BC=4,建立如下图的平面直角坐标系，则A、B、C个点的坐标分别是;A( ， )、B( ， )、C( ， )。
15.如右下图，把矩形纸片OA BC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结O B将纸片沿O B折叠，使A落在A′的位置，若O B=，tan∠BOC=,则OA′= 。
16．如下图，建筑物AB和CD的水平距离为30m,从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为 。
三、耐心解一解（共80分）
17．求值（每题8分，共16分）
（1）cos60°+ sin245°－tan34°·tan56° (2)已知tanA=2，求的值。
18．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=135°求tanB。
19．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，D在BC边上，且∠ADC=45°，AC=5。
求∠BAD的正切值。
20．（10分）在一次数学活动课上，胡老师带领九（3）班的同学去测
一条南北流向的河宽。如图所示，张一凡同学在河东岸点A出测到河
对岸边有一点C，测得C在A的北偏西31°的方向上，沿河岸向北
前进21m到达B处，测得C在B的北偏西45°的方向上。
请你根据以上的数据，帮助该同学计算出这条河的宽度。（tan31°=）21世纪教育网
21．（10分）如图，某电信公司计划修建一条连接B、C两地的电缆。
测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°，
在B处测得C地的仰角为60°，已知C地比A地高200m，
求电缆BC的长。（结果可保留根号）
22. （10分）将一副三角板按如图的方式摆放在一起，连接AD,求∠ADB的正弦值
23．（12分）如图，某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，BC∥AD，斜坡AB长22米，坡角∠BAD＝68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡。
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；（精确到0.1米）
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚Ａ不动，坡顶B沿BC前进到Ｆ点处，问BF至少是多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin68°≈0.927 2 cos68°≈0.374 6 tan68°≈2.4751 sin50°≈0.7660 cos50°≈0.642 8 tan50°≈1.191 8）
21世纪教育网
24. （12分）如图所示:A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽,且CD与AD互相垂直。现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案:
方案一:E→D→A→B； 方案二:E→C→B→A
经测量得AB=4千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°， ∠ABD=15°。
已知:地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米。
（1）求出河宽AD(结果保留根号)
（2）求出公路CD的长.
（3）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.
21世纪教育网
参考答案
一、细心选一选（共10小题；每题4分，共40分。请把答案写在下面表格内）
题号
1
2
3
4
5
6
7[来源:21世纪教育网
8
9
10
答案
D
A
B
C
C
B
C
C
D
A
二、精心填一填（共6小题；每小题5分，共30分）
11.( 40) 12.(32) 13. () 14. (0，) (-，0) (2，0) 15.（1） 16. (m)
三、耐心解一解（共80分）
17．求值（每题8分，共16分）1.(0) 2. ()
18.( －1)
19. ()
20.（30m）
21.(200－200) m
22.过A点作AE⊥DB，交DB的延长线于点E，
则∠ABE=180°－∠ABC－∠DBC=180°－90°－45°=45°，
故可设AE =BE=x,则AB==x.
∴BC=AB·tan60°=x.
BD=BC·sin=x. ∠BCD=x..
∴tan∠ADB====
23.（1）作BE⊥AD，E为垂足，则BE=AB·sin68°=22 sin68°=20.40≈20.4（m）
（2）作FG⊥AD，G为垂足，连接FA，则FG=BE，
∵A G==17.12，
AE= AB·cos68°=22cos68°=8.24
∴BF=AG－AE=8.88≈8.9（m）
即BF至少是8.9米。
24.（1）过B点作BF⊥AD，交DA的延长线于点F.
在Rt△BFA中，∠BAF=60°，
∴BF= AB·sin60°=4×=6
∴AF= AB·cos60°=4×=2.
∵CD⊥AD，∠BDC=45°.
∴∠BDF=45°.
在Rt△BFD中，∵∠BDF=45°
∴DF=BF=6
∴AD= DF－AF=6－2.
即河宽为（6－2.）千米。
（2）过点B作BG⊥CD于G，易证四边形BFDG是正方形
∴BG=BF=6.
在Rt△BGC中，CG===8
∴CD=CG+GD=6+8=14.
即公路为CD的长为14千米。
（3）方案一的铺设电缆费用低
由（2）得DE=CD－CE=8
方案一的铺设电缆费用:2（DE+AB）+4AD=40万元
方案二的铺设电缆费用2（CE+BC+AB）=（32+8）万元
∵40＜32+8,∴方案一的铺设电缆费用低
第一章解直角三角形复习
教学目标：
1、复习巩固所学的锐角三角函数与直角三角形及其应用等有关知识、方法；
2、发展学生的数学应用意识，培养分析问题和解决问题的能力。21世纪教育网
教学重点：锐角三角函数的概念、计算和解直角三角形。
教学难点：解直角三角形的实际应用
教学过程：
一、知识梳理
引导学生回忆本章所学知识，用图表的方式加以梳理概括。
着重说明以下几点：[来源:21世纪教育网
1、本章的重点是锐角的三角函数的概念、计算以及解直角三角形的一般方法。
2、注意对锐角三角函数概念的理解，要准确记忆30°、45°、60°角的三角函数值，有关锥度、坡度、方向角、仰角、俯角等概念的理解与应用。
二、例题教学：
例1、如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB，D为垂足，CD=，BD=，
求：(1) tanA; (2)cos∠ACD;(3)AC的长。
注意：角之间的转化，如∠ACD=∠B，∠A=∠BCD。
[来源:21世纪教育网
例2、在△ABC中，∠C=90°，AB= D为AC上一点，且∠DBC=30°，COS∠ABC=.
求BC和AD的长。
注意：求AD的长的关键在于求BC，因此解此类问题应从两Rt△的公共边入手。
例3 、已知：△ABC中，∠A=30°，∠C-∠B=60°，AC= ，求△ABC的面积。
注意：画CD⊥AB，将解一般三角形问题转化为解直角三角形问题；在本题中，求公共直边CD成为求解的关键。[来源:21世纪教育网]
例4．北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距离A地40海里的B处训练。突然接到基地命令，要该舰前往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治。已知C岛在A的北偏东方向60°，且在B的北偏西45°方向，军舰从B处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院?(精确到0.1小时)
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例5．如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i＝2:1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道．请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)。
三、练习
1．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16.1海里／小时的速度向东偏南32°方向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行了两个小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度(精确到0.1海里/小时)
2．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心、500m为半径的圆形区域为居民区。取MN上的另一点B，测得BA的方向为南偏东75°。已知MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水管道是否会穿过居民区。
四、小结
这节课进一步学习了应用解直角三角形的知识解决实际问题，在解决这样的问题时，一方面，根据题意能够画出图形，另一方面，要把问题归结到直角三角形中来解决。
五、作业：
课件20张PPT。 第一章解直角三角形复习课 如果∠A是直角三角形ABC的一个锐角，则有∠A的对边∠A的邻边tanAcosA∠A的邻边∠A的对边斜边sinA斜边 锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的三角函数.一、复习：1.锐角三角函数的定义 2.互余两角之间的三角函数关系:
两锐角A+B=90度，则A 、 B的三角函数有如下关系：
sinA=cosB, cosA=sinB,
tanA tanB=1.
3.同角之间的三角函数关系:
sin2α+cos2α=1.其中的α表示锐角4.特殊角的三角函数值表5.什么叫做解直角三角形？
在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.
（α为斜角） 坡度tanα＝i6.（1）坡度
(附加) 锥度
（α为坡角）（2）仰角和俯角（3）方向角如图：点A在O的北偏东30°
点B在点O的南偏西45°（西南方向）1. 在Rt△ABC中∠C=90°，当 锐角A>45°时，sinA的值（ ）(A)0＜sinA＜ (B) ＜sinA＜1
(C) 0＜sinA＜ (D) ＜sinA＜1B 二、综合练习(一)填空选择题:2.当∠A为锐角，且cosA= ,那么（ ）
(A)0°＜∠A＜ 30 ° (B) 30°＜∠A≤45°
(C)45°＜∠A≤ 60 ° (D) 60°＜∠A＜ 90 ° D3.在△ABC中∠C=90° ∠B=2∠A ,
则cosA=______5.已A是锐角且tanA=3,则4. 若tan(β+20°）= (β为锐角), 则β=________40° 6.植树节，某班同学决定去坡度为1︰2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6m，斜坡上相邻两树间的坡面距离为 m.ACBi=1︰28.在△ABC中， ∠C=900，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若ABNCDM解:在△DBC中， ∠C=900
=cos∠BDC=∴可设DC=3Xcm ,BD=5Xcm,则BC=4Xcm
∵AB的垂直平分线MN交AC于D,∴AD=BD=5Xcm
∴AC=AD+CD=5X+3X=8X(cm)
∵AC=8cm ∴8x=8 ∴x=1 ∴BC=4m4cm 1.山顶上有一旗杆，在地面上一点A处 测得杆顶B的仰角α =600，杆底C的仰角β =300，已知旗杆高BC=20米，求山高CD。(二）解答题解:设AD=xm,
在Rt△ADC中， CD=AD?tan∠CAD= x?tan30?,
在Rt△ADB中， BD=AD?tan60?= x?tan60?, ∵ BD-CD=BC,BC=20m ∴ x?tan60?- x?tan30?=20∴CD=x?tan30?=10(m)答:山高CD为10米.2.如图,为了测量山坡的护坡石坝与地面的倾斜角α,把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出竹竿长1m时它离地面的高度为0.6m,又量得竿顶与坝脚的距离BC=2.8m.这样∠α求就可以算出来了.请你算一算.解:作CF⊥AB，垂足分别 F．
在Rt△ADE中，
sin∠DAE= = =0.6F在Rt△ACF中，
CF=AC· sin∠DAE
=4.5×0.6=2.7(m)
在Rt△BCF中，
sin α= = ∴ ∠α≈74°38′28″3.如图，是某市幸福大道上一座人行天桥示意图，天桥的高CO为6米，坡道倾斜角∠CBO=45°，在距B点5米处有一建筑物DE.为了更加方便行人上、下天桥，市政部门决定减少坡道的倾斜角，但离新坡角A处要留出不少于3米宽的人行道。
（1）若将坡道倾斜角改建为30 ° （∠CAO=30° ），那么建筑物DE是否会被拆除？为什么？解:会被拆除.
在Rt△AOC中，
OA=OC÷tan∠CAO
=6÷tan30°=6÷∴建筑物DE会被拆除.在Rt△BOC中，
OB=OC÷tan∠CBO=6÷tan45°=6÷1=6（m）
∴OE=OB+BE=6+5=11（m）3.如图，是某市幸福大道上一座人行天桥示意图，天桥的高CO为6米，坡道倾斜角∠CBO=45° ，在距B点5米处有一建筑物DE.为了更加方便行人上、下天桥，市政部门决定减少坡道的倾斜角，但离新坡角A处要留出不少于3米宽的人行道
（2）若改建坡道后，使人行道的宽恰好为3米，又不拆除建筑物DE，那么坡道的倾斜角应为多少度（精确到1度）？解:在Rt△AOC中，
OA=OE-AE=11-3=8（m）
OC=6m
∴tan∠CAO== =0.75∴∠CAO≈37°答：坡道的倾斜角约为37度4.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60° ，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45° ，已知OA=100米，山坡坡
度为 ，（即tan∠PAB= ）且O、A、B在同一
条直线上。求电视塔OC的高度以及所在位置点P的铅直高度.（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）5.如图,某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处,经16小时的航行到达,到达后必须立即卸货.此时,接到气象部门通知,一台风正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动.距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.
(1)问:B处是否受到台风的
影响?请说明理由.
(2)为避免受到台风的影响,
该船应在多少小时内卸完货物?再见！作业本（1）P8--10第1---11题 祝你们学习进步！1、 我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座和山顶的水平距离为1000米，山高为565米，如果这辆坦克能够爬300 的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？ [达标练习三]2、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域。如图，设A、B是我们的观察站，A和B之间的距离为160海里，海岸线是过A、B的一条直线。一外国船只在P点，在A点测得∠BAP=450，同时在B点测得∠ABP=600，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域.
