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第一章 二次根式
复习目标
1、能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简.
2、能过比较熟练进行二次根式的运算.
3、会运用二次根式的性质及运算解决简单的实际问题.
重点难点
重点：二次根式的性质的应用，二次根式的运算，二次根式的应用.
复习引入
本章知识梳理
教学过程
复习引入
1.形如 的代数式叫做二次根式.（即一个 的算术平方根叫做二次根式）
强调：二次根式被开方数不小于0[来源:21世纪教育网
2.二次根式的性质：
（a≥0），
=
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b＞0）
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则[来源:21世纪教育网]
（a≥0，b≥0）
二次根式除法法则21世纪教育网
（a≥0，b＞0）
二次根式的加减：类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并.
二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原来所学的乘法公式（如）仍然适用.21世纪教育网
内容组织
例1 求下列二次根式中字母的取值范围
（1）；（2）；
说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）
练习：求下列二次根式中字母的取值范围
（1）；（2）
例2 化简：
（1）；（2）
说明：应用二次根式的性质进行化简
例3、计算：
（1）； （2）
（3）
例4 解方程：
处理：提示——这是一元一次方程，未知数的系数是二次根式，由学生叙述，教师板书.
例5 在直角坐标系中，点P（1， ）到原点的距离是_________
例6 一个台阶如图，阶梯每一层高15cm，宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是多少
说明：转化到同一平面中去（铺平——平面展开图），应用两点之间线段最短；铺平后楼梯的平面展开图是什么图形？就可根据什么求出AB的长？
课堂小结
1. （参考：D）
A. 2x B.0或2x C.-2x或2x D.-2x
2. 则x的取值范围是 .（参考：x≤0）
3. 成立的条件是（ ） （参考：D）
说明：注意二次根式中字母的取值条件.
提示：估计根号10约是几点几？（即根号10在3~4之间）整数部分是3，那小数部分是多少呢？（准确地说根号10减去3）然后由学生去算.
5.请计算的值21世纪教育网
将根号内的3换成其他正数，结果怎样？你能从计算中发现什么运算规律？（请用文字描述或用字母标示出来）
布置作业
B
A
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人教新版九年级上
第 21 章 二 次 根 式
单元复习（2）
本章主要知识:
1.二次根式性质及运算律
1)
2)
3)
(1)二次根式的加减法：通常先把各个二次根式化成最简二次根式，在合并同类二次根式
(2)、二次根式的乘法类似与多项式的乘法，运算中公式 ，对于二次根式除法，通常是先化成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算，有时可以约分，有时可以利用公式，运算的结果都要化成最简二次根式。
2.二次根式的应用
1.计算或化简：
①
②
_______
基础题A组
③
④在直角坐标系中，点P（1， ）到原点的距离是_________
3
2
2.化简下列各式
基础题B组
÷
②
④
①
③
3、计算下列各题，并概括二次根式的
运算的一般 步骤：
4、计 算：
5、（1）判断下列各式是否成立？你认为成立的，请在括号里
打 “√”，不成立的，请在括号里打 “×”
（2）你判断完以上各题之后，能猜想这类式子具有什么
规律？
（3）试用数学知识说明你所提出的猜想是正确的吗？
探索性练习：
拓展1
设a、b为实数,且| 2 -a|+ b-2 =0
√
若a为底,b为腰,此时底边上的高为
∴三角形的面积为
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形的面积.
拓展1
设a、b为实数,且| 2 -a|+ b-2 =0
√
解:若a为腰,b为底,此时底边上的高为
∴三角形的面积为
A
B
P
D
C
若点P为线段CD上动点。
已知△ABP的一边AB=
（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，
①则AD=____ BC=____
1
2
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为
拓展2
A
B
P
D
C
若点P为线段CD上动点。
已知△ABP的一边AB=
（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，
①则AD=____ BC=____
1
2
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为
拓展2
A
B
P
D
C
若点P为线段CD上动点。
已知△ABP的一边AB=
（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，
①则AD=____ BC=____
1
2
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为
拓展2
A
B
P
D
C
若点P为线段CD上动点。
已知△ABP的一边AB=
（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，
①则AD=____ BC=____
1
2
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为
拓展2
A
B
P
D
C
若点P为线段CD上动点。
已知△ABP的一边AB=
（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，
①则AD=____ BC=____
1
2
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为
拓展2
A
B
P
D
C
若点P为线段CD上动点。
已知△ABP的一边AB=
（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，
①则AD=____ BC=____
1
2
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为
拓展2
A
B
P
D
C
若点P为线段CD上动点。
已知△ABP的一边AB=
（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，
①则AD=____ BC=____
1
2
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为
拓展3
② 设DP=a,请用含a的代数式表示AP，BP。则AP=__________，BP=__________。
③ 当a=1 时，则PA+PB=______,
当a=3,则PA+PB=______
④ PA+PB是否存在一个最小值？本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第一章 二次根式综合复习
一、精心选一选（每小题3分，共30分）
1．下列各式中，不是二次根式的是…………………………………………………………（ ）
A． B． C． D．
2．下列选项中，使根式有意义的的取值范围为＜1的是………………………………（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次根式的值为3，那么的值是……………………………………………（ ）
A．3 B．9 C．－3 D．3或－3
4．下列四个等式：①；②（－）2=16；③（）2=4；④. 正确的是 ………………………………………………………………………………………（ ）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
5．若，则的值为……………………………………………………（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．2
6．如果，那么一定是…………………………………………………………（ ）
A．负数 B．正数 C．正数或零 D．负数或零
7．估计的值是在……………………………………………………………………（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
8．下列运算正确的是…………………………………………………………………………（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，有两棵树高分别为6米、2米，它们相距5米，一只小鸟从一
棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，一共飞了多少米？…………（ ）
A．41 B． C．3 D．9[21世纪教育网
10．如果一个三角形的三边长分别为1、、4. 则化简|2－5|－
的结果是…………………………………………（ ）
A．3－11 B．+1 C．1 D．11－3
二、专心填一填（每空格3分，共30分）
11．化简 ．
12．要使二次根式有意义，字母的取值范围是 ．
13．当=－1时，二次根式的值是 ．
14．化简= ．
15．已知等腰直角三角形的斜边长为，则它的面积为 ．
16．在平面直角坐标系中，点(，1)到原点的距离是 ．
17．化简 ．
18．若a、b都为实数，且b=2009，a= , ab= ．.
19．若实数a、b、c在数轴的位置，如图所示，则化简 ．
三、耐心做一做（本题有5小题，共40分）
20．（本题12分）计算：
（1）
（2）
（3）
21．（本题6分）解方程：
22．（本题8分）已知：，分别求下列代数式的值：
（1） （2）
23．（本题6分）如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺而成. 求一块方砖的边长．
21世纪教育网
24．（本题8分）请在方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为
2，2，4，
1 求△ABC的面积； [来源:21世纪教育网]
② 求出最长边上高．
21世纪教育网
参考答案
一、选择题
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D D C A B D B A
二、填空题
11、3
12、x＜3[来源:21世纪教育网
13、2
14、
15、
16、2
17、
18、2，1
19、－a－b
三、解答题
20、（1）－ （2）30 （3）－10
21、
22、（1）4 （2）13
23、
24、①S△ABC=2； ②h =
c b 0 a
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第 21 章 二 次 根 式
单元复习（1）
二 次 根 式
三个概念
两个性质
两个公式
四种运算
最简二次根式
同类二次根式
有理化因式
1、
2、
加 、减、乘、除
知识结构
2、
1、
--不要求，只需了解
二次根式的概念
形如 （a 0）的式子
叫做二次根式
１．二次根式的定义：
２．二次根式的识别：
（１）．被开方数
（２）．根指数是２
例．下列各式中那些是二次根式？
那些不是？为什么？
⑧
⑦
⑥
⑤
④
①
②
③
３．二次根式的性质
（1）．
（2）．
（3）．
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 _____时， 有意义。
2.(2005.青岛) +
3.求下列二次根式中字母的取值范围
解得 - 5≤x＜3
解：
①
②
说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）
≤3
a=4
有意义的条件是 __ .
题型2:二次根式的非负性的应用.
4.已知： + =0,求 x-y 的值.
5.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
+3(y-2)2 =0,则x-y的值为( )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0
解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
D
练 习
抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式,并说明理由。
满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。
（2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分母有理化,将式子化简。
例1：把下列各式化成最简二次根式
例2：把下列各式化成最简二次根式
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ 的取值范围
（１）
（２）
（３）
（５）
（４）
（６）
练习与反馈
2．（１）
（２）当 时，
（３） ，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
（４）若 ，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
3．若１＜Ｘ＜４，则化简
的结果是＿＿＿＿＿
4．设a,b,c为△ ABC的三边，化简
5．若 ，则a的取值范围是（）
Ａ．
Ｃ．
Ｂ．
Ｄ． 为任意数
6．若
求 的值
7． 求下列各式的值
（１）
（２）
（３）
（４）
8．计算
（１）
（２）
9．在实数范围内分解因式
（１）
（２）
（３）
（４）
10.一个台阶如图，阶梯每一层高15cm，宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是多少？
25
15
15
25
60
60
A
B
解：
B
15
15
25
25
60
60
A(共15张PPT)
二 次 根 式
单元复习（1）
二 次 根 式
三个概念
三个性质
两个公式
四种运算
最简二次根式
同类二次根式
有理化因式
1、
2、
加 、减、乘、除
知识结构
--不要求，只需了解
1、
3、
=
a
2
2、
二次根式的概念
形如 （a 0）的式子
叫做二次根式
１．二次根式的定义：
２．二次根式的识别：
（１）．被开方数
（２）．根指数是２
判别．下列各式中那些是二次根式？
那些不是？为什么？
⑧
⑦
⑥
⑤
④
①
②
③
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 _____时， 有意义。
3.求下列二次根式中字母的取值范围
解得 - 5≤x＜3
解：
①
②
说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）
≤3
有意义的条件是 .
2.
+
题型2:二次根式的非负性的应用.
1.已知： + =0,求 x-y 的值.
2.已知x,y为实数,且
+3(y-2)2 =0,则x-y的值为( )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0
解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
D
注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。
题型3最简二次根式：
１、被开方数不含分数；
２、被开方数不含开的尽方的因数或因式；
注意：分母中不含二次根式。
练习1：把下列各式化为最简二次根式
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。
（2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分母有理化,将式子化简。
练习：把下列各式化成最简二次根式
题型4同类二次根式：
化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式。
、
、
是同类二次根式
下列哪些是同类二次根式
题型5：利用
进行分解因式
例：分解因式：
练习．在实数范围内分解因式
（1）
（2）
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ 的取值范围
（１）
（２）
（３）
练习与反馈
2．（１）
（２）当 时，
（３） ，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
（４）若 ，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
1．若
求 的值
2．计算
（１）
（２）
练一练
