课件14张PPT。一元二次方程的应用（1）（1）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都是x，那么一年后的销售收入将达到____ _ _万元（用代数式表示）（2）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都是x，那么两年后的销售收入将达到__ ____万元（用代数式表示）（1）增长率问题 （2）降低率问题 问题:截止到2000年12月31日，我国的上网计算机总数为892万台；截止到2002年12月31日，我国的上网计算机总数以达2083万台.
（1）求2000年12月31日至2002年12月31日我国的上网计算机台数的年平均增长率（精确到0.1%）.思考:(1)若设年平均增长率为x,你能用x的代数式表示2002年的台数吗?(2)已知2002年的台数是多少?(3)据此,你能列出方程吗?892(1+x)2=2083问题: （2）上网计算机总数2001年12月31日至2003年12月31日的年平均增长率与2000年12月31日至2002年12月31日的年平均增长率相比，哪段时间年平均增长率较大？(1)已知哪段时间的年平均增长率?
(2)需要求哪个时间段的年平均增长率?想一想:问题1：截止2000年12月31日，我国的上网计算机总台数为892万台；截止2002年12月31日，我国的上网计算机总台数为2083万台；（1）求2000年12月31日至2002年12月31日我国计算机上网总台数的年平均增长率（精确到0.1%）解：设2000年12月31日至2002年12月31日我国计算机上网总台数的年平均增长率为x，由题意得892（1+x)2=2083(1+x)2=≈52.8%(不合题意，舍去）答：从2000年12月31日至2002年12月31日我国计算机上网总台数的年平均增长率是52.8%.(2)解：设2001年12月31日至2003年12月31日上网计算机总台数的年平均增长率为y，由题意得1254（1+y)2=3089解这个方程，得(不合题意，舍去）≈56.9%56.9%＞ 52.8%答： 2001年12月31日至2003年12月31日上网计算机总台数的年平均增长率较大。(2) 上网计算机总台数2001年12月31日至2003年12月31日与2000年12月31日至2002年12月31日相比,哪段时间年平均增长率较大?2001年12月31日总台数为1254万台，2003年12月31日总台数为3089万台列方程解应用题的步骤有:即审题，找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系。设元，包括设直接未知数或间接未知数，以及用未知数字母的代数式表示其他相关量。根据等量关系列出方程解方程并检验根的准确性及是否符合实际意义并作答。练一练: 某单位为节省经费,在两个月内将开支从每月1600元降到900元,求这个单位平均每月降低的百分率是多少?练一练:某校坚持对学生进行近视眼的防治,近视学生人数逐年减少.据统计,今年的近视学生人数是前年人数的75℅,那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少(精确到1℅)?列方程解应用题的基本步骤怎样？（2）制定计划：5、设元，包括设直接未知数或间接未知数；6、用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量；（3）执行计划：7、列方程； 8、解方程；（4）回顾9、检验并作答：注意根的准确性及是否符合实际意义。解题步骤：一设 二列 三解 四检验并作答问题: 某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株?如果直接设每盆植x株,怎样表示问题中相关的量?解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有______株,平均单株盈利为__________元.由题意,得(x+3)(3-0.5x)=10解这个方程,得:x1=1, x2=2(x+3)(3-0.5x)如果设每盆花苗增加的株数为x株呢？思考:这个问题设什么为x?有几种设法?化简，整理，得 x2-3x+2=0经检验，x1=1,x2=2都是方程的解，且符合题意.答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株.练一练:已知两个连续正奇数的积是63,利用一元二次方程求这两个数.鲜花为你盛开，你一定行！谈谈你这节课的收获 课件26张PPT。2.3 一元二次方程的应用（1）
—教学设计 教学内容：
浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册第二章“一元二次方程”第六节.
学习任务分析
一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，其中一元二次方程的应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是二元二次方程组、一元高次方程及二次函数学习的基础，具有承前启后的作用.本节是一元二次方程的应用，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型.
学生情况分析
现代心理学的研究表明，学生解应用题最常见的困难是不会将实际问题提炼成数学问题.本节课对象是八年级学生，他们具有一定的认知能力，比较缺乏社会生活经历，搜集信息、处理信息的能力较弱，鉴于此，本节课从具体的问题情境中抽象出数学问题，建立数学关系式，获得合理的解答，通过自主探索和合作交流这样有意义的探索过程，理解并掌握相应的数学知识与技能，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题.它具有明显的问题性、实践性、开放性和创造性等特点，有效地发展了学生的思维能力.
教学目标：
1.知识与技能目标
（1）以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法.
（2）通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程.
2.过程与方法目标
通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热情。
3.情感态度与价值观目标
使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学习活动中获得成功的体验，建立自信心，从而使学生更加热爱数学、热爱生活.
重点、难点重点：列一元二次方程解应用题.
难点: 将实际问题提炼成数学问题.
教学方法：
创设情境——引导探究——类比归纳——鼓励创新.
学法：
自主探索——合作交流——反思归纳——乐于创新.
教学过程：
1.复习提问，引出新知
提问1、以前我们经历了几次列方程解应用题？
①列一元一次方程解应用题；
②列二元一次方程组解应用题；
③列分式方程解应用题
提问2、列方程解应用题的基本步骤怎样
①审（审题）；
②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系）；
③设（设元，包括设直接未知数和间接未知数）；
④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）；
⑤列（列方程）；
⑥解（解方程）；
⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）.
今天我们将学习另外一种方程解应用题. 板书2.3一元二次方程的应用（1）
1.复习提问，引出新知 【设计意图】
列一元一次方程、二元一次方程组、列分式方程解应用题，它们的思想方法和解题步骤有许多共同之处，通过回顾以往的列方程解应用题，以及列方程解应用题的一般步骤为学生列一元二次方程解应用题提供了有益的经验.
2.创设情境，探究学习 浙江高原龙泉山 龙泉山处于夏雨的热带—暖温带（海洋性）群落交错区风，地质古老，气候湿润，雨量充沛，植物资源极为丰富，保存了大批原始古老的生物种群，是我国的主要模式标本主地之一。现已知的种子植物有1978种，蕨类植物219种，苔鲜植物365种，大型森林真菌428种。其中白豆杉、华东黄杉、长柄双花木、穗花杉等20余种被列入《中国珍稀濒危保护植物名录》，占浙江省保护植物品种的50%。龙泉山属于森林生态类型自然保护区，由于其独特的地理位置和自然条件，区内生物多样性突出，生物资源极其丰富，保存拥有多种珍稀、濒危植物及特有属种、模式植物、经济植物，而且拥有多种珍稀、濒危野生支票物。龙泉山野生动物极多，有脊椎动物292种，昆虫910种。兽类有金钱豹、云豹、大灵猫、小灵猫、短猕猴、稣门羚等；鸟类有黄腹角雉、赤腹鹰等，属于国家级保护动物的有66种，其中一级保护动物9种素有“清凉天地”“天然公园”之美誉的龙泉山，峰巍树怪，谷幽泉清，茂林蔽日，奇草遍地，百余处旅游风景点，一年四季景随季变。平均气温12.5℃，极端最高气温只在30.2度。度假区现有面积1.5万公顷，森林覆盖率为90.8%。区内地形复杂，群峰峥嵘，峡谷峻峭，沟壑交错。矗立在度假区核心地段的黄茅尖，海拔1929米，被誉为“江浙第一高峰”。2005年4月30日，由中国最大的民营旅游投资企业——杭州宋城集团斥资3.8亿元，在凤阳山国家级自然保护区内投资开发的龙泉山旅游度假区正式对外开放。到2007年4月30日，杭州宋城集团总共在龙泉山的投资已经达5.2亿元.
浙江高原龙泉山 【设计意图】提供学生身边感兴趣的情景，既符合学生的认知特点，又恰到好处地对学生进行了乡土教育.能够很好体现数学的现实性，充分吸引学生的注意力. 引导学生对问题背景进行讨论“怎样从背景中构造出数学问题？”以小组为单位思考、讨论、探索，各抒己见.通过组织学生小组合作，同时老师进行适当的引导提出问题1，增加条件如何确定龙泉山的门票价格引出问题2.
【设计意图】让学生经历思考、讨论、合作、交流的过程，培养学生与人交流、与人合作的能力.从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得数学理解的同时，在思维能力、情感、态度与价值观等多方面得到发展.
合作交流，师生互动问题1：2005年4月30日，由中国最大的民营旅游投资企业——杭州宋城集团斥资3.8亿元，在凤阳山国家级自然保护区内投资开发的龙泉山旅游度假区正式对外开放。到2007年4月30日，杭州宋城集团总共在龙泉山的投资已经达5.2亿元.求2005年4月30日到2007年4月30日，杭州宋城集团投资的年平均增长率（精确到0.1%） 提出问题、解决问题 引导学生对照基本步骤回答问题
1、第一步干什么？
审题：找出已知量和未知量及相等关系.
2、分组讨论入下问题
①增长率与什么有关系？
增长率和时间相关.必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长率.
②年平均增长率怎么算？
经过两年的年平均变化率x与原量a和现量之间的关系是： （等量关系）.
③x的正负性有什么意义？
当
解：设2005年4月30日至2007年4月30日杭州宋城集团投资的年平均增长率x.
关系式为，
即 .
解得
∵ ，∴不合题意，舍去.
答：2005年4月30日至2007年4月30日杭州宋城集团投资的年平均增长率16.9%. 解题过程 【设计意图】
对教材中的例题的内容和编排的顺序进行了改编，选取的例题是从学生身边的实际情景中学生自己提炼出来的，这样更能让学生体会到数学的实用性，感受到数学来源于生活，应用于生活，感受到数学的魅力，体现了新课程理念“从教教材到用教材教”.
3.课堂练习，巩固新知
练习1：某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少.据统计，今年的近视人数是前年的75%，那么这两年的平均每年近视学生人数降低的百分率是多少（精确到0.1%）
【设计意图】选取书本中的练习第二小题进行练习，巩固列一元二次方程解有关降低率的问题.同时对于没有具体数字的问题的增长率的求解也起到一个巩固作用.
4.深入思考，再探新知
问题2：2005年4月30日，龙泉山旅游度假区正式对外开放后，经过试验发现每天的门票收益与门票价格成一定关系.门票为40元/人时，平均每天来的人数380人，当门票每增加1元，平均每天就减少2人。要使每天的门票收入达到24000元，门票的价格应定多少元？
解：设门票增加了x元，增加后的门票价格为（40+x)元，平均每天来的人数为（380-2x)人，则
（x+40）(380-2x)=24000, 解得x1=40,x2=110. 经经验，x1=40,x2=110都是方程的解，且符合题意 答：门票的价格定为80元或150元时，每天的门票收入都能达到24000元.
解题过程 【设计意图】
改变书本中以花圃用花盘育某种花苗为问题背景，因为学生对这样的问题实际上不怎么关心的.现在比较热门的就是旅游，而且大家都很关注门票问题，更能激发学生学习的积极性.同时同样的背景从不同角度就得到不同的数学问题，能激发学生探究的热情，养成从多方面考虑问题的习惯.
练习2：
某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元。为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价。据测算，若每箱降价1元，每天可多售出2箱。如果要使每天销售饮料获利14000元，问每箱应降价多少元？
【设计意图】加深对于这一类问题的理解.
5. 练习反馈，巩固新知 6.反思盘点，整合新知
提问：通过本节课的学习你有什么收获？取得哪些经验教训？还有哪些问题需要提问？
【设计意图】通过反思、归纳，培养学生的语言表达能力和概括能力；体现了“评价目标多元、评价方法多样”的理念，并能“帮助学生认识自我，建立信心”，同时帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.
7.精选作业，拓展新知
作业题：
必做题：1、作业本（1）2.3一元二次方程的应用（1）
2、教科书A组作业题2、3.
选做题：如果你是宋城集团老板，你在确定龙泉山的门票价格时，你会定为多少？为什么？请你调查龙泉山实际的门票是多少？ 【设计意图】
必做题巩固本节课的基本要求，体现了“人人都能获得必要的数学”；选做题密切联系生活，体现“人人学有价值的数学；不同的人在数学上得到不听的发展”，创设了具有实践性、开放性的问题情境，启发学生思考现实生活中可能蕴涵某些数学知识的现象，初步学会“用数学”的意识.通过训练，在日常生活中，学生就会用数学的眼光观察、探究现实世界，发现问题，通过自己的思考解决问题.
课件14张PPT。2.3 一元二次方程的应用（2）鲜花为你盛开，你一定行！ON如图，红点从O出发，以3米/秒的速度向东前进，
经过t秒后，红点离O的距离ON= .（1） 3t|40-3t|NN鲜花为你盛开，你一定行！ONM北东如图，蓝、红两点同时从O点出发，红点以3米/秒的速度向东前进，蓝点以2米/秒的速度向北前进，经过t秒后，两点的距离MN 是 （代数式表示）（3） （4） BO=30米，CO=40米，蓝从B点，红从C点同时出发，其他条件不变，经过t秒后，两点的距离MN的距离是 （代数式表示） ONM北东BCONM北东ONM北东ONM北东BCBCBCBO=30米，CO=40米，蓝从B点，红从C点同时出发，其他条件不变，经过t秒后，两点的距离MN的距离是 （代数式表示） 一轮船以30 km/h的速度由西向东航行（如图），在途中接到台风警报，台风中心正以20 km/h的速度由南向北移动。已知距台风中心200 km的区域（包括边界）都属于受台风影响区。当轮船接到台风警报时，测得BC=500km，BA=300 km。 合作学习?（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？C1B1（2）如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？（3）如果把航速改为10 Km/h ，结果怎样？ 一轮船以30 km/h的速度由西向东航行（如图），在途中接到台风警报，台风中心正以20 km/h的速度由南向北移动。已知距台风中心200 km的区域（包括边界）都属于受台风影响区。当轮船接到台风警报时，测得BC=500km，BA=300 km。 合作学习?（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？C1B1（2）如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？（3）如果把航速改为10 Km/h ，结果怎样？ 一轮船以30 km/h的速度由西向东航行（如图），在途中接到台风警报，台风中心正以20 km/h的速度由南向北移动。已知距台风中心200 km的区域（包括边界）都属于受台风影响区。当轮船接到台风警报时，测得BC=500km，BA=300 km。 合作学习?（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？AB1C1B如图，在△ABC中，∠B=90o。点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从
A，B同时出发，经过
几秒， △ PBQ的面积
等于8cm2 ？练习：（1） 如何把一张长方形硬纸片折成一个
无盖的长方体纸盒？ （2） 无盖长方体的高与裁去的四个小正
方形的边长有什么关系？
动手折一折 如图1有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，
裁去角上四个小正方形之后，折成如图2那样的
无盖纸盒，若纸盒的底面积是450cm2，那么纸
盒的高是多少？ 例题讲解图 1图2（2）底面的长和宽能否用含x的代数式表示？ （3）你能找出题中的等量关系吗？你怎样列方程？
（1）若设纸盒的高为xcm，那么裁去的四个正方形
的边长为多少？想一想 如图1有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，
裁去角上四个小正方形之后，折成如图2那样的
无盖纸盒，若纸盒的底面积是450cm2，那么纸
盒的高是多少？ 40-2x练习：围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800m2.求这个公园的长与宽. 练习：如图，斜靠在墙上的一根竹竿长AB=6.5m，BC=2.5m，若A端沿垂直于地面的方向AC下滑1m，问B端将沿CB方向移动多少m？ABC练习：如图，斜靠在墙上的一根竹竿长AB=6.5m，BC=2.5m，若A端沿垂直于地面的方向AC下滑1m，问B端将沿CB方向移动多少m？ABCA’B’课件8张PPT。一元二次方程的应用(2)例1：如图甲，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图乙所示的无盖纸盒。若纸盒的底面积是450cm2，那么纸盒的高是多少？试一试：取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒。要使包装盒的容积为200cm3（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少cm？ 一轮船以30 Km/h的速度由西向东航行（如图），在途中接到台风警报，台风中心正以20 Km/h的速度由南向北移动。已知距台风中心200 Km的区域（包括边界）都属于受台风影响区。当轮船接到台风警报时，测得BC=500Km，BA=300 Km。 合作学习?（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？ 一轮船以30 Km/h的速度由西向东航行（如图），在途中接到台风警报，台风中心正以20 Km/h的速度由南向北移动。已知距台风中心200 Km的区域（包括边界）都属于受台风影响区。当轮船接到台风警报时，测得BC=500Km，BA=300 Km。 合作学习?（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入
台风影响区？你采用什么方法来判断？C1B1（2）如果你认为轮船会进入台风影响区，
那么从接到警报开始，经多少时间就进入
台风影响区？（3）如果把航速改为10 Km/h ，结果怎样？ 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC, ∠C=∠ADC=90°,BC=16,DC=12,AD=21,动点P从点D出发沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动。若点P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动时间为t（s）
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？QABCDP敢于挑战例2：如图，在△ABC中，∠B=90o。点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别
从A，B同时出发，经过
几秒， △ PBQ的面积
等于8cm2 ？例3：某租赁公司拥有汽车100辆。据统计，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将增加1辆。租出的车每辆每月的维护费为150元，未租出的车每辆每月只需维护费50元。(1)当每辆车的月租金定3600元时,能租出多少辆?(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到306600元?
