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5.5 平行四边形的判定（1）
【教学目标】
1.平行四边形的判定定理及应用．
2．会综合运用平行四边形的判定定理和性质定理来解决问题．
3．会根据条件来画出平行四边形．
4．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．
【教学重点、难点】
重点：平行四边形的判定定理（一）及应用．
难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．
【教学过程】
一、用类比、逆向思维的方式探索平行四边形的判定方法
1．复习平行四边形的主要性质，
角：（c）两组对角相等．（性质3）（等价命题：两组邻角互补）
对角线：（d）对角线互相平分．（性质4）
2．逆向思维：怎样判定一个四边形是平行四边形？21世纪教育网
（1）学生容易由定义得出：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（判定方法一）．也就是说，定义既是平行四边形的一个性质，又是它的一个判定方法．
（2）观察判定方法一与性质1的关系，寻找逆命题的特征：
（3）类比联想，猜想其他性质的逆命题也能判定平行四边形，构造逆命题如下：
①两组对边分别相等的四边形是平行四边形（猜想1）；
（4）证明猜想，得到平行四边形的判定定理1．
教师引导学生根据平行四边形的定义以及平行线的性质、三角形全等的知识对以上猜想
进行证明．实际，让学生利用上述方法得出有关平行四边形判定方法的部分常用（或全部）猜想．（教师也可用判断题的形式让学生思考，从而降低难度）
猜想一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
猜想二：一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形．
猜想三：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形．
（3）证明猜想成立或举例说明某猜想不成立．
以上猜想中正确的是猜想一，猜想二和三的反例图形分别见图4-21（a），（b）．
如图4－21（a），在四边形ABCD中， AD //BC， AB＝DC，但四边形ABCD不是平行四边形；在图4-21（b）中， AB＝AC＝DE，∠B=∠C＝∠D，但四边形 ABED不是平行四边形．
（4）总结。平行四边形判定方法，根据题目条件从中灵活选用方法来解决问题．
二、判定定理的巩固练习
1．利用平行四边形的判定定理及性质定理进行证明．
例1已知：如图 4－22，E和F是ABCD对角钱AC上两点，AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
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说明：引导学生从条件、结论两方面对题目进行再思考．
（1）在此基础上，还可证出什么结论？用到什么方法？如还可证BEDF,DEBF, ∠BED=∠BFD等.总结方法：利用平行四边形的性质——判定——性质可解决较复杂的几何题目.
（2）根据运动、类比、特殊化的思维方法，猜想对此题可作怎样的推广？
类比例1条件，利用运动变化的观点，让E和F在对角线AC上运动到一些特殊位置，猜想还可得出同样结论如图4-23，但其中的猜想无法证明．
缺图4-23
猜想一如图 4-23（a），在ABCD中， E，F为AC上两点，∠ABE＝∠CDF．求证：四边形BEDF为平行四边形．
猜想二如图4－23（b），在ABCD中，E，F为AC上两点，BE//DF．求证：四边形BEDF为平行四边形．
猜想三如图 4-23（c），在ABCD中， E，F为AC上两点， BE＝DF．求证：四边形 BEDF为平行四边形．
猜想四如图4－23（d），在ABCD中，E,F分别是AC上两点，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F.求证:四边形BEDF为平行四边形21世纪教育网
例2已知：如图 4－24（a），在ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点．求证：EB=DF．21世纪教育网
说明：
（1）分析证明思路，所要证明的两条线段恰为四边形EBFD的一组对边，由图中它们所在的位置来看，可首先判定四边形BEDF为平行四边形，再利用平行四边形的性质来解决．培养学生思维的层次：使用已知平行四边形的性质——判定新平行四边形——使用新平行四边形的性质得出结论．
（2）引导学生适当改变题目的条件、结论，对命题加以引伸和推广．
推广一（对结论引伸）已知：如图4-42（b），在ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，
BE交AF于G，EC交DF于H．求证：
（1）四边形EGFH为平行四边形；
（2）四边形EGHD为平行四边形．
思考：怎样用运动、类比及特殊到一般的方法来改变命题的条件，将命题加以推广？
推广二已知：如图 4-24（c），在ABCD中，E， F为AD，BC上两点，AE＝CF．求证：EB＝DF．
推广三已知：如图 4-24（ d），在ABCD中， E， F为 AD，BC上两点，∠ABE＝∠ CDF．
求证：EB＝ DF．
推广四已知：如图4-24（e），在ABCD中，E，F分别为AD，BC上两点，BE和DF分
别平分∠ABC和∠ADC．求证:EB＝ DF．
推广五已知：如图4-24（f），在ABCD中，E，F分别为AD，BC上两点，AE⊥BC于21世纪教育网
E， CF⊥AD于F．求证：BE＝DF．
四、师生共同归纳小结
1．平行四边形的判定方法有哪些？应从边、角、对角线三方面来进行总结，并指出：性质定理的逆命题如果正确，常常作为判定定理来使用．
2．学习了哪些研究问题的思想方法？
五、作业
课本第144页第7～14题，B组1，2，4题．
补充题：
1．如图 4-25，在ABCD中， AE＝CF， BG＝DH．求证： AH，BE，CG,DF围成的四边形MNPQ为平行四边形．
2．如图4-26，在ABCD中，E，F，G和H分别是各边中点．求证：四边形EFGH为平行四边形．
3．如图4－27，在ABCD中，AC，BD交于O点，AE⊥BD于E,CG⊥BD于G,BH⊥
AC于H，DF⊥AC于F．求证：四边形EFGH为平行四边形．
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5.5 平行四边形的判定（2）
一、教学目标设计：
⒈认知目标：
1、 掌握平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”；
2、 会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形；
3、 会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题。
⒉能力目标：
⑴经历平行四边形判别条件的探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法；并在与他人交流的过程中，能合理清晰地表达自己的思维过程；
⑵探索并掌握平行四边形的判别条件：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑶在拼摆平行四边形的过程中，培养学生的动手实践能力及丰富的想象力，积累数学活动经验，增强学生的创新意识。
⒊情感目标：
⑴让学生主动参与探索的活动，在做“数学实验”的过程中，发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯，激发学生学习数学的热情和兴趣。
⑵通过探索式证明法，开拓学生的思路，发展学生的思维能力。
⑶在与他人的合作过程中，培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，培养学生的合作意识和团队精神。
二、教学重点、难点分析：
教学重点: 平行四边形的判定定理；
教学难点: 例2的证明步骤较多，且要综合运用平行四边形的判定定理和性质定理，是本节教学的难点。
三、教学策略及教法设计：21世纪教育网
【活动策略】
课堂组织策略：创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握“平行四边形的判定”的方法。
学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，从而真正有效地理解和掌握知识。
【教法】
讨论法：在学生进行了自主探索之后，让他们进行合作交流，使他们互相促进、共同学习。
练习法：精心设计随堂变式练习，巩固和提高学生的认知水平
四、课前准备：
⒈材料：每人准备两个全等三角形（非等腰、直角三角形）硬纸板、直尺、三角尺等。
⒉由老师、课代表根据学生不同特长每4人分成一个活动小组。
五、教学过程设计：
教师活动 学生活动 活动设计意图
⒈【情境】：⑴上节课我们探讨了平行四边形的定义和性质及判定1、2，现在来复习一下。⑵结合学生回答，课件显示平行四边形的性质及判定1、2。 [来源:21世纪教育网]学生回顾旧知，然后与同伴交流，请一生回答。 复习平行四边形的定义和性质及判定1、2来创设问题情境，一方面巩固学生的旧知，另一方面使学生知道平行四边形的定义既是性质，又是判定。
2.【动手操作】：现在大家拿出准备好的两个全等三角形，来拼一个平行四边形。 先进行充分想象，然后拼摆平行四边形，并与同伴交流自己的体会。 让学生在在拼摆各种图形的过程中，积累数学活动经验，增强学生的创新意识，培养学生团结协作的精神,并满足他们的好胜心。[来源:21世纪教育网
⒊【探究】：同学们能用文字叙述刚才得出的结论吗？ 通过观察图形，结合课件演示，得出：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 让学生主动从事想象、猜测、观察、实验、验证与交流等数学活动，使学生通过活动体会感受拼法和学习的乐趣，经历从多角度思考问题的过程。
⒋【定理证明】：让学生按照定理画出图形，并写出已知、求证。 通过做练习进一步熟悉掌握平行四边形的判定定理3，达到运用刚学习的知识解决实际问题的目的。
⒌【例题精析】: ［例2］在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF ［补充］在ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在对角线AC上，且OE=OF.(1)OA与OC、OB与OD相等吗？(2)四边形BFDE是平行四边形吗？⑶若点E、F在OA、OC的中点上，你能解决(1)(2)两问吗？ 在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，从而真正有效地理解和掌握知识。 让学生通过观察、思考的活动，在解决问题的过程中，发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯。
6.【随堂练习】:⑴下列两个图形，可以组成平行四边形的是（ ）A.两个等腰三角形B. 两个直角三角形C. 两个锐角三角形D. 两个全等三角形⑵能确定四边形是平行四边形的条件是（ ）A.一组对边平行，另一组对边相等B. 一组对边平行，一组对角相等[来源:21世纪教育网C. 一组对边平行，一组邻角相等D. 一组对边平行，两条对角线相等⑶已知：四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是： （只需填一个你认为正确的条件即可）。 练习：学生首先独立思考一会儿，然后与同伴交流或讨论，最后举手发表自己的见解。 通过随堂练习，使学生的知识水平得到恰当的巩固和提高。
7.【小结】: 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（两组对边分别相等的四边形是平行四边形。） 学生回顾探究的整个过程，体会学习的成果，感受成功的喜悦，产生后继学习的激情。 在这个过程中，要关注学生参与活动的程度和在活动中表现出来的思维水平，还要关注学生能否用不同的语言表达自己的想法。
8.【作业】: [来源:21世纪教育网
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