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5.6 三角形的中位线
【教学目标】
1、了解三角形的中位线的概念
2、了解三角形的中位线的性质
3、探索三角形的中位线的性质的一些简单的应用[21世纪教育网
【教学重点、难点】
重点：三角形的中位线定理21世纪教育网
难点：三角形的中位线定理的证明中添加辅助线的思想方法。21世纪教育网
【教学过程】
（一）创设情景，引入新课
1、如图，为了测量一个池塘的宽BC，在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段AB、AC的中点D、E，若测出DE的长，就可以求出池塘的宽BC，你知道这是为什么吗？
2、动手操作：剪一刀，将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片
（1）如果要求剪得的两张纸片能拼成平行的四边形，剪痕的位置有什么要求？
（2）要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角形做怎样的图形变换？
3、引导学生概括出中位线的概念。
问题：（1）三角形有几条中位线？（2）三角形的中位线与中线有什么区别？
启发学生得出：三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形中线只有一个端点是边中点，另一端点上三角形的一个顶点。
4、猜想：DE与BC的关系？（位置关系与数量关系）
（二）、师生互动，探究新知
1、证明你的猜想
引导学生写出已知，求证，并启发分析。
（已知：⊿ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE∥BC，DE=1/2BC）
启发1：证明直线平行的方法有哪些？（由角的相等或互补得出平行，由平行四边形得出平行等）
启发2：证明线段的倍分的方法有哪些？（截长或补短）
学生分小组讨论，教师巡回指导，经过分析后，师生共同完成推理过程，板书证明过程，强调有其他证法。
证明：如图，以点E为旋转中心，把⊿ADE绕点E，按顺时针方向旋转180゜，得到⊿CFE，则D，E，F同在一直线上，DE=EF，且⊿ADE≌⊿CFE。
∴∠ADE=∠F，AD=CF，
∴AB∥CF。
又∵BD=AD=CF，
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴DF∥BC（根据什么？），
∴DE 1/2BC
2、启发学生归纳定理，并用文字语言表达：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。21世纪教育网
（三）学以致用、落实新知
1、练一练：已知三角形边长分别为6、8、10，顺次连结各边中点所得的三角形周长是多少？
2、想一想：如果⊿ABC的三边长分别为a、b、c，AB、BC、AC各边中点分别为D、E、F，则⊿DEF的周长是多少？
3、例题：已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。21世纪教育网
启发1：由E，F分别是AB，BC的中点，你会联想到什么图形？
启发2：要使EF成为三角的中位线，应如何添加辅助线？应用三角形的中位线定理，能得到什么？你能得出EF∥GH吗？为什么？
证明：如图，连接AC。
∵EF是⊿ABC的中位线，
∴EF 1/2AC（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）。
同理，HG 1/2AC。
∴EF HG。
∴四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）
挑战：顺次连结上题中，所得到的四边形EFGH四边中点得到一个四边形，继续作下去。。。你能得出什么结论？
（四）学生练习，巩固新知
1、请回答引例中的问题（1）
2、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC， BD的中点。求证：∠PNM=∠PMN
（五）小结回顾，反思提高
今天你学到了什么？还有什么困惑？
（六）分层作业
A
M
N
D
P
B
C\C
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5.6 三角形的中位线
教学目标
1、了解三角形的中位线的概念
2、了解三角形的中位线的性质
3、探索三角形的中位线的性质的一些简单的应用
教学重点与难点
重点：三角形的中位线定理。
难点：三角形的中位线定理的证明中添加辅助线的思想方法。
教学过程
1、 创设情境
想一想：如图，为了测量一个池塘的宽AB，小聪想了一个办法：分别在池塘两端A,B引两条直线AC,BC,相交于点C，在BC上选点E,G,，使BE=EG，再分别过E,G作EF∥GH∥AB，交AC于点F,H，测出EF=6,GH=3,如图，此时就可得出结论：池塘的宽度AB=9为你认为他说的对吗？为什么呢？
二、探究新知
试一试：
例题：如图，已知在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。
21世纪教育网
2．若四边形ABCD的面积是6，则四边形EFGH的面积是多少？（3）
归纳：中位线的性质与平行四边形的判定也有着密切的联系
三、迁移拓展21世纪教育网
做一做：如图所示，中，中线BD、CE相交于O，F、G分别为OB、OC的中点。求证：四边形DEFG为平行四边形。21世纪教育网
证明：中，中线BD、CE相交于O，F、G分别为OB、OC的中点，∴DE=FG ,DF∥AB, ∴四边形GFDE是平行四边形.
∵DF与EG互相平分∴四边形GFDE是平行四边形， DG∥EF, ∠GDE=∠FEC, EG∥AC,∴∠GED=∠C,GD=EF, ∴△DGE≌△FEC, ∴DE=EC ∵DF∥AB, ∴ ∠FDC=∠B∴∠GDE=∠FEC,DG=EF ∴△BDG≌△DFE , ∴BD=DE ∴BD=DE=EC.21世纪教育网
四、课堂作业
填空题：
1． △ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，若DE=,则BC=__________
2． 如图△ABC中，为各边的中点，则图中平行四边形共有_________个(3个)
3．如图5-6-4，已知∠A =，AB=10,AC=8,则∠EGF=___________,四边形AEGF的周长是 __________.(,18)
４.已知三角形边长分别为6、8、10，顺次连结各边中点所得的三角形周长是_________(12)
5. 如果△ABC的三边长分别为a、b、c，AB、BC、AC各边中点分别为D、E、F，则△DEF的周长是___________()
选择题：
6．已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是（B ）.
A． 3cm B．26cm C．24cm D．65cm
7．点D,E,F分别边BC,AC,AB的中点，若S△ABC=1.6，则△DEF的面积为(B)
A.0.8 B.0.4 C.6.4 D.3.2
8. 已知三角形三边长的比为４：５：6，三角形的周长是６０cm，求三角形中最短的中位线是（B ）
A . 4cm B. 8cm C . 12 cm D. 6cm
9.以三角形一条中位线和第三边上的中线为对角线的四边形是（B）
A. 两组邻边分别相等的四边形
B. 平行四边形.
C.有一个角是直角的四边形
D.对角互补的四边形
解答题：如图，在四边形ABCD中，AD=DC,P是对角线BD的中点，M,N分别是AD,BC的中点求证：是△PMN等腰三角形.
证明：在四边形ABCD中，AD=BC,P是对角线BD的中点，∴NP=AB∵M,N分别是AB,DC的中点, ∴MP=DC∴△PMN等腰三角形.
五、课时小结
１.中位线的性质定理
⑴定理为证明平行关系提供了新的工具
⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或 1/2提供了一个新的途径
六、课后作业
填空题：
（1）顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是______。(平行四边形)
（2）顺次连结矩形各边中点所得图形是______。(平行四边形)
（3）顺次连结等腰梯形各边中点所得的图形是______. (平行四边形)
（4）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的图形是_____。(平行四边形)
（5）顺次连结菱形各边中点所得的图形是_______。(平行四边形)
（6）顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的图形是____。(平行四边形)
（7）顺次连结正方形各边中点所得的图形是______。(正方形)
（8）一个任意四边形的两条对角线的长分别为a和b，顺次连接这个四边形四边的中点，得到的四边形的周长是c则c＝__________（a+b）
（9）如图，点D,E,F分别是△ABC(AB﹥AC)各边的中点，请写出一个正确的结论如 _____________________EF=BC，EF与AD互相平分，△DEF的周长是△ABC的周长的.
解答题
1．已知△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶2∶4，△ABC的周长为24厘米，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，求△DEF的周长．(12)
2.已知：在△ABC中，AB＞AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，BG∥DE交FD的延长线于G．求证：AB=GF．[来源:21世纪教育网]
证明：∵D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，∴四边形AEDF是平行四边形，∴DF=AE∴DF∥AB, 即DG∥BE ,∵BG∥DE交FD的延长线于G,∴四边形BGDE 是平行四边形。∴BE=DG, ∴AB=GF．
3.已知，如图在四边形ABCD中E,F,G,H分别是BD,AB,AC,CD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形
证明：在四边形ABCD中E,F,G,H分别是BD,AB,AC,CD的中点，∴FG∥EH,且 FG=EH, ∴FE∥GH,且 FE=GH,∴四边形EFGH是平行四边形
探究创新：
已知任意的四边形ABCD,点E,F,G,H,P，Q，分别是AB,BC,AD,AC,BD的中点
（1） 四边形ABCD如图判断下列结论是否正确：
A:顺次连接EF,FG,GH,HE，四边形HEFG是平行四边形；
B:顺次连接EQ，QG,GP,PE,四边形GPEQ是平行四边形；（对）
（2） 请选择A,B中的一个，证明你对他的判断
（3） 若四边形请你判断中的两个结论是否仍成立，并说明理由
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