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§5、1 多边形（3）
教学目标：
1、知识技能：学生通过自主实践与探索，了解正多边形的概念，发现并理解用一种或两种正多边形能够镶嵌的规律；
2、数学思考：通过学生欣赏图片、动手拼、动脑想、相互交流、展示成果等活动，引导学生解决使用一种或两种正多边形镶嵌的问题，让学生理解正多边形镶嵌的原理；
3、解决问题：用一种或两种正多边形能够镶嵌需满足哪些条件？会运用正多边形进行简单的平面镶嵌设计；
4、情感态度：关注学生的情感体验，让学生在充分感受到数学美的同时，认识到数学来源于生活并应用于生活．让学生在数学实验过程中体验合作与成功的喜悦，增强学生对数学的好奇心和求知欲。
教学重点和难点：
本节的教学重点是利用学生的实践操作或感官感受，探究用一种或两种正多边形镶嵌的方法和规律。本节的教学难点是学生通过数学实验操作发现用正多边形能够镶嵌的规律。
教学设想：
在本节的教学中，主要是让学生体会正多边形在图案设计中的作用和设计的原理。因此在教学中先利用几个实例（美丽图案），让学生体会多边形图案在日常生活中的应用与美观。以感官的直接感受来让学生获得学习的兴趣和乐趣。然后通过与学生的一起设计，经历图案的设计过程，然后结合“正三角形、正方形、正六边形能单独拼成平面而其他的正多边形却不能“的问题，一步步地引导学生在探索中深入，从探求正多边形的（内）角度的计算，到平面镶嵌的原理，寻求解答和思路，形成正确的思维方式。再者，由于在七上时已经初步学习过想念前的知识，已具备简单的进行镶嵌的基础，因此本科的教学主要结合学生的能力进行合理的设计，以发挥学生的主动性和积极性为出发点进行教学。
教学流程设计：
一、欣赏美丽图案，增加感官刺激，强化学习欲望：
创设问题的情境，激发学习欲望。
１、图片欣赏
①一些生活中的图片，如图：
②从镶嵌艺术作品到一些生活墙壁中的、地板铺设图案。
仔细观察上面的这一些好漂亮的地板或地砖!他们是怎么铺设的 怎么会一点空隙也没有？这中间包含怎样的数学道理？
２、交流讨论：
学生直观感受数学美的同时，引导学生思考：这些图案都是由哪些基本的平面图形构成的？（正三角形、正方形、正五边形、正六边形）学生细心观察后发现，图案中的平面图形有的规则，有的不规则；有的用一种多边形拼成，有的用多种多边形拼成，并以此来培养学生分类的思想。
３、感知概念
讨论这些图形拼成一个平面的共同特征，注意到各图形之间没有空隙，也没有重叠（这也是进行平面镶嵌的主要条件）。在充分交流的基础上，结合学生在七下所学的知识，让学生用自己的语言概括或叙述镶嵌的概念（象这种既无缝隙又不重叠的铺法，我们称为平面的镶嵌）。如下图中的图案：
４、提出问题、指向学习中心：
问题：如果让你们设计几种地板图案，需要解决什么问题？
学生小组合作探索，研究需要探讨的问题。
教师预设：可能列举的典型问题如下：
(1) 怎样铺设可以不留空隙，也不相互重叠？
(2) 可以用哪些图形？
(3) 用前面所学的正多边形能否拼成一个平面图形？
(4) 哪些正多边形可以镶嵌成一个平面，哪些不能？
今天我们要研究的就是一些简单的镶嵌问题。
二、图形概括，介绍正多边形的概念：
正三角形、正方形、正六边形是我们熟悉的特殊多边形。这些图形中的边与角分别有什么共同的特征？
正三角形 正方形 正六边形 正五边形 正七边形 正八边形
我们把各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形。边数为五、七、八的正多边形分别是正五边形、正七边形和正八边形。
思考：(1)三边都相等的三角形就是正三角形吗
(2)四边都相等的四边形就是正方形吗
(3)四个角都相等的四边形就是正方形吗
练习：
1、求正五边形、正六边形、正七边形的各个内角度数。60 、90 、108 、120 。
2、正五边形、正七边形、正七八边形都是轴对称图形吗？各有几条对称轴？
——正多边形的边数与对称轴数相等（奇偶数边形的图形上有区别）。
三、探求平面镶嵌的规律，寻找解决问题的方法：
探索仅用一种多边形镶嵌，哪些正多边形可以镶嵌成一个片面图案．21世纪教育网
1、动手实验：全班分成六个学习小组，拿出课前准备好的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形，进行单独一种的平面镶嵌并派代表在投影仪上展示他们的成果。
教师预设：可以有以下的一些思路：
等。
2、收集数据：根据刚才的动手实验，引导学生收集数据，观察结果。
3、分析数据：引导学生分析收集的数据，并寻找其中的规律。
4、实验思考：让学生思考为什么有的正多边形能进行镶嵌，而有的正多边形不能？用一种正多边形镶嵌需要满足什么条件呢？
5、得出结论：
学生根据自己实验的结果，不难得出结论：
（1）正三角形、正四边形、正六边形能够镶嵌，正五边形不能镶嵌．
（2）用一种正多边形镶嵌，则这个正多边形的内角度数能整除360°．
6、延伸拓展：
如果用一种多边形进行镶嵌时不采用正多边形，而改为任意多边形，有没有这样的多边形？有，请指出，并说明理由．
结论：有，分别是三角形、四边形，但三角形、四边形各自应形状、大小完全相同．
理由：三角形、四边形的内角和均能整除360°．
三、平面图形镶嵌的延伸拓展：
要求：用两种或多种正多边形进行平面镶嵌的探究。
1、质疑：用两种正多边形镶嵌需满足什么条件？
2、猜想：对于正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形，哪两种正多边形能进行镶嵌？
3、操作：学生拿出课前准备好的这些正多边形，仍然以小组为单位进行拼图，看哪些能用来搭配镶嵌成一个平面并进行一定的记录。[21世纪教育网
4、结果：21世纪教育网
(1) ３个正三角形与２个正四边形 60°×3+90°×2=360°
(2) ２个正三角形与２个正六边形 60°×2+120°×2=360°
(3) 4个正三角形与1个正六边形 60°×4+120°×1=360°
(4) １个正四边形与２个正八边形 90°×1+135°×2=360°
……
5、结论：一般地，多边形能镶嵌成平面图案需要满足的条件：
（1）拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°(周角)；
（2）相邻的多边形有公共边．
6、延伸：用三种或多种多边形能否进行镶嵌，若能，又需满足什么条件？
四、小结梳理：
（1）结合本课的学习，请学生谈谈本节课的收获和体会．
（2）具体的知识或
五、作业布置：
（1）见作业本（1） ；
（2）设计一幅正多边形镶嵌的平面图案．
[21世纪教育网
阅读材料：
用正多边形进行平面镶嵌只有以下这 17 组解
有书记载说明这 17 组解是 1924 年一个叫波尔亚的人给出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。
[来源:21世纪教育网
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§5.1 多边形（2）
教学目标：
1、探索任意多边形的内角和，体验归纳发现规律的思想方法；
2、掌握多边形内角和的计算公式及外角和等于360°；
3、会用多边形的内角和与外角和的性质解决简单几何问题。
教学重点和难点：
重点：本节教学的重点是任意多边形的内角和公式；
难点：例2的解题思路不易形成，是本节教学的难点。
教学设想：
考虑到如何更直观、形象地突破教学重、难点，增大课堂容量，提高课堂效率，采用了多媒体辅助教学。叶圣陶说“教是为了不教”，也就是我们传授给学生的不只是知识内容，更重要的是指导学生一些数学的学习方法。在分析理解性质的证明过程时，加强师生的双边活动，提高学生分析问题、解决问题的能力。通过例题、练习，让学生总结解决问题的方法，以培养学生良好的学习习惯。
教学过程设计：
一、创设情境，导入新课：
展示图片，增加学生的感官感受。上图中美国五角大楼的边缘是一个边数为5的多边形——五边形。如下图中的花边，则主要是由八边形图案组成。又如：我们知道边数为3的多边形——三角形，边数为4的多边形——四边形，……边数为n的多边形——n边形(n≥3)。
多边形定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的图形。
让学生例举多边形在生活中的实例。（对于学生而言，他们所能举的例子通常是四边形或六边形<地砖>，很少会想到如蜂巢为六边形，亭子则有八边形和六边形，工艺品则有多种多边形的组合等，教师应该事先加以注意，并在学生的回答中适当地加以引导。也可以结合一些实例向学生展示，增加学生对于了解日常生活中多边形的应用的意识和认识。）如：
连结多边形不相邻两顶点的线段叫做多边形的对角线（这是解决多边形问题的常用辅助线）。——解决多边形的问题，就是将它转化为三角形或四边形。如图：
二、合作交流，探究新知
（1）你能设法求出这个五边形的五个内角和吗？先启发学生回顾四边形的内角和及推理方法，下面可用连结对角线这同样的方法把多边形划分成若干个三角形来完成书本第96页的合作学习。
边数21世纪教育网 图形 从某顶点出发的对角线条数 划分成的三角形个数 多边形的内角和
3 0 1 1×180° =180°
4 1 2 2×180° =360°
5 2 3 3×180° =540°
6 3 4 4×180° =720°
… … … … …
n n-3 n-2 (n-2)×180°
（2）再启发学生观察所能划分成的三角形个数与边数n有关。
（3)结论：n边形的内角和为（n－2）×180°(n≥3)。
（4）清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过一个角，他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？即在此图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？
主要利用的是①可以利用五边形的外角和来计算；
②可以应用转身的角度（一周）来思考。
（5）先启发学生回顾四边形的外角和及推理方法，由学生自己完成推论：任何多边形的外角和为360 。
多边形的外角和
三、应用新知，体验成功
（1）判断：
一个多边形中，锐角最多只能有三个。（ ）
一个多边形的内角和等于1080°，则它的边数为8。 （ ）
（2）完成书本第97页的课内练习1。2。
四、掌握思维方法，例题讲解
例、一个六边形如图。已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。
因本题中学生的思考思路通常不容易形成，可以作适当的教师启发：先观察图形，发现六边形的内角之间可能存在什么关系，设法用推理的方法予以证明；再结合已知平行线的性质并通过尝试添加辅助线(连结对角线)，转化思想的应用，找到解题的途径。21世纪教育网
方法一方法二
解：连结AD，如图一
∵AB∥DE， CD∥AF（已知）
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）
∴∠1+∠3＝∠2+∠4即∠FAB＝∠CDE，同理∠B＝∠E，∠C＝∠F
∵∠FAB＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F=（6－2）×180°=720°
∴∠FAB＋∠C＋∠E= 1／2 ×720°=360°
引导学生一题多解，把多边形的问题转化到三角形中去解决。可向两个方向分别延长AB，CD，EF三条边，构成△PQR。（如图二）
∵ CD∥AF∴∠1=∠R，同理∠2=∠R
∴∠1＝∠2，∴∠AFE=∠DCB
同理∠FAB＝∠CDE，∠ABC=∠DEF
∵∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE＋∠DEF＋∠AFE=（6-2）×180°=720°
∴∠FAB＋∠BCD＋∠DEF= 1／2 ×720°=360°
本题对于学生而言，主要是没有或很少接触此类问题的时机，因此学生的思路通常很有局限性，在解决问题之后，可以培养学生进行合适的题后小结，尤其是寻找解题途径的思路，或解题中常用的转化方法——利用对角线将多边形转化为三角形或四边形等比较熟悉的问题来解决（可在内部，也可向外拓展）。21世纪教育网
5、深化知识，培养能力21世纪教育网
（1）一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是几边形？
（2）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
（3）有一个n边形的内角和与外角和之比为9：2，求n边形的边数。
（4）铺地板的六角砖内角和是多少度？
（5）公园里的八角亭的内角和是多少度
（6）十边形的内角和是多少？外角和呢
（7）若一个n边形内角和是1800° ，则n=
（8）n边形的每个内角都等于120°，则n=
（9）n边形的每个外角都等于72°，则n=
（10）一个内角和为1620°的多边形有多少条对角线 21世纪教育网
（11）五边形ABCDE中，若∠A=∠D=90o，且∠B：∠C：∠E=3：2：4，则∠C的度数为_____
（12）完成书本第98页的作业题4。
6、小结内容，自我反馈
学生自由发言：这节课学了什么？（师小结提问：学了什么？有什么规律？有什么常用方法？）
7、作业布置
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§5.1 多边形（1）
教学目标：
1、理解四边形的有关概念；
2、掌握四边形内角和定理及外角和定理的证明及简单应用；
3、体验把四边形问题转化为三角形问题来解决的化归思想。21世纪教育网
教学重点和难点：
重点：四边形内角和定理。
难点：由于四边形内角和定理的证明思路学生不易形成，是数学转化思想的应用，是本节教学的难点。
教学设想：四边形是学生在日常生活中接触得比较多的图形，但学生对于四边形的性质的推理和在日常生活中的应用等却存在。
教学过程设计：21世纪教育网
一、章节引入：
目前，整个社会的经济有了很大发展，许多家庭的地面都铺上了地砖、木板，不知同学们有没有仔细看过这些地砖的图形是如何构造，它们有什么特征。这一章我们将学习多边形的有关性质。在小学已经对四边形的知识有所了解，今天我们将更系统的学习它的性质，并运用性质解决一些新问题。
二、讲解新课
1、生活中的四边形寻找：
小明家有一间木材加工场，发现有很多余料，你能从图中找出你所熟悉的图形吗
2、生活中的四边形举例，如图：
等。
3、四边形及其有关概念。21世纪教育网
在同一个平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接形成的图形。结合图形讲解四边形、四边形的边、顶点、角。强调四边形的表示方法，一定要按顶点顺序书写。如图，可表示为四边形ABCD或四边形ADCB。
4、适当解释空间四边形和凸四边形与凹四边形（结合下图）的概念和区别：
凸四边形：四边形的各条边都在任意一条边所在直线的同一侧。
凹四边形：四边形的各条边不都在任意一条边所在直线的同一侧。
5、四边形内角和定理
（1）让学生在一张纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼在一起（四个角的顶点重合）。或让学生利用拼图的方法（如图），通过实验、观察、猜想得到：四边形的内角和为3600 。
或
让学生根据猜想得到的命题，画图、写出已知、求证。
（2）利用手中的一副三角板拼出四边形。
已知：四边形ABCD；求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°。
证明：连结BD
∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，∠C+∠CBD+∠CDB=180°（ ）
∴∠A+∠ABD+∠ADB+∠C+∠CBD+∠CDB=180°+180°
即：∠A+∠ABC+∠C+∠CDA=360°
由于学生有前面的铺垫，添辅助线对于学生来说并不难，因此本题在解决中要注意采用多种思维的思考，及题后的小结，当然对这个命题的证明，也可作如下启发或小结：
①我们已经知道哪一种图形的内角和？内角和为多少？②能否把问题化归为三角形来解决？这样可以使学生对证明思路的转化更有体会。
（3）学生小组合作探讨出其他至少两种方法：
要求有恰当的图形，并简单地叙述解答的思路。
（以上的8种方法均为学生探讨所得(预设)，教师只做适当补充）
6、推导四边形的外角和定理
在图（2）中分别画出以A、B、C、D为顶点的一个外角，记作∠2，∠3，∠4，并求∠1+∠2+∠3+∠4的值。
猜想并证明四边形的四个外角和等于360°。
解：∵∠1+∠α=∠2+∠β=∠3+∠γ=∠4+∠δ=180°
∴∠1+∠α+∠2+∠β+∠3+∠γ+∠4+∠δ=4×180°=720°
即：(∠1+∠2+∠3+∠4)+(∠α+∠β+∠γ+∠δ)=720°
∵∠α+∠β+∠γ+∠δ=360°(根据四边形的内角和是360°)
∴∠1+∠2+∠3+∠4=720°－360°=360°
7、训练与巩固：
1、清晨，小明沿着一个四边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。（１）小明每从一条小路转到下一条小路时，身体转过的角是哪个角？（２）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
2、四边形中有三个角分别为72 、89 、65 ，则第四个角的度数为______。
3、一个四边形的四个内角之比为1：2：3：4．求四个内角的度数。
4、四边形最多有________个直角？最多有_____个钝角？
5、已知四边形的三个内角的度数如图所示，则∠1的度数是___度。
6、四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=4：2：3，∠D=720，则其中最大角的度数是_____度。最小角的度数是_____度。
7、如果四边形的四个内角都相等，那么这四个角都为 度 。
8、内角和等于外角和的多边形是 。
9、在四边形中∠A ， ∠B ，∠C ，∠D的度数之比为1：2：3：4，则 ∠A = ， ∠B = ， ∠C = ，∠D= 。
10、如图：求∠β的度数
解：∠β的外角为（180 -∠β） ∵ （180°-∠β）+30 +110 +85 =360 （四边形的外角和等于360 ） ∴∠β=45 °[来源:21世纪教育网]
11、已知：如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E+ ∠F 的度数。
解： 设DE，BC交于点O 连结BE
∵∠ C+∠D+∠COD=∠OBE+∠BEO+∠EOB=180°，且∠COD=∠EOB ∴ ∠C+∠D=∠OBE+∠BEO，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=∠A+∠ABC+∠OBE+∠BEO+∠DEF+∠F =∠A+∠ABE+ ∠BEF+∠F=360°
12、已知四边形ABCD中，∠A与∠C互补．如果∠B＝80°，求∠D的度数．
13、在四边形ABCD中，∠B=80°，∠A、∠C、∠D的度数比为2∶3∶5，则∠A=______度，∠C=______度，∠D=______度。
14、四边形ABCD中，∠A与∠B互补，则AD与BC的位置关系是__________。
15、如图，一块钉板上水平方向和垂直方向相邻两钉距离都是一个单位，橡皮筋构成一个四边形，那么它的面积为 ( )
A。 5。5 B。 6 C。 6。5 D。 7。5
8、例题讲解：
例1、如图，四边形风筝的四个内角∠A， ∠B， ∠C，∠D的度数之比为1：1：0。6：1 。 求它的四个内角的度数。
分析：有了前面练习的经验，对于学生而言，本例的解答应该不成困难，所以可以放手让学生自行解决，教师只需要注意学生在解答中的不足及对学生能够进行恰当的小结即可。
解：∵∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比为1：1：0。6：1，∴可设∠A=x，则∠B=∠D= x，∠C=0。6 x；又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴x+ x+ 0。6x+ x=360°，∴x=100
∴∠A=∠B=∠D=100°∠C=100×0。6 =60°
注意：本例在知识上主要是两个方面的应用，①四边形的内角和，②比例的转化。
例2、在四边形ABCD中，已知∠A与∠C互补，∠B比∠D大15°，求∠B、∠D的度数。
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠A+∠C=180°
∴∠B+∠D=180°① 又∵∠B－∠D=15°②
由①、②得∠B=97。5°，∠D=82。5°
注意：当四边形的四个内角中有两个角互补时，另两个角也互补。这个结论也可让学生记一记。
四、小结：
1、四边形的概念。通过与三角形的类比，得到四边形了有关概念。
2、四边形的内角和定理与四边形外角和定理：
四边形的内角和等于360°，外角和也等于360°。
3、把四边形的问题转化成三角形问题来求，数学常用的化归思想。把四边形问题转化为三角形进行讨论，体现了转化的思想，即把未知转化为已知，把复杂转化为简单。这是我们研究知识解决问题的一种重要方法。[21世纪教育网
4、作四边形的对角线，是研究四边形的常用辅助线之一。
五、布置作业：
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