动态问题---点动是源泉(2009数学)

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动态问题---点动是源泉
河北省怀来县桑园中学（075441） 古金龙
动态问题一般是指几何图形的运动，包括点动（点在线或弧上运动）、线动（线的平移、对称、旋转）、面动（平面几何图形的平移、对称（翻折）、旋转）。这类问题具有灵活性，多变性，融入三角形，四边形，圆，甚至函数图象，综合运用全等知识，相似知识，三角函数，勾股定理等知识；同时运动产生变量，又和函数联系起来，利用一次函数、二次函数性质解释动态问题。数形结合的升华部分就在此。
但万物皆有源，几何以点为源泉，无数个点可以形成各种图形，所以图形的运动其实是无数个点的运动。点动带动图形动，图形动引起点的位置发生变化，相辅相成，变化无穷，但万变不离其中，解决问题要抓住一些关键点即可，现举例说明：
一、双点动回归单点动
点动包括单动点型、双动点型，其中双动点型在中考里常见的，两点速度可以是同速、异速，方向随图形形状而有所要求。
例1 （09浙江丽水）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.
(1)填空：菱形ABCD的边长是 、面积是 、高BE的长是 ；
(2)探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值.
解析：此题P点限定在一条线段上，而Q点是在折线上运动，由此注意分类。（2）①中重新限定了Q点在线段上，所以只需求出三角形高（用相似知识）即可；②中Q点的速度是变量，且运动路线分段，故需分类讨论，解决这一问还需知道两个三角形能组成菱形，则此三角形必是等腰三角形。
解：（1）5 , 24,
（2）①由题意，得AP=t，AQ=10-2t.
如图1,过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得
△AQG∽△ABE,∴,
∴QG=,
∴(≤t≤5).
∵(≤t≤5).
∴当t=时，S最大值为6.
② 要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ为等腰三角形即可.
当t=4秒时，∵点P的速度为每秒1个单位，∴AP=.以下分两种情况讨论:
第一种情况：当点Q在CB上时, ∵PQ≥BE>PA，∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P.
如图2,过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点
F,则AM=.由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得
, ∴,
∴.
∴CQ1==.则, ∴ .
第二种情况：当点Q在BA上时,存在两点Q2,Q3,
分别使AP= AQ2,PA=PQ3.
①若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6.
则,∴.
②若PA=PQ3，如图4,过点P作PN⊥AB，垂足为N，
由△ANP∽△AEB,得.
∵AE= , ∴AN＝.
∴AQ3=2AN=, ∴BC+BQ3=10-
则.∴.
综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ
沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为或或.
说明：由此题看出双动点问题可以转化为单动点问题来解决，逐个攻破，动中找静，假设一点符合条件，描出此点就此处解决。
二、点动引起线动
线的运动其实是直线或线段与几何图形的交点不断发生变化，在前几年考查上很单一，近几年中考命题上有所突破。
（09河北）如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．
解析：此题需弄清楚双点运动的路线及方向，且射线DE的产生
过程。想象出整个运动中各个图形位置关系变化的时段，运用相
似、勾股定理建立函数、方程（等式），当然分类思想必不可少。
解：（1）1，；
（2）作QF⊥AC于点F，如图5， AQ = CP= t，∴．
由△AQF∽△ABC，，
得．∴．
∴，
即．
（3）能．
①当DE∥QB时，如图6．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC，得，
即． 解得．
②如图7，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ =90°．
由△AQP ∽△ABC，得 ，
即． 解得．
（4）或．
【注：①点P由C向A运动，DE经过点C．
方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图8．
，．
由，得，解得．
方法二、由，得，进而可得
，得，∴．∴．
②点P由A向C运动，DE经过点C，如图9．
，】
说明：此题一改过去点的运动方式（单向单程），变为双向且往返；另外此题最大亮点是两个点的运动带动了射线的运动（不是线的平移）。探求问题时，按要求画图找到DE位置（动中找静），利用相似三角形判定、性质，直角梯形、线段垂直平分线性质求解。考查了综合能力。
三、点动带动面动
例1 设边长为2的正方形的中心A在直线上，它的一组对边垂直于直线，半径为的⊙O的圆心O在直线上运动，点A、O间距离为。
（1）如图10，当＜时，根据、之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：
、、之间关系 公共点个数
＞+
=+
＜＜+
=
＜
所以，当＜时，⊙O与正方形的公共点个数可能有 个；
（2）如图11，当时，根据、之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：
、、之间关系 公共点个数
＞+
=+
≤＜+
＜
所以，当=时，⊙O与正方形的公共点个数可能有 个；
（3）如图12，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明；
（4）就＞的情形，请你仿照“当······时，⊙O与正方形的公共点个数可能有 个”的形式，至少给出一个关于⊙O与正方形的公共点个数的正确结论。
解析：此题很象学过的圆和圆位置关系的探索，（1）（2）问按要求动手画一画即可出答案，思维活跃同学，能够想象出来。（3）问借助几何知识，利用等式关系求解，（4）问的思维含量较高考虑要全面（通过半径变化产生分类）。
解：（1）
、、之间关系 公共点个数
＞+ 0
=+ 1
＜＜+ 2
= 1
＜ 0
所以，当＜时，⊙O与正方形的公共点个数可能有 0、1、2 个；
（2）
、、之间关系 公共点个数
＞+ 0
=+ 1
≤＜+ 2
＜ 4
所以，当=时，⊙O与正方形的公共点个数可能有 0、1、2、4 个；
（3）如图所示，连接OC.则OE=OC=，
OF=EF-OE=。
在Rt△OCF中，由勾股定理得，OF2+FC2=OC2即.整理解得。
（4）①当＜＜时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；
②当时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；
③当＜＜时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；
④=时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个。
说明：本题看似圆动，其实是圆心（点）的位置发生变化，圆位置也随之变化。此题难点是圆的半径也变化。讨论公共交点个数时，依两点（O、A点）距离大小画出静态图的情况进行分类。
由以上看出，不论双点运动，还是线、面运动，终归是点的运动。这是解决动态问题的万能钥匙，动中找静是解决动态问题的必由之路，找到关键点是解决动态问题的风向标。同时应用分类思想，转化思想，方程思想。将几何问题化归代数的数量关系，全方位了解运动过程、位置变化情况。另外通过以上几例我们也看出，要想完成动态问题，必须有扎实的基础（知识全面且运用熟练），更要有良好的心态。
A
C
B
P
Q
E
D
图5
A
C
B
P
Q
E
D
图6
A
C
B
P
Q
E
D
图7
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图8
G
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图9
G
图10
图11
图12
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