2.3二次函数的性质
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2.3二次函数的性质
教学目标: 1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.
2.了解二次函数与二次方程的相互关系.
3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性
教学重点:二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法.
教学难点:二次函数的性质的应用.
教学过程:
1. 课前热身
(1)抛物线 y=1/2x2+2x+1的顶点坐标是 , 对称轴是 .
(2)抛物线 y= -1/4x2+x-2的顶点坐标是 , 对称轴是 .
(3)抛物线 y= ax2+bx+c的顶点坐标是 , 对称轴是 .
二,新课教学:
（一）探索增减性与最值
１.新知探索
根据右边已画好的函数图象填空： y=1/2x2+2x+1
(1) 抛物线y=1/2x2+2x+1，当自变量X增大时，函数值y将怎样变化？
先减小，后增大.
当x 时,y随着x的增大而减小
当x 时,y随着x的增大而增大.
(2) 抛物线y= -1/4x2+x-2，当自变量X增大时，函数值y将怎样变化？
先增大，后减小.
当x 时,y随着x的增大而增大 y= -1/4x2+x-2
当x 时,y随着x的增大而减小
思考：二次函数的增减性由什么确定的
根据右边已画好的函数图象填空：
（1)抛物线y=1/2x2+2x+1 的顶点是图象的最 点。该函数有没有最大值和最小值？
当x=____时,y有最___值=______
(2)抛物线y= -1/4x2+x-2 的顶点是图象的最 点。该函数有没有最大值和最小值？
当x=____时,y有最___值=______
思考：函数最大值或最小值由什么确定的？
2.新知归纳
条件 图象 增减性 最大(小)值
a>0
a<0
3新知运用
1、关于二次函数 y=-（x-2）2-1，下列叙述正确的是（ ）
A当X=2时，y有最大值-1 B当X=-2时，y有最大值-1
C当X=2时，y有最小值-1 D当X=-2时，y有最小值-1
2、已知（-1，y1） ,（-2，y2）, （-4，y3）是抛物线
y=-2（x-2）2+m上的点，则（ ）
A y1＜y2 ＜ y3 B y3 ＜ y2 ＜ y1
C y2＞y1 ＞ y3 D y2 ＞ y3 ＞ y1
变式训练：已知（5，y1） ,（-2，y2）, （-4，y3）是
抛物线y=-2（x-2）2+m上的点，则（ ）
A y1＜y2 ＜ y3 B y3 ＜ y2 ＜ y1
C y2＞y1 ＞ y3 D y2 ＞ y3 ＞ y1
（二）探索二次函数与一元二次方程
1新知探索
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根 验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
2新知归纳:
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点,
②有一个交点,
③没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当b2-4ac﹥0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax2+bx+c的两个根x1与 x2；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2-4ac﹤0时，抛物线与x轴没有交点。
若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点标分别是A（ x1，0），B（x2,0）
3新知运用
已知函数
（１）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；
(2)自变量x在什么范围内时， y随着x的增大而增大？何时y随着x的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值。
(3)求图象与坐标轴交点构成的三角形 的面积：
（4）根据第（１）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时， ① y=0; ② y<0; ③ y>0.
（三）.性质综合提高:
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则a、b、c的符号为__________.
2、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，下列结论中：
⑴abc＞ 0 ⑵ 方程ax2+bx+c =0的根是x1=1,x2=-3
⑶ a+b+c﹤0 ⑷当x＞-1时,y随x的增大而增大
其中正确的结论有（ ）
（四）学习感想：
学生谈这节课的收获是什么？疑惑是什么？
教师总结：二次函数图像与性质口诀
二次函数抛物线， 图象对称是关键；
开口、顶点和交点, 它们确定图象显；
开口、大小由a断, c与Y轴来相见,
b的符号较特别， 符号与a相关联；
顶点位置先找见， Y轴作为参考线，
左同右异中为0， 牢记心中莫混乱；
顶点坐标最重要, 一般式配方它就现，
横标即为对称轴, 纵标函数最值见。
（五）作业：见作业本
教学反思：
1.教学中，根据函数的图象根据图象引导学生怎样去观察图象，从图象得出其性质，也是必须要掌握的， 注重培养学生的观察能力和分析能力，让学生感悟数形结合的数学思想。大多数同学都掌握得较好。
2.根据教材和初三学生依赖于具体直观形象的特点，我先用启发式教学，通过画图、看图、分析图、列表对比、抽象概括、运用巩固进行教学。
3.整节课以学生为主导，鼓励人人动脑，教师适当点评和归纳，问题设计层层深入，学生容易掌握。
4.课堂中，遗憾是没有热闹的气氛，没有相互争论的碰撞，没有你说我说大家说的个性发言。
X
Y
O
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
-1
-2
-3
-4
-5
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
y
x
o
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2.3二次函数的性质
教学目标: 1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.
2.了解二次函数与二次方程的相互关系.
3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性
教学重点:二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法.
教学难点:二次函数的性质的应用.
教学过程:
1. 课前热身
(1)抛物线 y=1/2x2+2x+1的顶点坐标是 , 对称轴是 .
(2)抛物线 y= -1/4x2+x-2的顶点坐标是 , 对称轴是 .
(3)抛物线 y= ax2+bx+c的顶点坐标是 , 对称轴是 .
二,新课教学:
（一）探索增减性与最值
１.新知探索
根据右边已画好的函数图象填空： y=1/2x2+2x+1
(1) 抛物线y=1/2x2+2x+1，当自变量X增大时，函数值y将怎样变化？
先减小，后增大.
当x 时,y随着x的增大而减小
当x 时,y随着x的增大而增大.
(2) 抛物线y= -1/4x2+x-2，当自变量X增大时，函数值y将怎样变化？
先增大，后减小.
当x 时,y随着x的增大而增大 y= -1/4x2+x-2
当x 时,y随着x的增大而减小
思考：二次函数的增减性由什么确定的
根据右边已画好的函数图象填空：
（1)抛物线y=1/2x2+2x+1 的顶点是图象的最 点。该函数有没有最大值和最小值？
当x=____时,y有最___值=______
(2)抛物线y= -1/4x2+x-2 的顶点是图象的最 点。该函数有没有最大值和最小值？
当x=____时,y有最___值=______
思考：函数最大值或最小值由什么确定的？
2.新知归纳
条件 图象 增减性 最大(小)值
a>0
a<0
3新知运用
1、关于二次函数 y=-（x-2）2-1，下列叙述正确的是（ ）
A当X=2时，y有最大值-1 B当X=-2时，y有最大值-1
C当X=2时，y有最小值-1 D当X=-2时，y有最小值-1
2、已知（-1，y1） ,（-2，y2）, （-4，y3）是抛物线
y=-2（x-2）2+m上的点，则（ ）
A y1＜y2 ＜ y3 B y3 ＜ y2 ＜ y1
C y2＞y1 ＞ y3 D y2 ＞ y3 ＞ y1
变式训练：已知（5，y1） ,（-2，y2）, （-4，y3）是
抛物线y=-2（x-2）2+m上的点，则（ ）
A y1＜y2 ＜ y3 B y3 ＜ y2 ＜ y1
C y2＞y1 ＞ y3 D y2 ＞ y3 ＞ y1
（二）探索二次函数与一元二次方程
1新知探索
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根 验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
2新知归纳:
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点,
②有一个交点,
③没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当b2-4ac﹥0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax2+bx+c的两个根x1与 x2；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2-4ac﹤0时，抛物线与x轴没有交点。
若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点标分别是A（ x1，0），B（x2,0）
3新知运用
已知函数
（１）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；
(2)自变量x在什么范围内时， y随着x的增大而增大？何时y随着x的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值。
(3)求图象与坐标轴交点构成的三角形 的面积：
（4）根据第（１）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时， ① y=0; ② y<0; ③ y>0.
（三）.性质综合提高:
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则a、b、c的符号为__________.
2、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，下列结论中：
⑴abc＞ 0 ⑵ 方程ax2+bx+c =0的根是x1=1,x2=-3
⑶ a+b+c﹤0 ⑷当x＞-1时,y随x的增大而增大
其中正确的结论有（ ）
（四）学习感想：
学生谈这节课的收获是什么？疑惑是什么？
教师总结：二次函数图像与性质口诀
二次函数抛物线， 图象对称是关键；
开口、顶点和交点, 它们确定图象显；
开口、大小由a断, c与Y轴来相见,
b的符号较特别， 符号与a相关联；
顶点位置先找见， Y轴作为参考线，
左同右异中为0， 牢记心中莫混乱；
顶点坐标最重要, 一般式配方它就现，
横标即为对称轴, 纵标函数最值见。
（五）作业：见作业本
教学反思：
1.教学中，根据函数的图象根据图象引导学生怎样去观察图象，从图象得出其性质，也是必须要掌握的， 注重培养学生的观察能力和分析能力，让学生感悟数形结合的数学思想。大多数同学都掌握得较好。
2.根据教材和初三学生依赖于具体直观形象的特点，我先用启发式教学，通过画图、看图、分析图、列表对比、抽象概括、运用巩固进行教学。
3.整节课以学生为主导，鼓励人人动脑，教师适当点评和归纳，问题设计层层深入，学生容易掌握。
4.课堂中，遗憾是没有热闹的气氛，没有相互争论的碰撞，没有你说我说大家说的个性发言。
X
Y
O
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
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-3
-4
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-1
-2
-3
-4
-5
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x
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x
o
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