课件21张PPT。新浙教版数学九年级（上）3.3 垂径定理（1）点与圆的位置关系点在圆外这个点到圆心的距离大于半径 点在圆上点在圆内这个点到圆心的距离等于半径 这个点到圆心的距离小于半径 复习旧知、掌握新知圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.请观察下列三个银行标志有何共同点?复习旧知、掌握新知(1)圆是轴对称图形吗？(2)如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.如图，AB是⊙O的一条弦.（2）你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.（1）图是轴对称图形吗?如果是,
其对称轴是什么?你同意小明的发现吗？你是怎样知道？如图,小明的理由是:连接OA,OB,则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,垂径定理定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.老师提示:
垂径定理是圆中一个重要的结论,是计算线段长度的重要根据.CD⊥AB,如图∵ CD是直径,∴AM=BM,③AM=BM,由 ① CD是直径② CD⊥AB初步尝试辨一辨C②AG=BG其中正确的是________（只需填写序号）① ② ③辨一辨E1.连结AB;作法:当堂巩固画一画、比一比 1、如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且使AM=BM.你能画过点M最长的弦呢?你还能画过点M最短的弦呢?例2、如图，一条排水管的截面。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。DC1088解:作OC⊥AB于C,由定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8
由勾股定理得:圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距如上图中的OC的长就是弦AB的弦心距答:截面圆心O到水面的距离为6。例3、已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．证明:作OM⊥AB，垂足为M ,则CM=DM ∵OA=OB OM⊥AB ∴AM=BM
∴AM-CM=BM-DM
即AC=BD自我挑战1、已知⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的弦心距为5cm， 求弦AB的长。做一做2、在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦AB，计算：
⑴点O与AB的距离； ⑵∠AOB的度数。3、过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（ ）
A．3 B．6cm C． cm D．9cm A4、如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5
C．3求证：AC＝BD。E拓展提高拓展提高谢谢大家！课件22张PPT。新浙教版数学九年级（上）3.3 垂径定理（2）在⊙O内任取一点M,请你折出一条弦AB，使AB经过点M，并且AM=BM.你能说说这样找的理由？巧手来做一做②CD⊥AB,垂径定理的推论AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.（2）你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.（1）右图是轴对称图形吗?如果是,
其对称轴是什么?小明发现:由 ① CD是直径③ AM=BM平分弦（不是直径）的直径垂直于这弦,并且平 分弦所对的两条弧.┗垂 径 定 理 的 逆 定 理弦（不是直径）并且平分弦所对的两条弧 平分的直径垂直于弦，?!垂径定理的推论如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.① CD是直径,③ AM=BM,② CD⊥AB,③AM=BM, ① CD是直径② CD⊥AB由 ① CD是直径③ AM=BM②CD⊥AB,你可以写出相应的命题吗?
相信自己是最棒的!垂径定理的逆定理如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.① CD是直径,③ AM=BM,② CD⊥AB,垂径定理及逆定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.初步尝试垂径定理的应用例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.老师提示:
注意闪烁的三角形的特点.赵州石拱桥1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).你是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗？赵州石拱桥解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.
由题设 在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得 R≈27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.当堂巩固1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（ ）练一练(1)2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，垂足为M，OM=3，则CD= .3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 . C813注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种辅助线的添法．往往结合勾股定理计算。 5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD4.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，则O到AB的距离是= ，∠OAB的余弦值= 。练一练(2)0.624mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．挑战自我填一填1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）√???√自我挑战判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..( )（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..( )（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分………………………………………...( )（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………( )（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）×√××√挑战自我（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧 （ ） （7）平分弦的直线，必定过圆心 （ ）（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦 （ ）???（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径 （ ）（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦（ ）（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分 （ ）???2、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BDE挑战自我试一试3.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.谢谢大家！
