3.2 实数 教案
1教学目标
1从感性上认可无理数的存在,并通过探索说出无理数的特征,弄清有理数与无理数的本质区别,了解并掌握无理数、实数的概念以及实数的分类,知道实数与数轴上的点的一一对应关系。
2让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程,掌握 “逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法
3培养学生勇于发现真理的科学精神,渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点
2学情分析
学生对有理数和平方根已有初步的了解,也已经了解近似数,掌握计算器的简单运用。但对七年级学生来讲,思维仍较直观,无理数显得比较抽象,难以理解。对 的探索是本课的关键,不仅得到无理数的概念,还有利于培养学生的分析、探索的能力。
3重点难点
重点:无理数、实数的意义,在数轴上表示实数。
难点:无理数与有理数的本质区别,实数与数轴上的点的一一对应关系。
4教学过程
活动1【导入】3.2
复习旧知,揭示矛盾,引入概念
回顾书本 3 .1探究活动(图3.2),复习前面所学的有理数的分类, 既然在1与2之间就不是整数,也不是分数,因为如果是分数的话它的平方也应是分数,也就是说 不是有理数,但由此题可知 确实是存在的,同时π也是如此。
出现矛盾以后,本课以 为例,从 √2开始,来探索无理数的特征,学习实数。
活动2【讲授】3.2
学生能从上节的图3-2中估计 在1与2之间
引导学生借助计算器进行合作学习:
1.1根据上节课 1<√2 <2,确定√2=1.… 确定小数点后第一位数
1.2继续探索√2 特征,得到无理数概念
以上得到的1.4,1.41仅是 的近似值, 究竟是多少?在解决此问题后, 又出现了新疑点。这样激发学生沿着以上思路继续合作学习,结合书本p71的表格,探索 特征。再问:通过以上的探索同学们有什么感受?体验到了什么?学生能在对有理数的已有认知的基础上,知道 确实不同于前面所学的有理数,总结√2 的特征:无限、不循环,得到无理数的概念。
(以上学生合作探索 特征的过程,让学生体验无理数是怎样一个数,同时掌握求无理数近似的方法。)
1.3举例说出无理数,巩固对无理数的理解
1.4课本p73 课内练习2 掌握用有理数逐步逼近无理数,从而求出无理数近似值的方法
叙述数史,剖析概念,扩展数集
2.1 讲述故事,介绍无理数的来历
师问:当你们看到“有理数”与“无理数”这两个词时,你们的第一感觉是怎么理解的? 有生会答:“有道理的数”与“无道理的数”。
师:确实会有我们这种想法,这不,为此,它们还发动了战争呢?(屏幕显示故事,学生讲述)
2.2实数的概念: 有理数和无理数统称为实数
(通过故事不仅增加趣味性,更重要的在于强化无理数与有理数的本质区别,得实数的意义。而且介绍数学史,对揭示数学知识的来源和应用,创造一种探索与研究的气氛,激发学生对数学的兴趣等都起到重要作用)
3练习讨论,反馈调整,巩固概念
(1)无理数的相反数、绝对值
由前面有理数的相反数、绝对值的意义,类似得到无理数的相反数、绝对值的意义。
(2) 练习:在 1/7; -π; ;0;0.3 ; ;- ;0.3131131113…(两个3之间依次多一个1)中
①属于有理数的有:
属于无理数的有:
属于实数的有:
②说出以上各数的相反数、绝对值;
练习:(抢答)判断下面的语句对不对?并说明判断的理由。
①无限小数都是无理数;
②无理数都是无限小数;
③带根号的数都是无理数;
④有理数都是实数,实数不都是有理数;
⑤实数都是无理数,无理数都是实数;
⑥实数的绝对值都是非负实数;
⑦有理数都可以表示成分数的形式。
(通过练习巩固实数概念,分析实数的分类,弄清带根号的数并不都是无理数,无理数指的是无限不循环小数,不能化为分数的数,这才是它的本质特征,明白数的范围扩大后相反数、绝对值的意义仍不变。)
活动3【活动】3.2
数形结合,突破难点,深化概念
(前面我们从数本身的特征上探讨了数除了有理数外还有无理数,接下来我们再利用数轴来进行说明。)
我们已经知道每一个有理数都可以用数轴上的点表示出来,那么数轴上的每一个点都表示有理数吗?(思考)
由书本图3.2可知,在数轴正方向上取OA的长等于图3.2中阴影正方形的边长,则点A表示 ,即无理数 可以在数轴上找到对应点。可见,数轴上的点对应的数,不都是有理数。(显示数轴)
像每个有理数都可以在数轴上找到一个对应点一样,每个无理数也都可以在数轴上找到一个对应点,因此,可以说,每个实数都可以在数轴上找到一个对应点。(想一想:为什么?)反过来,数轴上的每一点也都对应一个有理数或无理数,也就是说,数轴上的每一点都对应一个实数。把这两件事合在一起,我们就说全体实数和数轴上的点一一对应。
利用课件显示帮助理解以上内容,数形结合,突破本课的难点:在数轴上用绿色闪烁圆点表示有理数,但这些并不能布满直线,说明数轴上的每一个点并不都表示有理数。再用红色闪烁圆点表示无理数,讲到有理数时绿色圆点闪烁,讲到无理数时绿色圆点闪烁,讲到实数时红、绿圆点同时闪烁,这才成为一整条直线,由此形象、直观展示实数除了有理数外还包括无理数,深化了实数的概念。
课件21张PPT。3.2 实 数（1）5的平方根是（2） 的算术平方根是（3）什么叫有理数?简单回顾是不是有理数？是不是整数？是不是分数？结论： 既不是整数，也不是分数。
所以， 不是有理数。议一议“海神错判” 约公元600年，毕达哥拉斯学派认为宇宙万物的总规律是服从整数化，认为世界上一切现象，都能归结为整数或整数之比。正当毕氏学派津津乐道地高唱“万物皆数”时，该学派的一位成员希伯索斯利用推理的方法发现，边长为1的正方形的对角线长既不是整数，也不是整数的比（分数）所能表示的.“海神错判” 这个发现被人们看成是“荒谬”和违反常识的事。对于只有整数和整数比概念的他们来说，这意味着边长为1的正方形的对角线长竟然不能用任何“数”来表示！这在数学史上称为第一次数学危机。最后希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传就因为这一发现，毕达哥拉斯学派把希伯索斯投入大海中处死。 已知每个小正方形的边长均为1，我们可以得到小正方形的面积为1。（1）图中“蓝色”正方形的面积是多少？
它的边长是多少？CDBA11（2）它的边长介于哪两个相邻整数之间？探究新知： 的十分位，百分位分别是多少？＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜…………像 这种无限不循环小数叫做无理数（irrational number）. 无理数广泛存在着，一般有三种情况：
例如：像 的数是无理数。带根号的数都是无理数，这种说法对吗？第二种: 有一定的规律，但不循环的无限小数都是无理数。例如：
0.1010010001…〔两个1之间依次多1个0〕
234.232232223…〔两个3之间依次多1个2〕0.12345678910111213 …〔小数部分有相继的正整数组成〕
第三种:判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？ 有理数是：
无理数是：, , , ,超级演练
实数有理数正有理数负有理数零无理数正无理数负无理数有理数和无理数统称为实数。或有理数整数分数（无限不循环小数）把数从有理数扩充到实数以后，有理数的相反数和绝对值的概念同样适用于实数。和 互为相反数例如：绝对值等于 的数是做一做: 填空：
（1） 的相反数是__________
（2） 的相反数是
（3） ___________
（4）绝对值不大于 的 整数是 -1,0,10-1121AB 如图:OA=OB,数轴上A点对应的数是什么? 如果将所有有理数都标到数轴上,那么数轴被填满了吗?探索 & 交流在实数范围内，每一个数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点一一对应。 一、判断：1.实数不是有理数就是无理数。（ ）2.无理数都是无限不循环小数。（ ）3.无理数都是无限小数。（ ）4.带根号的数都是无理数。（ ）5.无理数一定都带根号。（ ）6.两个无理数之积不一定是无理数。（ ）7.两个无理数之和一定是无理数。（ ）8.数轴上的任何一点都可以表示实数。（ ）×××在数轴上作出 的对应点.0123-112012-1-2C一个实数cBA（1）无理数、实数的概念，实数的分类；
（2）知道实数与数轴上的点一一对应，能将实数表示在数轴上；
（3）相反数、绝对值、数的大小比较法则同样适用于实数.小结
