3.3
垂径定理（1）（巩固练习）
姓名
班级
第一部分
1、已知如图．用直尺和圆规求作这条弧的四等分点．
2、如图，点P在⊙O内，过P点作一条弦AB，使弦AB是所有经过P点的弦中最短的弦，并作出弦AB所对的优弧的中点.
3、如图，△OCD为等腰三角形，底边CD交⊙O于A、B两点.
求证：AC=BD.
4、
如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15
cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长.
5、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．
(1)
请写出三个不同类型的正确结论；
(2)
若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径.
第二部分
1.
圆是轴对称图形，它的对称轴有……………………………………………………（
）
A．一条
B
两条
C．一条
D．无数条
2.
下列说法正确的是…………………………………………………………………（
）
A.
直径是圆的对称轴
B.
经过圆心的直线是圆的对称轴
C.
与圆相交的直线是圆的对称轴
D.
与半径垂直的直线是圆的对称轴
3.
如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E(如图)，那么下面结论中错误的是…………………………………………………………………（
）
A.
CE＝DE
B.
C.
∠BAC＝∠BAD
D.
AC＞AD
4.如图，的直径为26cm，弦长为24cm，则点到的距离为
．
5.
在半径为
4cm
的圆中，垂直平分一条半径的弦长等于………………（
）
A.
3cm
B.
2cm
C.
4cm
D.
8cm
6.
已知⊙O的半径为5
,
弦AB的长也是5，则∠AOB的度数是
.
7.
如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，若
，则CE=DE.
(只需填写一个你认为适当的条件)
8.
如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=__________.
9.
在半径为5cm的⊙O中，弦AB的长为cm，计算：
(l)
点到AB的距离；(2)
∠AOB的度数．
10.
如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC=BD.
证明：作OE⊥AB于E，则AE=BE，CE=DE，
∴AC=BD.
参考答案
第一部分
(2)
延PO交⊙O于C.
AB就是所求的弦，点C就是弦AB所对的优弧的中点.
3、如图，△OCD为等腰三角形，底边CD交⊙O于A、B两点.
求证：AC=BD.
【分析】怎样证AC=BD？由于△OCD是等腰三角形，作OE⊥CD于E后，由等腰三角形“三线合一”得CE=DE，又根据垂径定理得E为弦AB的中点，两者相关减即可.
【解】作OE⊥CD于E.
则由垂径定理，得AE=BE.
∵△OCD为等腰三角形，∴CE=DE.
∴AC=BD.
4、
如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15
cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长.
【分析】这是应用垂径定理进行计算的一个基础题.
先求出OM的长，再根据勾股定理求得AM的长，再由垂径定理得AB=2AM.
【解】连结OA.
则由垂径定理，得AM=BM.
∵CD=15
cm，∴OC=7.5cm，又OM：OC=3：5，∴OM=4.5cm.
在Rt△AOM中，由勾股定理，得AM=cm，即AB=12cm.
5、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．
(1)
请写出三个不同类型的正确结论；
(2)
若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径.
【解】(1)
如BE=CE，，∠BED=90°，△BOD是等腰三角形等等.
(2)
∵OD⊥BC，BC=8，∴BE=4.
在Rt△OBE中，由勾股定理得OB2=BE2+OE2，
∴r2=42+(r-2)2，解得r=5.
第二部分
1.
圆是轴对称图形，它的对称轴有……………………………………………………（
）
A．一条
B
两条
C．一条
D．无数条
答案：D
2.
下列说法正确的是…………………………………………………………………（
）
A.
直径是圆的对称轴
B.
经过圆心的直线是圆的对称轴
C.
与圆相交的直线是圆的对称轴
D.
与半径垂直的直线是圆的对称轴
答案：B
3.
如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E(如图)，那么下面结论中错误的是…………………………………………………………………（
）
A.
CE＝DE
B.
C.
∠BAC＝∠BAD
D.
AC＞AD
答案：D
4.如图，的直径为26cm，弦长为24cm，则点到的距离为
．
答案：5cm
5.
在半径为
4cm
的圆中，垂直平分一条半径的弦长等于…………………………（
）
A.
3cm
B.
2cm
C.
4cm
D.
8cm
答案：C
6.
已知⊙O的半径为5
,
弦AB的长也是5，则∠AOB的度数是
.
答案：60°
7.
如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，若
，则CE=DE.
(只需填写一个你认为适当的条件)
答案：AB⊥CD
8.
如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=__________.
答案：8
9.
在半径为5cm的⊙O中，弦AB的长为cm，计算：
(l)
点到AB的距离；(2)
∠AOB的度数．
解：(1)
作OC⊥AB于C，连结OA.
∵AB=cm，∴AC=cm，∴OC=cm.
(2)
∵OC⊥AB，AC=OC，∴∠AOC=45°，即∠AOB=90°.
10.
如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC=BD.
证明：作OE⊥AB于E，则AE=BE，CE=DE，
∴AC=BD.
图3
P
A
B
O
E
图3
P
A
B
O
E3.3
垂径定理（2）（巩固练习）
姓名
班级
第一部分
1、如图，已知⊙O半径为5，弦AB长为8，点P为弦AB上一动点，连结OP，则线段OP的最小长度是
．
2、如题1图中，AB为⊙O的弦，P在AB上，已知AB=10，OP=5，PA=4，求⊙O的半径.
3、如图，把一个矩形纸片ABCD放在一个圆上（如图），如果AE=BF，求证：DH=CG..
4、
如图，在中，弦EF∥CD，直径AB分别交CD、EF于点M、N，且A是的中点.
求证：M是弦CD的中点.
5、如图，在一直径为8m的圆形戏水池中搭有两座浮桥AB、CD，已知C是的中点，浮桥CD的长为m，设AB、CD交于点P.试求∠APC的度数.
6、如图，底面半径为5dm的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8dm.
你能算出油的深度吗（指油的最深处，即油面到水平地面的距离）？
第二部分
1.如图1，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中错误的是（
）
A.
B.
C.
D.
2.
如图2，AB是⊙O的直径，CD为弦，，若CD=4，则CM=
.
3.如图3，AB是⊙O的弦，AC=BC=，，则⊙O的半径长为
.
4.
如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C,
D两点，AB=10cm，CD=6cm，则AC的长为
A.
0.
5cm
B.
1cm
C.
1.5cm
D.
2cm
5.
“两龙”高速公路是目前我省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面宽为10米，净高为7米，则此隧道单心圆的半径是（
）
A.
5
B.
C.
D.
7
6.
如图，⊙O的直径CD与弦AB交于点M，添加条件 (写出一个即可)，就可得到D是
的中点．
7.
如图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是的中点，OE
交弦AC于点D．若AC
=
8cm，DE
=
2cm，则OD的长为
.
8.如图，在半径为5的⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为M，若OM=4，则CD=
．
9.
如图，⊙O的直径AB平分弦CD，CD
=10cm，AP：PB=1∶5．求⊙O的半径．
10.
如图，⊙O中，弦AB∥CD.
求证：.
参考答案
第一部分
【解】连结OC，作OF⊥CD于F.
∵C是的中点，∴OC⊥AB，即∠CEP=90°.∵OF⊥CD，∴CF=CD=m.
又OC=4m，∴OF==2m=OC.
∴∠C=30°，即∠APC=90°-∠C=60°.
6、如图，底面半径为5dm的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8dm.
你能算出油的深度吗（指油的最深处，即油面到水平地面的距离）？
【解】根据题意应有两种情况：
(1)
如图1，已知AB=8，OB=5，用勾股定理可求得OC=3，故CP=5-3=2dm；
(2)
如图2，已知AB=8，OB=5，用勾股定理可求得OC=3，故CP=5+3=8dm.
图1
图2
第二部分
1.如图1，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中错误的是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：D
2.
如图2，AB是⊙O的直径，CD为弦，，若CD=4，则CM=
.
答案：2
3.如图3，AB是⊙O的弦，AC=BC=，，则⊙O的半径长为
.
答案：cm
4.
如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C,
D两点，AB=10cm，CD=6cm，则AC的长为
A.
0.
5cm
B.
1cm
C.
1.5cm
D.
2cm
答案：D
5.
“两龙”高速公路是目前我省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面宽为10米，净高为7米，则此隧道单心圆的半径是（
）
A.
5
B.
C.
D.
7
答案：B
6.
如图，⊙O的直径CD与弦AB交于点M，添加条件 (写出一个即可)，就可得到D是
的中点．
答案：CD⊥AB或AM=BM
7.
如图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是的中点，OE
交弦AC于点D．若AC
=
8cm，DE
=
2cm，则OD的长为
.
答案：3cm
8.如图，在半径为5的⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为M，若OM=4，则CD=
．
答案：6
9.
如图，⊙O的直径AB平分弦CD，CD
=10cm，AP：PB=1∶5．求⊙O的半径．
解：连结OC.
设⊙O的半径为R.
∵AP：PB=1∶5，AP+PB=2R，∴OP=R.
∵直径AB平分弦CD，∴CP=CD=5cm，OP⊥CD.
∴OC2=OP2+CP2，即R2=+52，解得R=cm.
10.
如图，⊙O中，弦AB∥CD.
求证：.
证明：作直径EF⊥CD，∵AB∥CD，∴EF⊥AB.
∴，.
∵，∴.
O
B
P
A
Ａ
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ｅ
Ｄ
图1
图2
图3
第8题
第6题
第5题
第7题
Ａ
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ｅ
Ｄ
图1
图2
图3
第8题
第6题
第5题
第7题
