第1讲二次函数的图象和性质课件

课件40张PPT。第1讲 二次函数的图象和性质第一章 二次函数 诺贝尔为什么没有设数学奖
诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对此，外界流传着两种说法．
第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖． 二次函数的图象和性质图1－1－1【思路生成】设点A坐标为(0，a)，利用两个函数解析式求出点B，C的坐标，然后求出AB的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出点D的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．二次函数的图象
二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象是抛物线，它有如下特点：
(1)a＞0，开口向上；a＜0，开口向下；
(2)对称轴是平行于y轴的直线x＝m；
(3)顶点坐标是(m，k)．1．二次函数y＝x2＋bx＋c，若b＋c＝0，则它的图象一定过点 (　 　)
A．(－1，－1)　　　　 B．(1，－1)　　　　
C．(－1，1)　　　　 D．(1，1)
【解析】 对二次函数y＝x2＋bx＋c，将b＋c＝0代入可得y＝x2＋b(x－1)，则它的图象一定过点(1，1)．D2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图1－1－2，关于该二次函数，下列说法错误的是 (　 　)图1－1－2D3．已知二次函数y＝x2－4x＋3.
(1)用配方法求其函数的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；
(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．
解：(1)y＝x2－4x＋3
＝x2－4x＋4－1
＝(x－2)2－1.
∴函数的顶点C的坐标为(2，－1)，
∴当x≤2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大而增大．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质
(1)当a＞0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；当a＜0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸； 二次函数的平移
例2　在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是 (　 　)
【解析】 函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象y＝2(x－2)2＋4(x－2)－3－1，即 y＝2(x－1)2－6，顶点坐标是(1，－6)．C【思路生成】根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得目标函数图象．4．将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是 (　 　)
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－3BA．2 B．4 C．8 D．16B图1－1－3变式跟进5答图6．如图1－1－4，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2，－2)，点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为______．图1－1－412【解析】 如答图，连结AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D.
由题意可得出AP∥A′P′，AP＝A′P′，
∴四边形APP′A′是平行四边形．
∵抛物线的顶点为P(－2，2)，与y轴变式跟进6答图交于点A(0，3)，平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′ (2，－2)， 二次函数的平移 从函数图象中获取信息图1－1－5③④【思路生成】先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断．【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3，
∴AB＝4，
即2a＋b＝0，
故①错误；
②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0，
故②错误；
③∵点A的坐标为(－1，0)，
∴a－b＋c＝0，且b＝－2a，
∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a，
故③正确；例3答图∴点D的坐标为(1，－2)，
∴AE＝2，BE＝2，DE＝2，
∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，
∴△ABD为等腰直角三角形，
故④正确；同理当AB＝AC＝4时，
∵AO＝1，△AOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝42－12＝15.同理当AC＝BC时，
在△AOC中，AC2＝12＋c2，
在△BOC中，BC2＝c2＋32，
∵AC＝BC，
∴1＋c2＝c2＋9，此方程无解．
经讨论可知只有两个a值满足条件，故⑤错误．
综上所述，正确的结论是③④. 从函数图象中获取信息
a的作用：决定开口的方向和大小．
(1)a＞0开口向上，a＜0开口向下；
b的作用：决定顶点的位置．
左(对称轴在y轴左边)
同(a，b同号)
右(对称轴在y轴右边)
异(a，b异号)
c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置．
上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)正(c＞0)
下(抛物线与y轴的交点在y轴负半轴)
负(c＜0)
a＋b＋c的符号：
当x＝1时，看y的值是正的还是负的．
a－b＋c的符号：
当x＝－1时，看y的值是正的还是负的．
2a＋b的符号：7．已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是 (　 　)DA．b＝2a＋k B．a＝b＋k
C．a>b>0 D．a>k>0图1－1－6D 二次函数的最值问题
例4　当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，则实数m的值为 (　 　)
【思路生成】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可.
【解析】 二次函数的对称轴为直线x＝m，
①当m＜－2时，当x＝－2时，二次函数有最大值，
此时－(－2－m)2＋m2＋1＝4，C 二次函数的最值问题
解答这类最大值或最小值问题，要注意根据自变量取值范围和二次函数的增减性求最大值或最小值．9．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
(2)已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋5，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值.
解：(1)答案不唯一．如y＝x2和y＝2x2；
(2)将点A(1，1)代入y1＝2x2－4mx＋2m2＋1，得2－4m＋2m2＋1＝1，
解得m＝1，∴y1＝2x2－4x＋3，则y1＋y2＝(a＋2)x2＋(b－4) x＋8.∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，y1＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1，
∴y1的顶点坐标为(1，1)，
∴y1＋y2＝(a＋2)x2＋(b－4)x＋8的顶点坐标为(1，1)，∴y2＝5x2－10x＋5＝5(x－1)2.
∵0≤x≤3，∴当x＝3时，y2最大值＝5×(3－1)2＝20.
BA选项中，如答图，作TE⊥x轴，TG⊥y轴，易得△GTF ≌△ETD，故阴影部分面积为1×1＝1；