2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步练习（含答案）

2.4
一元二次方程根与系数的关系
同步练习
一、单选题
1、下列各项结论中错误的是（　　）
A、二元一次方程x+2y=2的解可以表示为 （m是实数）
B、若是二元一次方程组的解，则m+n的值为0
C、设一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根分别为m、n，则m+n的值为﹣3
D、若﹣5x2ym与xny是同类项，则m+n的值为3
2、一元二次方程x2+x-2=0的两根之积是（
）
A、-1
B、-2
C、1
D、2
3、已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则关于的方程的根的情况是（
）
A、有两个正根
B、有两个负根
C、有一个正根一个负根
D、没有实数根
4、如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（ ）
A、
B、
C、
D、
5、一元二次方程x2+4x-3=0的两根为
、
，则

的值是（　　）
A、4
B、-4
C、3
D、-3
6、关于x的方程的两个根的平方和5是，则a的值是（
）
A．
－1或5　　　B．
1
C．
5
D．
－1
7、已知
为方程
的两实根，则
的值为（
）
A、
B、－28
C、20
D、28
8、已知关于
的一元二次方程
有两个实数根
和
，当
时，
的值为（　　）
A、2
B、或
C、
D、
9、已知α，β是方程x2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（　　）
A、1
B、2
C、3
D、4
10、如图，小敏家厨房一墙角处有一自来水管，装修时为了美观，准备用木板从AB处将水管密封起来，互相垂直的两墙面与水管分别相切于D，E两点，经测量AD=10cm，BE=15cm，
则该自来水管的半径为（
）cm．
A、5
B、10
C、6
D、8
二、填空题
11、已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是________，m的值是________。
12、若方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为，，则的值为________ ．
13、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么q的值是________ ．
14、已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________ ．
15、关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是________．
三、解答题
16、已知x=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一个根．
17、已知函数
（1）m= 时，函数图像与x轴只有一个交点；
（2）m为何值时，函数图像与x轴没有交点；
（3）若函数图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为4，求m的值.
18、已知关于x的一元二次方程x2
=
2(1—m)x—m2的两实数根为x1
，
x2
，
（1）求m的取值范围；
（2）设y
=
x1
+
x2
，
当y取得最小值时，求相应m的值，并求出y的最小值。
19、已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80成立，求其实数a的可能值．
20、已知m，n是方程x2+3x+1=0的两根
（1）求（m+5﹣）﹣的值
（2）求+的值．
21、已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？
22、已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1
，
x2
．
⑴求k的取值范围；
⑵若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．
23、关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2
．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
24、已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0有两个实数根x1和x2
．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1+x2=6﹣x1x2
，
求（x1﹣x2）2+3x1x2﹣5的值．
25、韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x1、x2
，
则x1+x2=﹣，
x1 x2=，
阅读下面应用韦达定理的过程：
若一元二次方程﹣2x2+4x+1=0的两根分别为x1、x2
，
求x12+x22的值．
解：该一元二次方程的△=b2﹣4ac=42﹣4×（﹣2）×1=24＞0
由韦达定理可得，x1+x2=﹣=﹣=2，x1 x2===﹣
x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2
=22﹣2×（﹣）
=5
然后解答下列问题：
（1）设一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两根分别为x1
，
x2
，
不解方程，求x12+x22的值；
（2）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x+（k﹣1）2=0的两根分别为α，β，且α2+β2=4，求k的值．
答案部分
一、单选题
1、
【答案】B
2、
【答案】B
3、
【答案】C
4、
【答案】A
5、
【答案】D
6、
【答案】D
7、
【答案】D
8、
【答案】D
9、
【答案】D
10、
【答案】A
二、填空题
11、
【答案】3；-4
12、
【答案】　3　
13、
【答案】2
14、
【答案】k＜3
15、
【答案】m＞
三、解答题
16、
【答案】解：设方程的另一根为x2
．
∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根是﹣1，
∴x=﹣1满足关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0，
∴（﹣1）2﹣m﹣5=0，
解得m=﹣4；
又由韦达定理知﹣1×x2=﹣5，
解得x2=5．
即方程的另一根是5．
17、
【答案】解：（1）∵函数图象与x轴只有一个交点，
∴△=4m2-4（m-1）2=4m2-4m2+8m-4=0，即m=.
（2）∵函数与x轴没有交点，
∴△=4m2-4（m-1）2=4m2-4m2+8m-4＜0，即m＜.
（3）对于二次函，
令x=0，得到y=m-1，即C（0，m-1），
令y=0，得到（m-1）x2+2mx+m-1=0，
设此方程的两根为a，b，
∴由根与系数的关系得到a+b=，
ab=1，
∴.
∵△ABC的面积为4，
∴AB yC纵坐标=4，即|m-1|×=8，
两边平方得：4m2-4（m-1）2=64，即8m=68，
解得：m=．
18、
【答案】解：（1）整理原方程，得x2
+
2(m—1)x
+
m2
=
0，
∵原方程有两个实数根，
∴△=
[2(m—1)]2—4×1×m2
=
—8m+4≥0，
解得m≤,
（2）∵
x1
，
x2是方程x2
+
2(m—1)x
+
m2
=
0的两个实数根，
∴
x1
+
x2
=
—2(m—1)
=
—2m
+
2，
∵
y
=
x1
+
x2
，
∴
y
=
—2m
+
2，
∵—2
<
0，
∴
y随m的增大而减小，
∵
m≤,
∴当m
=
时，y取得最小值，且最小值是：y最小=-2×+2=1
19、
【答案】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，a=1，b=（3a﹣1），c=2a2﹣1，
∴x1+x2=﹣（3a﹣1），x1 x2=2a2﹣1，
而（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80，
∴3x12﹣10x1x2+3x22=﹣80，
3（x1+x2）2﹣16x1x2=﹣80，
∴3[﹣（3a﹣1）]2﹣16（2a2﹣1）=﹣80，
∴5a2+18a﹣99=0，
∴a=3或﹣，
当a=3时，方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的△＜0，
∴不合题意，舍去
∴a=﹣．
20、
【答案】解：（1）∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，
∴m=，n=，
∴m＜n＜0，
原式= ﹣
=﹣
=﹣6﹣2m﹣
=
∵m，n是方程x2+3x+1=0的两根，
∴m2+3m+1=0，
∴原式=0；
（2）∵m＜0，n＜0，
∴+=﹣m﹣n=+=（），
∵m+n=﹣3，mn=1，
∴原式=9﹣2=7．
21、
【答案】（1）证明：∵△=b2﹣4ac=（3k+1）2﹣4（2k2+2k）=9k2+6k+1﹣8k2﹣8k=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0
∴无论k取何值，方程总有实数根．
（2）解：①若a=6为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．
∴（k﹣1）2=0，解得：k=1．
此时原方程化为x2﹣4x+4=0，
∴x1=x2=2，即b=c=2．
此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=6，
代入方程：62﹣6（3k+1）+2k2+2k=0，
解得k=3或5，
则原方程化为x2﹣10x+24=0或x2﹣16x+60=0，
解得x1=4，x2=6或x1=6，x2=10，
即b=6，c=4，或b=6，c=10，
此时△ABC三边为6，6，4或6，6，10能构成三角形，
周长为6+6+4=16或6+6+10=22．
22、
【答案】解：（1）∵方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1
，
x2
，
∴△≥0，即4（k-1）2-4×1×k2≥0，解得k≤，
∴k的取值范围为k≤；
（2）∵方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1
，
x2
，
∴x1+x2=2（k-1），x1x2=k2
，
∴2（k-1）+k2=1，即k2+2k-3=0，
∴k1=-3，k2=1，
∵k≤，
∴k=-3．
23、
【答案】解：（1）∵方程有实数根，
∴△=22﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0．
故K的取值范围是k≤0．
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1，
x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．
由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．
又由（1）k≤0，
∴﹣2＜k≤0．
∵k为整数，
∴k的值为﹣1和0．
24、
【答案】解：（1）△=（2m﹣3）2﹣4m2
=4m2﹣12m+9﹣4m2
=﹣12m+9，
∵△≥0
∴﹣12m+9≥0，
∴m≤；
（2）由题意可得
x1+x2=﹣（2m﹣3）=3﹣2m，
x1x2=m2
，
又∵x1+x2=6﹣x1x2
，
∴3﹣2m=6﹣m2
，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m1=3，m2=﹣1，
又∵m≤
∴m=﹣1，
∴x1+x2=5，
x1x2=1，
∴（x1﹣x2）2+3x1x2﹣5
=（x1+x2）2﹣4x1x2+3x1x2﹣5
=（x1+x2）2﹣x1x2﹣5
=52﹣1﹣5
=19．
25、
【答案】解：（1）∵一元二次方程的△=b2﹣4ac=32﹣4×2×（﹣1）=17＞0，
由根与系数的关系得：x1+x2=﹣，
x1 x2=﹣，
∴+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==；
（2）由根与系数的关系知：=﹣k﹣1，αβ==k﹣1，
α2+β2=（（α+β）2﹣2αβ=（k+1）2﹣2（k﹣1）=k2+3
∴k2+3=4，
∴k=±1，
∵k﹣1≠0
∴k≠1，
∴k=﹣1，
将k=﹣1代入原方程：﹣2x2+4=0，
△=32＞0，
∴k=﹣1成立，
∴k的值为﹣1．