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课题：一元二次方程
教学目标 1．知识与技能 （1）理解一元二次方程的根的概念． （2）掌握一元二次方程的因式分解的解法 2．过程与方法 先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行一元二次方程的计算3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索一元二次方程的重要结论，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重难点 教学重点：一元二次方程的解教学难点：因式分解法解一元二次方程
教学过程
一、课前回顾（2分钟）学生与老师共同回顾上节课所学内容，温故而知新。 一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都为2的方程。想一想它们都有什么共同点：整式方程未知个数数1个含有未知数项的次数2次一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0）a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项
一、情境引入（3分钟）由生活中的实例引入投影的概念，引起学生的学习兴趣 还记得下面这一问题吗 把面积为4㎡的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两部分，求正方形的边长。 设未知数设正方体的边长为x。
二、探究1（10分钟） 我们怎么获得这个一元二次方程的解呢 想想以前学习过的知识，有没有能够解决这一问题的方法呢 请选择： 若A·B=0则 （ D ）（A）A=0； （B）B=0；（C）A=0且B=0；（D）A=0或B=0你能用上面的结论解方程(2x+3)(2x-3)=0吗 根据上述结论：若A·B=0,则A=0或B=0我们可以得到：2x+3)(2x-3)=0 前面解方程时利用了什么方法呢 因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式. 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。练习1：把下列各式因式分解:
三、探究2（10分钟） 想一想以前学过几种因式分解的方法呢 情境导入中的方程应该用什么方法呢 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。因式分解的主要方法:(1)提取公因式法(2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b) a2±2ab+b2=(a±b)2 (3)十字相乘法因式分解法解方程的基本步骤：若方程的右边不是零，先移项，使方程的右边为零将方程的左边分解因式；根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。
典题精讲 例1：解下列方程：例2 、解下列一元二次方程：（1）（x－5) (3x－2)=10; 解：(1) 化简方程，得 3x2－17x=0.将方程的左边分解因式，得 x(3x－17)=0,∴x=0 ,或3x－17=0 (2) (3x－4)2=(4x－3)2.(2)移项，得（3x－4)2－(4x－3)2=0.将方程的左边分解因式，得〔(3x－4)+(4x－3)〕〔(3x－4)－(4x－3)〕=0, 即 (7x－7) (-x－1)=0.∴7x－7=0,或 -x－1=0. ∴x1=1, x2=-1
达标测试（5分钟）课堂测试，检验学习结果 1、构造一个一元二次方程,要求: ①常数项不为零;②有一个根为-3. 3、填空：（1）方程x2+x=0的根是 X1=0, x2=-1 ；（2）x2－25=0的根是 X1=5, x2=-5 4、用分解因式法解方程: (1)5x2=4x; (2)x2+6x-7=0
应用提高（5分钟）能力提升，学有余力的同学可以仔细研究 下列解一元二次方程的方法对吗 若不对请改正。解方程:
体验收获 1、一元二次方程的解法。 2、因式分解法解一元二次方程。
布置作业 教材31页习题第2、4题。
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一元二次方程
班级：___________姓名：___________得分：__________
选择题（每小题5分，20分）
1、若x=1是方程的一个根，则方程的另一个根与k的值是（ ）
A. 2,3 B. -2,3
C. -2，-3 D. 2，-3
2、已知x＝－1是方程的一个根，则m=（ ）
A. 2 B.-2 C. 0 D, 1
3、方程的解是（ ）
Ａ． Ｂ．，
Ｃ．， Ｄ．
4、方程的根是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，20分）
1、 -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4中．___________是方程2x2+10x+12=0的根？
2、（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+____）2．21世纪教育网版权所有
写出一个一根为2的一元二次方程______________。
3、方程的根是_____________.
三、解答题（每小题15分，60分）
1、x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？21·cn·jy·com
解方程x 2+6x+9=2
市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
4、某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？21教育网
参考答案
选择题、
1.D
【解析】将x=1代入方程，得
k+1+2=0，k=-3，故原方程为
因式分解法
2. A
【解析】将x=-1代入解得1-m+1=0，解得m=2。
3. C．
【解析】 不要忽略解x=0
4. A
【解析】用开平方法可得。
填空题
1、-2、-3
【解析】要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．21cnjy.com
2、（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 ．
【解析】根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 ．
(x-2)(x+1)=0
【解析】答案不唯一，符合条件即可
4、
【解析】用开平方的方法解方程
解答题
1. 解：把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±3
即2t+1=3，2t+1=-3
方程的两根为t1=1，t2=--2
2、解：由已知，得：（x+3）2=2
直接开平方，得：x+3=±
即x+3=，x+3=-
所以，方程的两根x1=-3+，x2=-3-
3、解：分析：设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
4、分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．www.21-cn-jy.com
解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．
那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31
把（1+x）当成一个数，配方得：
（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56
x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6
方程的根为x1=10%，x2=-3.1
因为增长率为正数，
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．
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一元二次方程的解法
——第一课时
【义务教育教科书新浙教版八年级下册】
学校：________
教师：________
一元二次方程有什么特点？
整式方程
未知个数数1个
含有未知数项的次数2次
含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都为2的方程。
什么是一元二次方程？
课前回顾
ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0）
b,c可以为零吗？
一元二次方程的一般形式：
a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项.
课前回顾
还记得下面这一问题吗
我们列出的一元二次方程为:
情境导入
把面积为4㎡的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两部分，求正方形的边长。
设正方体的边长为x。
我们怎么获得这个一元二次方程的解呢
想想以前学习过的知识，有没有能够解决这一问题的方法呢
探究1
请选择： 若A·B=0则 （ ）
（A）A=0； （B）B=0；
（C）A=0且B=0；（D）A=0或B=0
D
你能用上面的结论解方程(2x+3)(2x-3)=0吗
做一做
做一做下面这题，这是给大家一个小提示哟！
探究1
根据上述结论：
若A·B=0,则
A=0或B=0
我们可以得到：
(2x+3)(2x-3)=0
归纳
前面解方程时利用了什么方法呢
因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式.
像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
把下列各式因式分解
（1）x -x
（2）x -4x+4
（3）x -4
x(x-1)
(x-2)
(x-2)(x+2)
练习1
请利用因式分解解下列方程：
（1）y2－3y＝0;
解： y（y-3）=0
∴ y=0或y-3=0
∴ x1=0， x2=3
想一想以前学过几种因式分解的方法呢
探究2
提取因式法
解：移项，得 4x2-9=0
（2x+3）（2x-3）=0
∴x1=-1.5， x2=1.5
(2) 4x2=9
探究2
公式法
探究2
情境导入中的方程应该用什么方法呢
如何因式分解呢
分析∵ (-1) ×(+4)＝-4
(-1) ＋(+4)＝+3
常数项
一次项系数
x
x
-1
+4
化为一般式：
十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
探究2
(1)提取公因式法
(2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
(3)十字相乘法
因式分解的主要方法:
归纳
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。
将方程的左边分解因式；
若方程的右边不是零，先移项，使方程的右边为零；
因式分解法解方程的基本步骤：
归纳
（1）x2－3x＝0; (2) 25x2=16
解：（1）x（x-3）=0
∴ x=0或x-3=0
∴ x1=0， x2=3
（2）移项，得 25x2-16=0
（5x+4）（5x-4）=0
∴x1=-0.8， x2=0.8
∴ 5x+4=0或5x-4=0
典题精讲
例1：解下列方程：
例2 、解下列一元二次方程：
（1）（x－5) (3x－2)=10;
解：(1) 化简方程，得 3x2－17x=0.
将方程的左边分解因式，
得 x(3x－17)=0,
∴x=0 ,或3x－17=0
典题精讲
(2) (3x－4)2=(4x－3)2.
(2)移项，得（3x－4)2－(4x－3)2=0.
将方程的左边分解因式，得
〔(3x－4)+(4x－3)〕〔(3x－4)－(4x－3)〕=0,
即 (7x－7) (-x－1)=0.
∴7x－7=0,或 -x－1=0.
∴x1=1, x2=-1
典题精讲
∴x1=x2=
∴(x － )2=0,
即 x2 －2 x+( )2=0.
解: 移项，得 x2 －2 x+2=0,
典题精讲
例3
2、关于x的一元二次方程
的两个解为
，则
分解因式的结果为____________________.
1、构造一个一元二次方程,要求:
①常数项不为零;②有一个根为-3.
达标测评
3、填空：
（1）方程x2+x=0的根是 ；
（2）x2－25=0的根是 。
X1=0, x2=-1
X1=5, x2=-5
。
X1=4, x2=-2
(1)5x2=4x; (2)x2+6x-7=0
4、用分解因式法解方程:
利用十字相乘法：
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
解方程:
解:方程两边都除以 得:
移项得:
合并同类项得:
下列解一元二次方程的方法对吗 若不对请改正。
应用提高
不正确哟！不能约分，这样会少了一个答案哟！
解:移项得:
方程左边因式分解得:
解答
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、一元二次方程的解法。
2、因式分解法解一元二次方程。
布置作业
教材31页习题第2、4题。
