浙教版八下数学第2章《一元二次方程》单元培优测试题
参考答案
Ⅰ﹒答案部分：
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
B
C
C
B
A
C
D
二、填空题
11﹒ －3﹒ 12﹒ ±3﹒ 13﹒ 1﹒
14﹒ －4或1﹒ 15﹒ 5或﹒ 16﹒(50－40+x)[500－(8÷2)x]＝8000.
三、解答题
17﹒解答：（1）去括号，得y2+2+3＝4y，
化简，得y2－2y+3＝0，
即y2－2y+()2＝0，
则(y－)2＝0，
解得y1＝y2＝.
（2）去括号，得2x2－x+2x－2＝3x+3，
化简、整理，得2x2－2x－5＝0，
则a＝2，b＝－2，c＝－5，
b2－4ac＝(－2)2－4×2×(－5)＝48，
∴x＝＝，
即x1＝，x2＝.
18﹒解答：（1）①当k2－1＝0时，k＝±1，
当k＝1时，原方程为3x+1＝0，此时方程为一元一次方程，有实数根；
当k＝－1时，原方程为－x+1＝0，此时方程为一元一次方程，有实数根；
②当k2－1≠0，即k≠±1，＝(2k+1)2－4(k2－1)＝4k+5≥0，
解得 k≥－，
∴k≥－且k≠±1，
综合上述，当k≥－时，原方程有实数根.
（2）由（1）知：当k＞－时，原方程有两个不相等的实数根，
当k＝0时，原方程为－x2+x+1＝0，
方程两边同时乘以－1，得x2－x－1＝0，
则a＝1，b＝－1，c＝－1，＝5，
∴x＝，
即x1＝，x2＝.
19﹒解答：设横彩条的宽为2xcm，竖彩条的宽为3xcm，
根据题意，得(20－2x)(30－3x)＝20×30(1－19%)，
化简，得(10－x)2＝81，
解得x1＝1，x2＝19，
∵当x＝19时，2x＝38＞20，
∴x＝19不合题意，舍去，
∴x只能取1，
则2x＝2，3x＝3，
答：横彩条的宽为2cm，竖彩条的宽为3cm.
20﹒解答：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
把(10，40)，(18，24)代入上式，得，
解得，
∴y＝－2x+60（10≤x≤18），
∵该经销商想要每天获得150元的销售利润，
∴(x－10)y＝150，即(x－10)(－2x+60)＝150，
化简、整理，得x2－40x+375＝0，
解这个方程，得x1＝15，x2＝25（不合题意，舍去）
答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元.
21﹒解答：∵∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝＝6（cm），
设经过x秒后，P，Q两点之间的距离为4，
则BQ＝2xcm，PB＝(6－x)cm，
∵BQ2+PB2＝PQ2，且PQ＝4，
∴(2x)2+(6－x)2＝(4)2，
化简、整理，得5x2－12x+4＝0，
解这个方程，得x1＝2，x2＝，
答：经过2秒或秒后，P，Q两点之间的距离为4.
22﹒解答：（1）设该种商品每次降价的百分率为x，
根据题意，得400×(1﹣x)2＝324，
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品a件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣a）件，
第一次降价后的单件利润为：400×(1﹣10%)﹣300＝60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300＝24（元/件）．
依题意得：60a+24×(100﹣a)＝36a+2400≥3210，
解得：a≥22.5．
∴a≥23，
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件．
23﹒解答：（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利(40－x)元，每天可以售出(20+2x)件，
根据题意，得(40－x)(20+2x)＝1200，
化简、整理，得x2－30x+200＝0，
解得x1＝10，x2＝20，
为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应取20，
故商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元.
（2）不能，理由如下：
假设能达到，根据题意，得(40－x)(20+2x)＝1500，
化简、整理，得x2－30x+350＝0，
∵＝302－2×1×350＝－500＜0，
∴此方程没有实数根，即方程无解，
∴商场平均每天盈利不能达到1500元.
Ⅱ﹒解答部分：
一、选择题
1﹒下面关于x的方程中：①ax2－2x－1＝0；②(x－3)2－(x－1)2＝1；③(x+1)(x－3)＝2；④x2+＝5；⑤－x2＝0，是一元二次方程的有（ ）21世纪教育网版权所有
A﹒1个 B﹒2个 C﹒3个 D﹒4个
解答：①ax2－2x－1＝0，当a＝0时，此方程不是一元二次方程，故不是；②(x－3)2－(x－1)2＝1；把方程左边化简得：11x+8＝1，是一次方程，故不是；③(x+1)(x－3)＝2，化简、整理方程得：x2－2x－5＝0，符合一元二次方程的定义，故是；④x2+＝5，含有分式，不是整式方程，故不是；⑤－x2＝0，符合一元二次方程的定义，故是.
故选：B.
2﹒若关于x的一元二次方程(2m+6)x2+x－1＝8－m2的常数项是0，则m的值是（ ）
A﹒－3 B﹒3 C﹒±3 D﹒9
解答：把方程化成一般形式得(2m+6)x2+x+ m2－9＝0，因为它的常数项是0，所以m2－9＝0，解得：m＝±3，又因为2m+6≠0，所以m≠－3，故m只能取3.2·1·c·n·j·y
故选：B.
3﹒若关于x的方程x2－4x+k＝0的一个根为2－，则k的值为（ ）
A﹒1 B﹒－1 C﹒2 D﹒－2
解答：把x＝2－代入方程得：(2－)2－4(2－)+k＝0，即7－4－8+4+k＝0，
解得： k＝1.
故选：A.
4﹒若p是关于x的方程ax2+2x+c＝0(a≠0)的一个根，设M＝1－ac，N＝(ap+1)2，则M与N的大小关系正确的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A﹒M＞N B﹒M＝N C﹒M＜N D﹒不能确定
解答：∵p是关于x的方程ax2+2x+c＝0(a≠0)的一个根，
∴ap2+2p+c＝0，即ap2+2p＝－c，
则N－M＝(ap+1)2－(1－ac)＝a2p2+2ap+1－1+ac＝a(ap2+2p)+ac＝－ac+ac＝0，
∴M＝N，
故选：B.
5﹒将代数式x2－4x+6配方后，发现它的最小值为（ ）
A﹒－ B﹒2 C﹒－2 D﹒2
解答：x2－4x+6＝x2－4x+(2)2－(2)2+6＝(x+2)2－2.
当x＝－2时，代数式的最小值为－2.
故选：C.
6﹒已知是一元二次方程x2－x－1＝0较大的根，则下面对的估计正确的是（ ）
A﹒0＜＜1 B﹒0＜＜1.5 C﹒1.5＜＜2 D﹒2＜＜3
解答：解方程x2－x－1＝0得：x＝，
∵是一元二次方程x2－x－1＝0较大的根，
∴＝，
∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，
∴ ＜＜2，即1.5＜＜2.
故选：C.
7﹒若a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况是（ ）
A﹒有两个相等的实数根 B﹒有两个不相等的实数根
C﹒没有实数根 D﹒有一个根为0
解答：在方程ax2+bx+c＝0中，＝b2－4ac，
∵(a－c)2＝a2－2ac+c2＞a2+c2，
∴ac＜0，则－4ac＞0，
∴b2－4ac＞0，即＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根.
故选：B.
8﹒若关于x的一元二次方程x2－2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象是（ ）www.21-cn-jy.com
A. B. C. D.
解答：∵关于x的一元二次方程x2－2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，
∴＝4－4(kb+1)＞0，解得：kb＜0，
A. k＞0，b＜0，即kb＜0，故A选项正确；
B. k＞0，b＞0，即kb＞0，故B选项不正确；
C. k＜0，b＜0，即kb＞0，故C选项不正确；
D. k＜0，b＝0，即kb＝0，故D选项不正确；
故选：A.
9﹒三角形两边长分别为8和6，第三条边长为一元二次方程x2－16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）21·世纪*教育网
A﹒24 B﹒48 C﹒24或8 D﹒8
解答：用因式分解法解方程x2－16x+60＝0得x1＝6，x2＝10，
当第三条边长为6时，如图，
在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，
作AD⊥BC于点D，则BD＝CD＝4，
AD＝ ＝＝2，
∴S△ABC＝×8×2＝8，
当第条边长为10时，因为62+82＝102，所以此三角形为直角三角形，
∴S＝×8×6＝24，
则该三角形的面积为24或8.
故选：C.
10.现代互联网技术的广泛应用，促进了快递业高速发展，据调查，我市某家快递公司，去年10月份与12月份完成投递的快递部件分别为6.3万件和8万件.设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A﹒6.3(1+2x)＝8 B﹒6.3(1+x)＝8
C﹒6.3+6.3(1+x)+6.3(1+x)2＝8 D﹒6.3(1+x)2＝8
解答：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，
根据题意，得：6.3(1+x)2＝8.
故选：D.
二、填空题
11.若方程(m－3)－x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为_____________.
解答：根据一元二次方程的定义得：，解得：m＝－3.
故答案为：－3.
12.若关于x的方程x2+(1－m2)x+6＝0的一个实数根恰是的算术平方根，则m＝_______.
解答：由于的算术平方根为3，所以该方程的一个实数根为x＝3，
把x＝3代入该方程得：9+3(1－m2)+6＝0，解得：m＝±3.
故答案为：±3.
13.关于x的方程kx2－4x－4＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________.
解答：∵关于x的方程kx2－4x－4＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且b2﹣4ac＞0，即，解得k＞﹣1且k≠0，
∴k的最小整数值为：1．
故答案为：1．
14.如果4个数a，b，c，d排列成，那么我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc.若＝6，则x＝_____________.www-2-1-cnjy-com
解答：根据题意得：2x(x+1)－(x+1)(x－2)＝6，
整理得：x2+3x－4＝0，
把方程左边因式分解得：(x+4)(x－1)＝0，
∴x+4＝0或x－1＝0，
∴x＝－4或x＝1，
故答案为：－4或1.
15.已知：方程x2－7x+12＝0的两根恰好是Rt△ABC的两条边长，则Rt△ABC的第三边长为_______________.2-1-c-n-j-y
解答：解方程x2－7x+12＝0得：x1＝3，x2＝4，
则Rt△ABC的两条边长分别是3和4，
当3和4都是直角边时，第三边＝＝5，
当4为斜边时，第三边＝＝，
故第三边长是5或.
故答案为：5或.
16.某种商品的进价为40元/个，如果按每个50元出售，就能卖出500个.经市场行情调查，这种商品每个涨价2元，其销售量就减少8个，商家为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？若设每个商品涨价x元，则可列出方程为________________________________.
解答：设每个商品涨价x元，则每个商品的利润为(50－40+x)元，
销量为[500－(8÷2)x]个
由商家为了赚得8000元的利润，可列出方程为：(50－40+x)[500－(8÷2)x]＝8000.
故答案为：(50－40+x)[500－(8÷2)x]＝8000.
三、解答题
17.（10分）用适当方法解下列方程：
（1）(y+)2＝4y （2）(x+)(2x－)＝3(x+1)
解答：（1）去括号，得y2+2+3＝4y，
化简，得y2－2y+3＝0，
即y2－2y+()2＝0，
则(y－)2＝0，
解得y1＝y2＝.
（2）去括号，得2x2－x+2x－2＝3x+3，
化简、整理，得2x2－2x－5＝0，
则a＝2，b＝－2，c＝－5，
b2－4ac＝(－2)2－4×2×(－5)＝48，
∴x＝＝，
即x1＝，x2＝.
18.（6分）已知关于x的方程(k2－1)x2+(2k+1)x+1＝0.
（1）若方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若方程有两个不相等的实数根，请你选择一个合适的k值，求此时方程的根.
解答：（1）①当k2－1＝0时，k＝±1，
当k＝1时，原方程为3x+1＝0，此时方程为一元一次方程，有实数根；
当k＝－1时，原方程为－x+1＝0，此时方程为一元一次方程，有实数根；
②当k2－1≠0，即k≠±1，＝(2k+1)2－4(k2－1)＝4k+5≥0，
解得 k≥－，
∴k≥－且k≠±1，
综合上述，当k≥－时，原方程有实数根.
（2）由（1）知：当k＞－时，原方程有两个不相等的实数根，
当k＝0时，原方程为－x2+x+1＝0，
方程两边同时乘以－1，得x2－x－1＝0，
则a＝1，b＝－1，c＝－1，＝5，
∴x＝，
即x1＝，x2＝.
19.（8分）如图，要设计一幅长为30cm，宽为20cm的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖条的宽度之比为2：3.如果要彩条所占面积是图案面积的19%，问横、竖彩条的宽度各为多少？21教育网
解答：设横彩条的宽为2xcm，竖彩条的宽为3xcm，
根据题意，得(20－2x)(30－3x)＝20×30(1－19%)，
化简，得(10－x)2＝81，
解得x1＝1，x2＝19，
∵当x＝19时，2x＝38＞20，
∴x＝19不合题意，舍去，
∴x只能取1，
则2x＝2，3x＝3，
答：横彩条的宽为2cm，竖彩条的宽为3cm.
20.（8分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克，且10≤x≤18）之间的函数关系如图所示，如果该经销商想要每天获得150元的销售利润，那么销售价应定为多少元？
解答：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
把(10，40)，(18，24)代入上式，得，
解得，
∴y＝－2x+60（10≤x≤18），
∵该经销商想要每天获得150元的销售利润，
∴(x－10)y＝150，即(x－10)(－2x+60)＝150，
化简、整理，得x2－40x+375＝0，
解这个方程，得x1＝15，x2＝25（不合题意，舍去）
答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元.
21.（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm.点P从点A开始沿AB边向终点B以1cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BC边向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后，P，Q两点之间的距离为4.
解答：∵∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm，
∴AB＝＝＝6（cm），
设经过x秒后，P，Q两点之间的距离为4，
则BQ＝2xcm，PB＝(6－x)cm，
∵BQ2+PB2＝PQ2，且PQ＝4，
∴(2x)2+(6－x)2＝(4)2，
化简、整理，得5x2－12x+4＝0，
解这个方程，得x1＝2，x2＝，
答：经过2秒或秒后，P，Q两点之间的距离为4.
22.（12分）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．21*cnjy*com
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
解答：（1）设该种商品每次降价的百分率为x，
根据题意，得400×(1﹣x)2＝324，
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品a件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣a）件，
第一次降价后的单件利润为：400×(1﹣10%)﹣300＝60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300＝24（元/件）．
依题意得：60a+24×(100﹣a)＝36a+2400≥3210，
解得：a≥22.5．
∴a≥23，
答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件．
23.（12分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利和减少库存，商场决定采取适当降价措施开展促销活动，经调查发现，如果每件降价1元，则每天可多销售2件.21cnjy.com
（1）商场若想每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）问在这次活动中，平均每天能否获利1500元？若能，求出每件衬衫应降价多少元？若不能，请说明理由21·cn·jy·com
解答：（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利(40－x)元，每天可以售出(20+2x)件，
根据题意，得(40－x)(20+2x)＝1200，
化简、整理，得x2－30x+200＝0，
解得x1＝10，x2＝20，
为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应取20，
故商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元.
（2）不能，理由如下：
假设能达到，根据题意，得(40－x)(20+2x)＝1500，
化简、整理，得x2－30x+350＝0，
∵＝302－2×1×350＝－500＜0，
∴此方程没有实数根，即方程无解，
∴商场平均每天盈利不能达到1500元.
浙教版八下数学第2章《一元二次方程》单元培优测试题
班级_________ 姓名_____________ 得分_____________
注意事项：本卷共有三大题23小题，满分120分，考试时间120分钟.
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1﹒下面关于x的方程中：①ax2－2x－1＝0；②(x－3)2－(x－1)2＝1；③(x+1)(x－3)＝2；④x2+＝5；⑤－x2＝0，是一元二次方程的有（ ）21世纪教育网版权所有
A﹒1个 B﹒2个 C﹒3个 D﹒4个
2﹒若关于x的一元二次方程(2m+6)x2+x－1＝8－m2的常数项是0，则m的值是（ ）
A﹒－3 B﹒3 C﹒±3 D﹒9
3﹒若关于x的方程x2－4x+k＝0的一个根为2－，则k的值为（ ）
A﹒1 B﹒－1 C﹒2 D﹒－2
4﹒若p是关于x的方程ax2+2x+c＝0(a≠0)的一个根，设M＝1－ac，N＝(ap+1)2，则M与N的大小关系正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A﹒M＞N B﹒M＝N C﹒M＜N D﹒不能确定
5﹒将代数式x2－4x+6配方后，发现它的最小值为（ ）
A﹒－ B﹒2 C﹒－2 D﹒2
6﹒已知是一元二次方程x2－x－1＝0较大的根，则下面对的估计正确的是（ ）
A﹒0＜＜1 B﹒0＜＜1.5 C﹒1.5＜＜2 D﹒2＜＜3
7﹒若a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况是（ ）
A﹒有两个相等的实数根 B﹒有两个不相等的实数根
C﹒没有实数根 D﹒有一个根为0
8﹒若关于x的一元二次方程x2－2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A. B. C. D.
9﹒三角形两边长分别为8和6，第三条边长为一元二次方程x2－16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）21·世纪*教育网
A﹒24 B﹒48 C﹒24或8 D﹒8
10.现代互联网技术的广泛应用，促进了快递业高速发展，据调查，我市某家快递公司，去年10月份与12月份完成投递的快递部件分别为6.3万件和8万件.设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A﹒6.3(1+2x)＝8 B﹒6.3(1+x)＝8
C﹒6.3+6.3(1+x)+6.3(1+x)2＝8 D﹒6.3(1+x)2＝8
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.若方程(m－3)－x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为_____________.
12.若关于x的方程x2+(1－m2)x+6＝0的一个实数根恰是的算术平方根，则m＝_______.
13.关于x的方程kx2－4x－4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________.
14.如果4个数a，b，c，d排列成，那么我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc.若＝6，则x＝_____________.www.21-cn-jy.com
15.已知：方程x2－7x+12＝0的两根恰好是Rt△ABC的两条边长，则Rt△ABC的第三边长为_______________.www-2-1-cnjy-com
16.某种商品的进价为40元/个，如果按每个50元出售，就能卖出500个.经市场行情调查，这种商品每个涨价2元，其销售量就减少8个，商家为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？若设每个商品涨价x元，则可列出方程为________________________________.
三、解答题（本题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.（10分）用适当方法解下列方程：
（1）(y+)2＝4y （2）(x+)(2x－)＝3(x+1)
18.（6分）已知关于x的方程(k2－1)x2+(2k+1)x+1＝0.
（1）若方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若方程有两个不相等的实数根，请你选择一个合适的k值，求此时方程的根.
19.（8分）如图，要设计一幅长为30cm，宽为20cm的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖条的宽度之比为2:3.如果要彩条所占面积是图案面积的19%，问横、竖彩条的宽度各为多少？2-1-c-n-j-y
20.（8分）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克，且10≤x≤18）之间的函数关系如图所示，如果该经销商想要每天获得150元的销售利润，那么销售价应定为多少元？
21.（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm.点P从点A开始沿AB边向终点B以1cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BC边向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后，P，Q两点之间的距离为4.
22.（12分）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．21教育网
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
23.（12分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利和减少库存，商场决定采取适当降价措施开展促销活动，经调查发现，如果每件降价1元，则每天可多销售2件.21cnjy.com
（1）商场若想每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）问在这次活动中，平均每天能否获利1500元？若能，求出每件衬衫应降价多少元？若不能，请说明理由.21·cn·jy·com
