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一元二次方程的解法——第三课时
班级：___________姓名：___________得分：__________
1． 选择题（每小题3分，9分）
1、方程的解是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、一元二次方程x2＋x＋3＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3、已知一元二次方程：①x2＋2x＋3＝0，x2－2x－－3＝0．下列说法正确的是( )
A．①②有实数解
B．①无实数解，②有实数解
C．①有实数解，②无实数解
D．①②都无实数解
二、计算题（每小题5分，30分）
（4）、x2－2x＝0；
（5）3x2＋4x＝－1 （6）2x2－4x＋5＝0
三、解答题（每小题10分，60分）
1.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0. 求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.21世纪教育网版权所有
2、已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数根，当m取最大值时，求该一元二次方程的根．
3. m为任意实数，试说明关于x的方程恒有两个不相等
的实数根。
4、已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0．
(1)当m＝3时，判断方程的根的情况；
(2)当m＝3时，求方程的根．
5、解关于x的方程x2－2mx＋m2－2＝0．
6、解关于x的方程(k－1)x2＋(k－2)x－2k＝0．()
参考答案
1． 选择题、
1.B
【解析】
由公式法可知解为
2． C
【解析】判断上述方程的根的情况，只要看根 ( http: / / www.21cnjy.com )的判别式△＝b2－4ac的值的符号就可以了．∵a＝1，b＝1，c＝3，∴△＝b2－4ac＝12－4×1×3＝－11＜0，∴此方程没有实数根．故选C．21教育网
3. B．
【解析】 方程①的判别式△=4-12=－8，则①没有实数解；②的判别式△=4+12=16，则②有实数解.故选B.21cnjy.com
2、计算题
1. 解：
2. 解：
3、
( http: / / www.21cnjy.com )
4、x2－2x－2＝0，
∵a＝1，b＝－2，c＝－2，∴b2－4ac＝(－2)2－4X1×(－2)－12＞0，
∴，∴，.
5、原方程可化为3x2＋4x＋1＝0，
∵a＝3，b＝4，c＝1，∴b2－4ac＝42－4×3×1＝4＞0，
6、2x2－4x＋5＝0，
∵a＝2，b＝－4，c＝5，∴b2－4ac＝(－4)2－4×2×5＝－24＜0，
∴该方程没有实数根．
3、解答题
1、(1)Δ=2k2+8>0, ∴不论k为何值,方程总有两不相等实数根.
2、根据根的判别式的意义可得△＝4－4m≥0，解得m≤1，所以m的最大值为1，此时方程为x2＋2x＋1＝0，然后运用公式法解方程．21·cn·jy·com
解：∵关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数根，
∴△＝4－4m≥0，∴m≤1，∴m的最大值为1，
当m＝1时，一元二次方程变形为x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1．
3、
∵不论m取任何实数，总有
∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根
4、(1)当m＝3时，△＝b2－4ac＝22－4×3＝－8＜0，∴原方程无实数根.
(2)当m＝－3时，原方程变形为x2＋2x－3＝0.
∵b2－4ac＝4＋12＝16，，
∴x1＝1，x2＝－3.
5、解：∵a＝1，b＝－2m，c＝m2－2，
∴，
∴，
6、当k＝1时，原方程为－x－2＝0，∴x＝－2．
当k≠1时，∵a＝k－1，b＝k－2，c＝－2k，
∴b2－4ac＝(k－2)2－4(k－1)(－2k)＝9k2－12k＋4＝(3k－2)2≥0，
∴，∴，
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一元二次方程的解法
第三课时公式法解方程
【义务教育教科书新浙教版八年级下册】
学校：________
教师：________
配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤：
(1)移项:把常数项移到方程的右边;
(2)配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
(3)开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
(4)求解:解一元一次方程;
(5)定解:写出原方程的解.
课前回顾
情境引入
你能用配方法解一元二次方程的一般式吗？
(1)移项；(2)配方；(3)开方；(4)求解；(5)定解
步骤依旧如下：
把方程两边都除以
解:
移项，得
配方，得
即
探究1
求解，得
一元二次方程的求根公式
(a≠0, b2-4ac≥0)
开方，得
探究1
公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当 时，方程有实数根吗
b2-4ac<0
如果 ，那么方程的两个根为
归纳
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
归纳
解（1）对方程 ，
化为 的形式
确定a，b，c的值
求b2－4ac的值
当b2－4ac≥0时，则将a，b，
c及b2－4ac的值代入求根公
式求出方程的根，若b2－4a
c＜0，则方程无实数根
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
典例精讲
(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的求根公式：x＝ _______________________________________.
归纳
(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；
②确定a，b，c的值；
③求b2－4ac的值；
④当b2－4ac≥0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．
典例精讲
为什么只有一个一个根呢？
例1：用公式法解下列一元二次方程：
典例精讲
例1：用公式法解下列一元二次方程：
x2=3x-8
解：移项，得x2-3x+8=0
∵a=1，b=-3，c=8
b2-4ac=9-4×1×8=-23＜0
∴原方程无解
这个方程为什么没有根呢？
典例精讲
方程有两个不相等的根
方程有两个相等的根
方程没有实数根
（3）x2=3x-8
总结
根的判别式
方程根的情况：
总结
练习2
例2：解方程
练习2
关于x的一元二次方程 ，当m满足什么条件时，方程的两根互为相反数？
解：根据题意得△=b2 4ac 0，
设方程两个为x1，x2，则x1+x2= =0，
解得b=0，
所以ac 0，
所以当a、b、c满足b=0，ac 0且a≠0时，方程两根互为相反数。
1.方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，
所以方程的根的情况是 .
2.下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A.x2=9 B.4x2=3(4x-1)
C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0
-8
方程无实数根
D
达标测评
3.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（ ）
A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac＜0
C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0
D
解：
4、已知方程
求c和x的值.
m为何值时，关于x的一元二次方程
2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
应用提高
解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1
∴b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0 ∴m＞
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0 ∴m=
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0 ∴m＜
∴当m＞ 时，方程有两个不相等的实数根；当m= 时，
方程有两个相等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根
解答
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、用公式法解一元二次方程。
2、一元二次方程根的判别式。
布置作业
教材38页习题第2、3题。登陆21世纪教育 助您教考全无忧
课题：一元二次方程的解法----第三课时
1、用公式法 ( http: / / www.21cnjy.com )解一元二次方程。2、一元二次方程根的判别式。
2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探 ( http: / / www.21cnjy.com )讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行一元二次方程的计算和化简． （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出一元二次方程解法规定，并运用规定进行计算．3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索一元二次方程的重要结论，一元二次方程的解法规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学难点：一元二次方程根的判别式。
教学过程
(1)移项:把常数项移到方程的右边;
(2)配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
(3)开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
(4)求解:解一元一次方程;
(5)定解:写出原方程的解.
一、情境引入（3分钟）由生活中的实例引入投影的概念，引起学生的学习兴趣 一起用配方法解下面这个一元二次方程吧移项；(2)配方；(3)开方；(4)求解；(5)定解 ( http: / / www.21cnjy.com )
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
用公式法解一元二次方程的前提是:1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
用公式法解一元二次方程的一 ( http: / / www.21cnjy.com )般步骤：
①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；
②确定a，b，c的值；
③求b2－4ac的值；
④当b2－4ac≥0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．
为什么只有一个一个根呢？
( http: / / www.21cnjy.com )
典题精讲 ( http: / / www.21cnjy.com )这个方程为什么没有根呢？ ( http: / / www.21cnjy.com )
关于x的一元二次方程 ，当m满足什么条件时，方程的两根互为相反数？
解：根据题意得△=b2 4ac 0，
设方程两个为x1，x2，则x1+x2= =0，
解得b=0，
所以ac 0，
所以当a、b、c满足b=0，ac 0且a≠0时，方程两根互为相反数。
A.x2=9 B.4x2=3(4x-1)
C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0 3.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（D ）A.b2-4ac＞0 ( http: / / www.21cnjy.com ) B. b2-4ac＜0 C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0 ( http: / / www.21cnjy.com )
m为何值时，关于x的一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )
2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？ ( http: / / www.21cnjy.com )
体验收获 今天我们学习了哪些知识1、用公式法解一元二次方程。2、一元二次方程根的判别式。
布置作业 教材38页习题第2、3题。
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