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课题：一元二次方程的应用——第一课时
教学目标 1．知识与技能 （1）学会解一元二 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程应用题的一般步骤。 ． （2）能够解决生活中增长率问题。2．过程与方法 先提出问题，让学生探讨、分析问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行一元二次方程的计算3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索一元二次方程的重要结论，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重难点 教学重点：学会解一元二次方程应用题的一般步骤。教学难点：能够解决生活中增长率问题。
教学过程
一、课前回顾（2分钟）学生与老师共同回顾上节课所学内容，温故而知新。 解一元二次方程的四种方法因式分解法开平方法配方法公式法学了这么多方法，我们来试着将它们应用到生活中吧！
一、情境引入（3分钟）由生活中的实例引入投影的概念，引起学生的学习兴趣 例1.某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发 ( http: / / www.21cnjy.com )现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株 列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同吗 列一元一次方程解应用题的步骤：⑴审题：理解题意。 ⑵设元（未知数） ⑶用含未知数的代数式表示相关的量。 ⑷寻找相等关系，列方程。⑸解方程及检验。
二、探究1（10分钟） 分析等量关系: 平均单株盈利×株数=每盆盈利;平均单株盈利=3-0.5×每盆增加的株数.设未知数: 解：设每盆增加x株.间接设元法在应用题的求问什么未知量时 ( http: / / www.21cnjy.com )，但因该未知量较隐含，不易直接设元，则用间接设元法，设其它未知元为x，而所要求知的未知量可用含其它未知元x的代数式 ( http: / / www.21cnjy.com )株数×平均每株盈利=每盆盈利 ( http: / / www.21cnjy.com )列方程解应用题的步骤有: ( http: / / www.21cnjy.com )练习1：雁荡山大龙湫景区，经过试验发现每天的门 ( http: / / www.21cnjy.com )票收益与门票价格成一定关系.票价为40元/人时，平均每天来的人数是380人，当票价每增加1元，平均每天就减少2人。要使每天的门票收入达到24000元，票价应定多少元？（列出方程即可）
三、探究2（10分钟） 1、去年的产量为5万吨，今年比去年增长了20%，今年的产量是多少今年比去年增长了20%，应理解为；今年是去年的（1+20%）倍所以:今年的产量=去年的产量x(1+20%)2、一件价格为200元的商品连续两次两次降价，每次降价的百分数为15%，降价后的商品价格是多少？列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及 增长或降低的次数之间的数量关系.(1)增长率问题: 平均增长率公式为 (2)降低率问题：平均降低率公式为(a 为原来数，x 为平均增长或降低率，n 为增长或降低次数，b 为增长或降低后的量.)
典题精讲 例2：根据图中的统计图，求2009年到2011年，我国风电新增装机容量的平均年增长率(精确到0.1 % ). ( http: / / www.21cnjy.com )解：设2009年到2011年，我国风电新增装机容量的平均年增长率为x答：设2009年到2011年，我国风电新增装机容量的平均年增长率为22.4%练习2：（1）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都是x，那么一年后的销售收入将达到_ __万元（用代数式表示）（2）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都是x，那么两年后的销售收入将达到_ __万元（用代数式表示）
达标测试（5分钟）课堂测试，检验学习结果 1、某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米。设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x ，则可列方程为_ 4（1+x)2=7__；2、一批上衣原来每件500元第一次降价 销售甚慢,第二次大幅度降价的百分率是第一次的2倍 结果以每件240元的价格迅速售出. 列方程求每次降价的百分率500(1-x)(1-2X)=240 3、已知两个数的和等于12，积等于32，则这两个是 4，8 。4.有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数。解：设原来的两位数的个位数为x,则十位上的数为8-x，根据题意得：［10（8-x）+x］［10x+(8-x)］=1855整理后得： x2-8x+15=0解这个方程得：x1=3 x2=5答：原来的两位数为35或53.
应用提高（5分钟）能力提升，学有余力的同学可以仔细研究 某旅行社的一则广告如下：我社组团去 ( http: / / www.21cnjy.com )龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元。甲公司分批组织员工到龙湾风景区旅游，现计划用28000元组织第一批员工去旅游，问这次旅游可以安排多少人参加？ ( http: / / www.21cnjy.com )
体验收获 1、解一元二次方程应用题的一般步骤。 2、增长率问题。
布置作业 教材41页习题第1、2题。
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一元二次方程
班级：___________姓名：___________得分：__________
1． 填空选择题（每小题5分，20分）
1、“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐 ( http: / / www.21cnjy.com )渐成为人们喜爱的交通工具，某运动商城的自行车销售量自2015年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆，若该商城自2015起每个月自行车销量的月平均增长率相同，求月平均增长率．若设月平均增长率为x，由题意可得方程：___________________ 21教育网
．
2、已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长可以是（ ）
A．5 B．7 C．5或7 D．10
3、某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）21·世纪*教育网
A． 168（1+x）2=128 B． 168（1﹣x）2=128 C． 168（1﹣2x）=128 D． 168（1﹣x2）=128
4、某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ）21*cnjy*com
A． 48（1﹣x）2=36 B． 48（1+x）2=36 C． 36（1﹣x）2=48 D． 36（1+x）2=48
三、解答题（每小题10分，80分）
1、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感 ( http: / / www.21cnjy.com )染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【来源：21cnj*y.co*m】
2、超市销售一种饮料，平均 ( http: / / www.21cnjy.com )每天可售出100箱，每箱利润120元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱降价1元，每天可多售出2箱．如果要使每天销售饮料获利14000元，问每箱应降价多少元？ 同时为了减少库存，那应降价多少？
3、截止到2000年12月31日，我国的上网计算机总数为900万台；截止到2002年12月31日，我国的上网计算机总数以达1800万台.【出处：21教育名师】
（1）求2000年12月31日至2002年12月31日我国的上网计算机台数的年平均增长率（精确到0.1%）.21教育名师原创作品
2）上网计算机总数200 ( http: / / www.21cnjy.com )1年12月31日至2003年12月31日的年平均增长率与2000年12月31日至2002年12月31日的年平均增长率相比，哪段时间年平均增长率较大？
( http: / / www.21cnjy.com )
4、某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？21cnjy.com
5.某单位组织职工观光旅游，旅行社的收 ( http: / / www.21cnjy.com )费标准是：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元；如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团，结束后，共支付给旅行社2700元．求该单位这次共有多少人参加旅游？21*cnjy*com
6．今年3月，位于虎溪大学城的龙湖“ ( http: / / www.21cnjy.com )千万间”公租房项目开始动工．这是一个让人心动的“民生住房账本”未来10年，重庆市将建设4000万平方米的公共租赁房，今年开建500万平方米，3年（2010年～2012年）时间内完成2000万平方米的建设任务．某建筑公司积极响应，计划在今年12个月完成一定的建房任务．已知每平米的成本为1200元，按每平方米1600元的价格卖给政府．该公司平时每月能建2000平方米，为了加快进度，公司采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到提高．这样，第一月建了2200平方米，以后每月建房都比前一月多200平方米．由于机器损耗等原因，每增加100平方米，当月的所有建筑面积，平均每1平方米的成本就增加2元．
（1）若全市公共租赁房今年（2010年）到明年的建筑面积增长率就是以后每年的增长率，求此增长率．
（2）今年4月份玉树发生了7.1级地震，该公司决定把最近某个月144万元的利润捐给灾区、请问是第几的个月？
7、为落实国务院房地产调控政策，使 ( http: / / www.21cnjy.com )“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？
8、某工厂一种产品2013年的产量是300万件，计划2015年的产量达到363万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；
（2）2014年这种产品产量应达到多少万件？
参考答案
1． 选择题、
1.64（1+x）2=100．
【解析】设月平均增长率为x，根据题意列方程：64（1+x）2=100．故答案为：64（1+x）2=100．2-1-c-n-j-y
2. B
【解析】：解方程，（x﹣1）（x﹣3）=0，解得，；
∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；
∴等腰三角形的底为1，腰为3；
∴三角形的周长为1+3+3=7．
故选B．
3. B．
【解析】 设每次降价的百分率为x，根据降 ( http: / / www.21cnjy.com )价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1﹣x），第二次后的价格是168（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【版权所有：21教育】
解：根据题意得：168（1﹣x）2=128，
故选B．
4. D
【解析】三月份的营业额=一月份的营业额×（1+增长率）2，把相关数值代入即可．
解：二月份的营业额为36（1+x），
三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2，
即所列的方程为36（1+x）2=48，
故选D．
2、解答题
1. 解：设每轮感染中平均一台电脑会 ( http: / / www.21cnjy.com )感染x台电脑，则经过1轮后有(1＋x)台被染上病毒，2轮后就有(1＋x)2台被感染病毒，依题意，得(1＋x)2＝81，解得x1＝8，x2＝－10(舍去)．
所以每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．
由此规律，经过3轮后，有(1＋x)3＝(1＋8)3＝729台电脑被感染．
由于729>700，所以若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．
2、解：设要使每天销售饮料获利14000元，每箱应降价x元，
依据题意列方程得，
（120-x）（1 ( http: / / www.21cnjy.com )00+2x）=14000，
整理得x2-70x+1000=0， 解得x1=20，x2=50；
答：每箱应降价20元或50元，可使每天销售饮料获利14000元 21世纪教育网版权所有
当x=20时，每天可售出100+2x=140箱。
当x=50时，每天可售出100+2x=200箱。
∵200>140, ∴应降价50元。
3、解：设2000年12月31日至2002年12月31日我国计算机上网总台数的年平均增长率为x，由题意得21·cn·jy·com
(2)解：设2001年12月31日至2003年12月31日上网计算机总台数的年平均增长率为y，由题意得www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
答： 2001年12月31日至2003年12月31日上网计算机总台数的年平均增长率较大。
4、分析：设该公司二、三月份营 ( http: / / www.21cnjy.com )业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．www-2-1-cnjy-com
解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．
那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31
把（1+x）当成一个数，配方得： （1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56
x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6
方程的根为x1=10%，x2=-3.1
因为增长率为正数，
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．
5、分析：易得人数超过了25人，等量关 ( http: / / www.21cnjy.com )系为：（人均旅游费用-超过25人的人数×2）×人数=2700，把相关数值代入求得人均旅游费用不得低于70元的旅游方案即可．解答：解：设该单位这次参加旅游的共有x人．2·1·c·n·j·y
∵100×25＜2700，∴x＞25．[100-2（x-25）]x=2700，x2-75x+1350=0，
解得x1=30，x2=45，
当x=30时，100-2（x-25）=90＞70，符合题意；
x=45时，100-2（x-25）=60＜70，不符合题意；
答：该单位这次参加旅游的共有30人．
6、解：（1）设所求增长率为x，由题意得：
500+500（1+x）+500（1+x）2=2000（2分）
解此方程得： x1=-1+=0.4 x2=-1-不符合题意舍去）
答：所求增长率为40%、
（2）设该公司决定把最近某个月90万元的利润捐给灾区、是第y的个月，由题意得：
（2000+200x）（1600-1200- 200x/100 2）=1440000
解此方程得：y1=10，y2=80（不符合题意舍去）
答：该公司决定把第10个月90万元的利润捐给灾区
7、（1）设投资平均增长率为x，根据题意得：，解得，（不符合题意舍去）
答：政府投资平均增长率为50%；
（2）（万平方米）
答：2015年建设了18万平方米廉租房．
8、（1）2013年到2015年这种产品产量的年增长率x，则
300（1+x）2=363，解得 x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去）．
答：2013年到2015年这种产品产量的年增长率10%．
（2）2014年这种产品的产量为：300×（1+0.1）=330（万件）．
答：2014年这种产品的产量应达到330万件．
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一元二次方程的应用
——第一课时
【义务教育教科书新浙教版八年级下册】
学校：________
教师：________
因式分解法
开平方法
配方法
公式法
解一元二次方程的四种方法
课前回顾
例1.某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株
情境导入
学了这么多方法，我们来试着将它们应用到生活中吧！
⑴审题：理解题意。
⑵设元（未知数）
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系，列方程。
⑸解方程及检验。
列一元一次方程解应用题的步骤：
想一想
列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同吗
平均单株盈利×株数=每盆盈利;
平均单株盈利=3-0.5×每盆增加的株数.
本题涉及了哪些数量呢
探究1
例1.某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株
分析等量关系:
探究1
解：设每盆增加x株.
设未知数:
间接设元法
间接设元法
在应用题的求问什么未知量时，但因该未知量较隐含，不易直接设元，则用间接设元法，设其它未知元为x，而所要求知的未知量可用含其它未知元x的代数式
株数×平均每株盈利=每盆盈利
(3+x)
(3-0.5x)
=10
株数
平均每株盈利
每盆盈利
… … …
3
3
3×3
增加1株
3+1
3-0.5
增加2株
3+2
3-2.5×2
增加x株
3+x
3-0.5x
10
列表
探究1
解：设每盆增加x株.
(3+x)
(3-0.5x)
=10
3+x=4， 3+x=5
答：每盆应该植4或5株
解答
列方程解应用题的步骤有:
审
设
列
解
即审题，找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系。
设元，包括设直接未知数或间接未知数，以及用未知数字母的代数式表示其他相关量。
根据等量关系列出方程
解方程。
验
检验根的准确性及是否符合实际意义。
总结
雁荡山大龙湫景区，经过试验发现每天的门票收益与门票价格成一定关系.票价为40元/人时，平均每天来的人数是380人，当票价每增加1元，平均每天就减少2人。要使每天的门票收入达到24000元，票价应定多少元？（列出方程即可）
票价×人数=门票收入
加1元
少2人
加x元
少2x人
(40+x)
(380-2x)
练习1
直接设票价的价格为x元，你会求吗？
=24000
1、去年的产量为5万吨，今年比去年增长了20%，
今年的产量是多少
今年比去年增长了20%，应理解为；
今年是去年的（1+20%）倍
所以:今年的产量=去年的产量x(1+20%)
想一想
探究2
2、一件价格为200元的商品连续两次两次降价，每次降价的百分数为15%，降价后的商品价格是多少？
分析；第一次降价后的商品价格为原来的
（1-15%）倍
即 第一次为200x（1-15%）
第二次为第一次的（1-15%）倍，
即第二次为200 x（1-15)x（1-15%）
=200x(1-15%)2
概括为
第一次x（1-降价百分数）2=第二次
想一想
探究2
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及 增长或降低的次数之间的数量关系.
(1)增长率问题: 平均增长率公式为
(2)降低率问题：平均降低率公式为
(a 为原来数，x 为平均增长或降低率，n 为增长或降低次数，b 为增长或降低后的量.)
平均增长率问题
a(1+x)n=b
a(1-x)n=b
探究2
例2：根据图中的统计图，求2009年到2011年，我国风电新增装机容量的平均年增长率(精确到0.1 % ).
典型例题
解：设2009年到2011年，我国风电新增装机容量的平均年增长率为x
答：设2009年到2011年，我国风电新增装机容量的平均年增长率为22.4%
解答
二次增长后的值为
依次类推n次增长后的值为
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为
二次降低后的值为
依次类推n次降低后的值为
（1）增长率问题
（2）降低率问题
归纳
（1）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都是x，那么一年后的销售收入将达到____ _ _万元（用代数式表示）
（2）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都是x，那么两年后的销售收入将达到__ ____万元（用代数式表示）
练习2
1、某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米。
设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x ，则可列方程为________________；
4（1+x)2=7
达标测评
2、一批上衣原来每件500元第一次降价 销售甚慢,第二次大幅度降价的百分率是第一次的2倍
结果以每件240元的价格迅速售出.
列方程求每次降价的百分率________________
500(1-x)(1-2X)=240
3、已知两个数的和等于12，积等于32，则这两个是 。
4，8
4.有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数。
解：设原来的两位数的个位数为x,则十位上的数为8-x，根据题意得：
［10（8-x）+x］［10x+(8-x)］=1855
整理后得： x2-8x+15=0
解这个方程得：x1=3 x2=5
答：原来的两位数为35或53.
某旅行社的一则广告如下：我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元。甲公司分批组织员工到龙湾风景区旅游，现计划用28000元组织第一批员工去旅游，问这次旅游可以安排多少人参加？
应用提高
1.这个问题的等量关系是什么 ：
首先知道总费用是28000元
即有等量关系“人均费用×人数=28000元”
分析
2.应该怎么设未知数呢 ：
设人数为x
那人均费用应该怎么表示呢
(1)根据:“如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元”
(2)根据:“如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元”
则总费用不超过30×800=24000＜28000;而现用28000元,所以人数应超过30人
a.设的x人,比30人多了多少人？
（x－30）人
b.降了多少元
10(x-30)元
c.实际人均费用是多少
[800－10(x－30)]元
分析
解:
设这次旅游可以安排x人参加,根据题意得:
[800－10(x－30)]·x = 28000
整理,得:
x2-110x+ 2800=0
解这个方程,得:
x1=70 x2=40
当x1=70时,800-10(x-30)=400<500 不合题意,舍去.
当x2=40时, 800-10(x-30)=700>500
∴x=40
答:问这次旅游可以安排40人参加.
解答
人均费用不低于500.
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、解一元二次方程应用题的一般步骤。
2、增长率问题。
布置作业
教材41页习题第1、2题。
