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一元二次方程根与系数的关系
班级：___________姓名：___________得分：__________
1． 选择题（每小题5分，20分）
1．设是方程的两根，则的值是（ ）
（A）15 （B）12 （C）6 （D）3
2．一元二次方程x2－5x＋6＝0的两根分别是x1、x2，则x1＋x2等于( )
A．5 B．6 C．－5 D．－6
3．一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
4．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）
（A） y2+5y－6=0 （B）y2+5y＋6=0 （C）y2－5y＋6=0 （D）y2－5y－6=0
2、填空题（每小题5分，20分）
1、已知关于的方程，若有一个根为0，则=_____，这时方程的另一个根是____；若两根之和为－，则=_______，这时方程的 两个根为_________________.21教育网
2、阅读材料：设一元二次方程ax2＋bx＋c ( http: / / www.21cnjy.com )＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝－，x1·x2＝.根据该材料填空：已知x1、x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，则＋的值为________．21·cn·jy·com
3、如果是两个不相等实数，且满足，，那么等于_________
4、若关于的方程的两个根互为倒数，则＝_______。
三、解答题（每小题15分，60分）
1、不解方程，判断下列方程的实数根的个数：
(1) (2) (3)
2、若是方程的两个根，试求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
3、阅读下面的例题：解方程
解：当x≥0时，原方程化为x2 – x –2=0，解得：x1=2,x2= - 1（不合题意，舍去）
当x＜0时，原方程化为x2 + x –2=0，解得：x1=1,（不合题意，舍去）x2= -2∴原方程的根是x1=2, x2= - 2 21cnjy.com
请参照例题解方程
4、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1) ； (2)
参考答案
1． 选择题、
1、C
【解析】
2. A
【解析】x1＋x2＝－＝－＝5.
3. B．
【解析】x1·x2＝＝＝－2.
4. B
【解析】
y2+5y＋6=0
2、填空题
1、;;;
【解析】
EMBED Equation.3 ①
②
由②，得：
①，得：
2、10
【解析】∵x1、x2是x2＋6x＋3＝0的两实数根，∴x1＋x2＝－6，x1x2＝3，∴＋＝＝＝10.21世纪教育网版权所有
3、-1
【解析】
4、
【解析】
3、解答题
1. 解：(1) ，∴ 原方程有两个不相等的实数根．
(2) 原方程可化为：
，∴ 原方程有两个相等的实数根．
(3) 原方程可化为：
，∴ 原方程没有实数根．
2、解：由题意，根据根与系数的关系得：
(1)
(2)
(3)
(4)
3、阅读下面的例题：解方程
解：当x≥0时，原方程化为x2 – x –2=0，解得：x1=2,x2= - 1（不合题意，舍去）
当x＜0时，原方程化为x2 + x –2=0，解得：x1=1,（不合题意，舍去）x2= -2
∴原方程的根是x1=2, x2= - 2
请参照例题解方程
解：当x≥1时，原方程化为x2 – (x-1) -1=0，解得：x1=1,x2= 0（不合题意，舍去）
当x＜1时，原方程化为x2 +( x-1 )–1=0，解得：x1=1,（不合题意，舍去）x2= -2
∴原方程的根是x1=1, x2= - 2
4、
(2)
(1)
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一元二次方程根与系数的关系
【义务教育教科书新浙教版八年级下册】
学校：________
教师：________
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.的根的判别式是什么
课前回顾
3.一元二次方程的求根公式是什么？
4.一元二次方程的根的情况怎样确定？
课前回顾
方程
两个根 两根之和 两根之积 a与b之间关系 a与c之间关系
情境导入
填写下表:
如果一元二次方程 的两个根
分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？
猜想
相等
相等
两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
请根据以上的观察发现进一步猜想:方程 ax +bx+c=0(a≠0)的 , 与系数a,b,c的关系 .
= ― ─ = ─
结论
这种关系是这几个方程所特有的还是对于任意的一元二次方程都适合的呢？我们来证明一下
如果一元二次方程
的两个根分别是 、 ，那么：
总结
能用这个结论的前提条件为△≥0
证明
证明
利用根与系数的关系求方程的两根的和与积
A
练习1
解析
1、说出下列各方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 - 2x - 1=0
(2) 2x2 - 6x =0
x1+x2=2
x1x2=-1
x1+x2=3
x1x2=0
练习2
例1：设 是一元二次方程 的两个根
求(1) (2)
分析：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入．
课本例题
解答
几种常见的求值:
总结
例2：已知一个是一元二次方程二次项系数是3，它的两个根分别是 请写出这个方程。
解：设这个方程为 ，由一元二次方程根与系数的关系，得：
典型例题
学以致用
1、若关于x的一元二次方程
的两根互为相反数，求m的值
学以致用
∵x1，x2是方程2x2-3x+m=0的两个实数根， ∴x1+x2= ①， 而8x1-2x2=7 ②， 联立①②解之得：x1=1，x2= ， ∴x1 x2= = ， ∴m=1． 故答案为：1．
3
2
1
2
m
2
1
2
1、已知方程 的两根之和与两根之积相等，那么m的值为（ ）
A.1 B.-1 C. 2 D. -2
2、方程 的两根和为4，积为
-3，则a= ，b= 。
B
8
-3
达标测评
3、设x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的两个根，求下列各式的值：
分析：利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法是：(1)利用根与系数的关系求x1＋x2，x1x2的值；(2)将所求的代数式变形转化为用含x1＋x2，x1x2的代数式表示；(3)将x1＋x2，x1x2的值整体代入求出待求式的值．
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.（用两种方法解答）
解法一：
设方程的另一个根为x2.
由根与系数的关系，得
2 ＋ x2 = k+1
2 x2 = 3k
解这方程组，得
x2 =－3
k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
应用提高
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值。（用两种方法解答）
解法二：
设方程的另一个根为x2.
把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0
解这方程，得 k= - 2
由根与系数的关系，得2 x2＝3k
即2 x2＝－6
∴ x2 ＝－3
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、一元二次方程根与系数的关系。
布置作业
教材48页习题第1、2题。登陆21世纪教育 助您教考全无忧
课题：一元二次方程根与系数的关系
教学目标 1．知识与技能 （1）能够 ( http: / / www.21cnjy.com )理解一元二次方程根与系数的关系。 ． （2）能够应用一元二次方程根与系数的关系解决生活中的问题。2．过程与方法 先提出问题，让学生探讨、分 ( http: / / www.21cnjy.com )析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行一元二次方程的计算3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索一元二次方程的重要结论，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重难点 教学重点：能够理解一元二次方程根与系数的关系。教学难点：能够应用一元二次方程根与系数的关系解决生活中的问题。
教学过程
一、课前回顾（2分钟）学生与老师共同回顾上节课所学内容，温故而知新。 列方程解应用题的一般步骤(1)审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．(2)设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法．(3)列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．(4)解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．(5)作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．1.一元二次方程的一般形式是什么？2.的根的判别式是什么3.一元二次方程的求根公式是什么？4.一元二次方程的根的情况怎样确定？ ( http: / / www.21cnjy.com )
一、情境引入（3分钟）由生活中的实例引入投影的概念，引起学生的学习兴趣 ( http: / / www.21cnjy.com )如果一元二次方程 的两个根分别是 、，那么，你可以发现什么结论？ 两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
二、探究1（10分钟） 如果一元二次方程 的两个根分别是 、， 能用这个结论的前提条件为△≥0这种关系是这几个方程所特有的还是对于任意的一元二次方程都适合的呢？我们来证明一下 练习1：利用根与系数的关系求方程的两根的和与积 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
典题精讲 ( http: / / www.21cnjy.com )分析：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入．几种常见的求值: ( http: / / www.21cnjy.com )学以致用： ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
达标测试（5分钟）课堂测试，检验学习结果 1、说出下列各方程的两根之和与两根之积： ( http: / / www.21cnjy.com ) 2、已知方程的两根之和与两根之积相等，那么m的值为（B ） A.1 B.-1 C. 2 D. -23、方程的两根和为4，积为 -3，则a= 8 ，b= —3 。4、设x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的两个根，求下列各式的值： ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )分析：利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法是：(1)利用根与系数的关系求x1＋x2，x1x2的值；(2)将所求的代数式变形转化为用含x1＋x2，x1x2的代数式表示；(3)将x1＋x2，x1x2的值整体代入求出待求式的值．
应用提高（5分钟）能力提升，学有余力的同学可以仔细研究 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.（用两种方法解答） ( http: / / www.21cnjy.com )已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值。（用两种方法解答） ( http: / / www.21cnjy.com )
体验收获 1、一元二次方程根与系数的关系。
布置作业 教材48页习题第1、2题。
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