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一元二次方程
班级：___________姓名：___________得分：__________
选择题（每小题5分，20分）
1、将方程化为的形式，m和n分别是（ ）
A、 1,3 B、-1,3
C、 1，4 D、-1,4
2、用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B.
C. D.
将一元二次方程化为的形式，则b=（ ）
A、3 B、4 C、7 D、13
关于x的一元二次方程有实数根，则（ ）
A. k<0 B. k>0 C. k≥0 D. k≤0
二、计算题（每小题10分，40分）
1、5x2+2x－1=0 2、x2+6x+9=7
3、 4、
三、解答题（每小题10分，40分）
1.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0. 求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.
2、已知是一元二次方程的一个解，且，求的值．
3. 我们知道：对于任何实数，①∵≥0，∴+1＞0；
②∵≥0，∴+＞0.
模仿上述方法解答：
求证：（1）对于任何实数，均有：＞0；
（2）不论为何实数，多项式的值总大于的值．
4.关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
参考答案
选择题、
1.C
【解析】
2． A
【解析】
3. D．
【解析】 配方
4. D
【解析】
，若有实数根，则
-k≥0，k≤0
计算题
1. 解：a=5,b=2,c=－1
∴Δ=b2－4ac=4+4×5×1=24＞0
∴x1·2=
∴x1=
2.解：整理，得：x2+6x+2=0
∴a=1,b=6,c=2
∴Δ=b2－4ac=36－4×1×2=28＞0
∴x1·2==－3±
∴x1=－3+,x2=－3－
3、
4、
解答题
1、(1)Δ=2k2+8>0, ∴不论k为何值,方程总有两不相等实数根.
2、由是一元二次方程的一个解，得：
又，得：
3、（1）；
（2）
即>.
4、解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=-1是方程的根，
∴（a+c）×（-1）2-2b+（a-c）=0，
∴a+c-2b+a-c=0，
∴a-b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，
∴4b2-4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=-1．
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一元二次方程的解法
——第二课时
【义务教育教科书新浙教版八年级下册】
学校：________
教师：________
(1)提取公因式法
(2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
(3)十字相乘法
因式分解的主要方法:
课前回顾
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。
将方程的左边分解因式；
若方程的右边不是零，先移项，使方程的右边为零；
因式分解法解方程的基本步骤：
课前回顾
情境引入
如图，师傅为了修房顶，把一架梯子搁在墙上，AB长5米，AC是BC的2倍，问AC为多少？
还有没有其他求解一元二次方程的方法呢
梯子，墙壁，底面构成了直角三角形。
探究1
AC=2BC
A
B
C
5米
设BC为x米，AC为2x米，
由勾股定理得
探究1
这个一元二次方程的应该怎么解呢
一般地,对于形如x2=a (a>0)的方程,
根据平方根的定义,可解得
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
前面解方程时利用了什么方法呢
归纳
开平方法解一元二次方程的基本步骤：
（1）将方程变形成
归纳
这里的x可以是表示未知数的字母，也可以是含未知数的代数式.
例1：解下列方程:
解：
移项，得
(1)3x2－48=0; (2)(2x－3)2=7
典例精讲
你能用开平方法解下列方程吗
x2－10x=-16
探究2
不能
a
那应该用什么方法呢？
变形为
把一元二次方程的左边配成一个完全
平方式,右边为一个非负常数,然后用
开平方法求解,这种解一元二次方程的方法
叫做配方法.
变形为
ax2+bx+c=0
(x+b)2 =a 的形式（ａ为非负数）
配方法
归纳
配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤：
(1)移项:把常数项移到方程的右边;
(2)配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
(3)开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
(4)求解:解一元一次方程;
(5)定解:写出原方程的解.
归纳
例2： 用配方法解下列一元二次方程
（1） x2+6x=1
典例精讲
移项
配方
开方
求解
定解
配方时,配上的是一次项系数一半的平方.
（2）x2+5x-6=0
典例精讲
二次项系数不是1时，
先把系数变为1。
二次项系数不是1，把它变成1.
二次项系数不是1怎么办？
典例精讲
例3：用配方法解一元二次方程
解答
典例精讲
例4、已知4x2+8(n+1)x+16n是一个关于x的完全平方式，求常数n的值.
典例精讲
典题精讲
练一练
用配方法解下列方程：
（2）x2 – 2x = 3
练一练
（１）方程 的根是 ；
（２）方程 的根是 ；
1、填空
达标测评
(1)x2＋8x＋ =(x＋ )2
配方时,配上的是一次项系数一半的平方.
(2)x2－12x＋ =(x－ )2
16
36
6
4
(3)x2 + 5x＋ =(x + )2
2、用配方法填空
D
应用提高
应用题要注意验根.
应用提高
2、用配方法证明 的值恒小于0.
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、用开平方法解一元二次方程。
2、用配方法解一元二次方程。
布置作业
教材35页习题第2、3题。登陆21世纪教育 助您教考全无忧
课题：一元二次方程的解法----第二课时
教学目标 1．知识与技能 1、用开平方法解一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程。 2、用配方法解一元二次方程。2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分 ( http: / / www.21cnjy.com )析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行一元二次方程的计算和化简． （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出一元二次方程解法规定，并运用规定进行计算．3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索一元二次方程的重要结论，一元二次方程的解法规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重难点 教学重点：用开平方法解一元二次方程。 教学难点：用配方法解一元二次方程。
教学过程
一、课前回顾（2分钟）学生与老师共同回顾上节课所学内容，温故而知新。 因式分解的主要方法:(1)提取公因式法(2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b) a2±2ab+b2=(a±b)2 (3)十字相乘法因式分解法解方程的基本步骤：若方程的右边不是零，先移项，使方程的右边为零；将方程的左边分解因式；根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。
一、情境引入（3分钟）由生活中的实例引入投影的概念，引起学生的学习兴趣 如图，师傅为了修房顶，把一架梯子搁在墙上，AB长5米，AC是BC的2倍，问AC为多少？ ( http: / / www.21cnjy.com )
二、探究1（10分钟） 梯子，墙壁，底面构成了直角三角形。AC=2BC设BC为x米，AC为2x米，由勾股定理得 ( http: / / www.21cnjy.com )这个一元二次方程的应该怎么解呢 前面解方程时利用了什么方法呢 一般地,对于形如x2=a (a>0)的方程,根据平方根的定义,可解得 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.开平方法解一元二次方程的基本步骤：将方程变形成
典题精讲 例1：解下列方程:(1)3x2－48=0; (2)(2x－3)2=7 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
三、探究2（10分钟） 你能用开平方法解下列方程吗 x2－10x=-16那应该用什么方法呢？把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤：(1)移项:把常数项移到方程的右边;(2)配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(3)开方:根据平方根意义,方程两边开平方;(4)求解:解一元一次方程;(5)定解:写出原方程的解.
典题精讲 例2： 用配方法解下列一元二次方程 （1） x2+6x=1 ( http: / / www.21cnjy.com )（2）x2+5x-6=0 ( http: / / www.21cnjy.com )例3：用配方法解一元二次方程二次项系数不是1怎么办？ ( http: / / www.21cnjy.com )例4、已知4x2+8(n+1)x+16n是一个关于x的完全平方式，求常数n的值. ( http: / / www.21cnjy.com )练一练
达标测试（5分钟）课堂测试，检验学习结果 1、填空（１）方程的根是 ；（２）方程的根是 2、用配方法填空(1)x2＋8x＋ 16 =(x＋ 4 )2(2)x2－12x＋ 36 =(x－ 6 )2(3)x2 + 5x＋ =(x + )2配方时,配上的是一次项系数一半的平方.
应用提高（5分钟）能力提升，学有余力的同学可以仔细研究
体验收获 今天我们学习了哪些知识1、用开平方法解一元二次方程。 2、用配方法解一元二次方程。
布置作业 教材35页习题第2、3题。
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