二次根式
知识点回顾
1.二次根式的概念：式子（）叫做二次根式。 .
二次根式有意义的条件：.
4.二次根式的乘法法则：
(1) （）；
（2）（）.
5.二次根式的除法法则：
（1）（）
（2）（）.
5.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
6.最简二次根式的两个特点：
最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；
⑵被开方数中不含分母；
⑶分母中不含根式。
7.二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．21世纪教育网版权所有
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．21教育网
八年级（下）数学（Z）单元测试卷
第1章 二次根式
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2017年启东市月考）二次根式中x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x≤3且x≠0 C．x≤3 D．x＜3且x≠0
2．（2016年山西模拟）下列各式计算正确的是（ ）
A．+= B．4﹣3=1 C．2×=6 D．÷=2
3．（2016春?赵县校级月考）下列二次根式中，与的乘积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2016?西城区二模）教材中“整式的加减”一章的知识结构如图所示，则A和B分别代表的是（ ）21教育网
A．分式，因式分解 B．二次根式，合并同类项
C．多项式，因式分解 D．多项式，合并同类项
5．（2016?滑县二模）若有意义，则满足条件的a的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2016?邹平县一模）下列属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2016?朝阳区校级模拟）下面等式中，对于任意实数，使各式都有意义的实数a总能成立的个数为（ ）www.21-cn-jy.com
（1）|a﹣1|=a﹣1
（2）
（3）
（4）（1﹣a）2=（a﹣1）2．
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2016?安徽模拟）△ABC的两边长分别为2和2，第三边上的高等于，则△ABC的面积是（ ）2·1·c·n·j·y
A． B．2 C．或2 D．不能确定
9．（2015?孝感）已知x=2﹣，则代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是（ ）
A．0 B． C．2+ D．2﹣
10．（2016?绵阳校级自主招生）已知xy＜0，化简二次根式的正确结果为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2016?山西模拟）三角形的三边长分别为3、m、5，化简﹣= ．
12．（2016?山西模拟）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a= ．
13．（2016?临清市二模）已知a2﹣b2=，a﹣b=，则a+b= ．
14．（2016?薛城区模拟）对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为 ．
15．（2016年?思茅区城区学校期中）观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第13个数据应是 ．
16．（2016年?赵县学校月考）2015年12月24日，河北青年报举办的“指尖上的河北”巡展，邀请了河北省非物质文化遗产项目无极剪纸的传承人牛世民，在现场手把手教市民剪纸的技艺．张萌当时也在现场，她用一个长方形纸和一个正方形纸各剪了一个图案，若长方形彩纸的长为4cm，宽为2cm，且长方形彩纸的面积是正方形彩纸的倍，则正方形彩纸的面积为 cm2．
三、解答题（52分）
17．（2016年博乐市期末）（6分）计算：
（1）6﹣2﹣3 （2）4+﹣+4．
18．（2016年山西模拟）（6分）计算：
（1）2； （2）（）2016（﹣）2015．
19．（2015春?黄州区校级期中）（6分）求值
（1）已知a、b满足，解关于x的方程（a+2）x+b2=a﹣1．
（2）已知x、y都是实数，且，求yx的平方根．
20．（2016?海淀区校级模拟）（6分）已知a2+b2﹣4a﹣2b+5=0，求的值．
21．（2016?太原一模）（6分）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=，则三角形的面积S=．21世纪教育网版权所有
我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=．21cnjy.com
（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于 6 ．
（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．
22．（2016春?东莞市期末）（8分）观察下列各式，发现规律：
=2；=3；=4；…
（1）填空：= ，= ；
（2）计算（写出计算过程）：；
（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．
23．（2016秋?安陆市期末）观察下列等式：
①==；
②==；
③==
…回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
（2）计算：+++…+．
24．（2016秋?贞丰县校级期中）（8分）阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；
当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；
当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即
|a|=
问：（1）这种分析方法涌透了 数学思想．
（2）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况．
（3）猜想与|a|的大小关系．
（4）尝试用从以上探究中得到的结论来解决下面的问题：化简（﹣3≤x≤5）．
参考答案
一、选择题
1．解：要使有意义，必须3﹣x≥0且x≠0，
解得：x≤3且x≠0，
故选B．
2．解：A、原式不能合并，错误；
B、原式=，错误；
C、原式=6×3=18，错误；
D、原式===2，正确，
故选D
3．解：A、×=3，故此选项错误；
B、×=6，故此选项错误；
C、×=6，故此选项错误；
D、×=3×=18，故此选项正确．
故选：D．
4．解：单项式和多项式统称作整式，整式的加减就是合并同类项，
故选：D．
5．解：由题意得，﹣（1﹣a）2≥0，
则（1﹣a）2≤0，又，（1﹣a）2≥0，
∴（1﹣a）2=0，
解得，a=1，
故选：A．
6．解：A、，无法化简，故是最简二次根式，故本选项正确；
B、，被开方数中含有分母；故本选项错误；
C、，被开方数中含有分母，故本选项错误；
D、所以本二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数；故本选项错误；
故选：A．
7．解：（1）|a﹣1|=a﹣1，则a≥1；
（2）=|a|，对任意实数a都有意义；
（3）=a，则a≥0；
（4）（1﹣a）2=（a﹣1）2|，对任意实数a都有意义；
共2个，
故选：C．
8．解：如图1，
根据题意，AB=2、AC=2，AD=，
∴BD==1，CD==3，
则S△ABC=×（1+3）×=2；
如图2，
S△ABC=×（3﹣1）×=，
故选：C．
9．解：把x=2﹣代入代数式（7+4）x2+（2+）x+得：
=（7+4）（7﹣4）+4﹣3+
=49﹣48+1+
=2+．
故选C．
10．解：∵xy＜0，
∴x＞0，y＜0或x＜0，y＞0，
又∵x有意义，
∴y＜0，
∴x＞0，y＜0，
当x＞0，y＜0时，x=，
故选B．
二、填空题
11．解：∵三角形的三边长分别为3、m、5，
∴2＜m＜8，
∴﹣=m﹣2﹣（8﹣m）=2m﹣10．
故答案为：2m﹣10．
12．解：二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=2，
故答案为：2．
13．解：∵a2﹣b2=，a﹣b=，
∴（a﹣b）（a+b）=（a+b）=，
解得：a+b=．
故答案为：．
14．解：（3※2）×（8※12）
=（﹣）×（+）
=（﹣）×2（+）
=2，
故答案为：2．
15．解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：（﹣1）1+1，（﹣1）2+1，…（﹣1）n+1），21·cn·jy·com
∴第13个答案为：（﹣1）13+1=6．
故答案为：6．
16．解：∵长方形彩纸的长为4cm，宽为2cm，
∴长方形彩纸的面积是：4×2=8×3=24（cm2），
∵长方形彩纸的面积是正方形彩纸的倍，
∴正方形彩纸的面积为24÷=（cm2）．
故答案为．
三、解答题
17．解：（1）原式=6﹣5
=6﹣；
（2）原式=4+3﹣2+4
=7+2．
18．解： （1）原式=2×2×2×
=；
（2）原式=[（+）（﹣）]2015?（+）
=（5﹣6）2015?（+）
=﹣（+）
=﹣﹣．
19．解：（1）根据题意得：，
解得：，
则（a+2）x+b2=a﹣1即﹣2x+3=﹣5，
解得：x=4；
（2）根据题意得：，
解得：x=3．
则y=4，
故原式=43=64，
∴yx的平方根为：±8．
20．解：
∵a2+b2﹣4a﹣2b+5=0
∴（a﹣2）2+（b﹣1）2=0
∴a=2，b=1，
∴==7+．
21．解：（1）p===9，
S=
=
=6．
答：这个三角形的面积等于6．
（2）S=
=
=
=
=．
答：这个三角形的面积是．
故答案为：6．
22.解：（1）根据题意得：=5；=6；
故答案为：5；6；
（2）====2015；
（3）归纳总结得：=（n+1）（自然数n≥1）．
23．解：（1）原式==；
（2）原式=+++…+
=（﹣1）．
24．解：（1）分类讨论；
（2）当a＞0时，如a=5则，故此时展开后是它本身，
当a=0时，，故此时是零，
当a＜0时，如a=﹣6，则，
故此时的展开后是它的相反数，
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，=；
（3）；
（4）（﹣3≤x≤5）
=|x﹣5|+|x+3|
=5﹣x+x+3
=8．
