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方差和标准差
班级：___________姓名：___________得分：__________
1． 选择题
1、某校A、B两队10名参加篮球比赛的队员的身高（单位：cm）如下表所示：
队员队 1号 2号 3号 4号 5号
A队 176 175 174 171 174
B队 170 173 171 174 182
设两队队员身高的平均数分别为，身高的方差分别为SA2，SB2，则正确的选项是（ ）
A、 B、
C、 D、 QUOTE \* MERGEFORMAT EMBED Equation.3
2、在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙 ( http: / / www.21cnjy.com )、丁四个城市一至五月份的白菜价格进行调查．四个城市5个月白菜的平均值均为3.50元，方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．一至五月份白菜价格最稳定的城市是（ ）21·cn·jy·com
A、甲 B、乙 C、丙 D、丁
3、一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表所示（有两个数据被遮盖）．
组员 甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成绩
得分 81 79 ■ 80 82 ■ 80
那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．80，2 B．80， C．78，2 D．78，
4、下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下
列说法正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A、甲比乙的成绩稳定 B、乙比甲的成绩稳定
C、甲、乙两人的成绩一样稳定 D、无法确定谁的成绩更稳定
5．某学习小组5位同学参加初中毕业生实验操 ( http: / / www.21cnjy.com )作考试（满分20分）的平均成绩是16分．其中三位男生的方差为6（分2），两位女生的成绩分别为17分，15分．则这个学习小组5位同学考试分数的标准差为（ ）www.21-cn-jy.com
A． B．2 C． D．6
二、填空题
1、如果样本方差：S2=[+++…+]，那么这个样本的平均数为 ．
2、对甲、乙、丙三名射击手进行20次测试， ( http: / / www.21cnjy.com )平均成绩都是8.5环，方差分别是0.4，3.2，1.6，在这三名射击手中成绩比较稳定的是 ．21·世纪*教育网
3、甲、乙两台机床生产同一 ( http: / / www.21cnjy.com )种零件，并且每天产量相等，在6天中每天生产零件中的次品数依次是：甲：3、0、0、2、0、1；乙：1、0、2、1、0、2．则甲、乙两台机床中性能较稳定的是 ．www-2-1-cnjy-com
4、已知一组数据5，8，10，x，9的众数是8，那么这组数据的方差是 ．
三、解答题
1、省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：2-1-c-n-j-y
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 10 8 9 8 10 9
乙 10 7 10 10 9 8
（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环；
（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；
（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
（计算方差的公式：s2＝［］
2、某班实行小组量化考核制，为了了解同 ( http: / / www.21cnjy.com )学们的学习情况，王老师对甲、乙两个小组连续六周的综合评价得分进行了统计，并将得到的数据制成如下的统计表：
综合评价得分统计表
组别 周次 一 二 三 四 五 六
甲组 12 15 16 14 14 13
乙组 9 14 10 17 16 18
（1）请根据上表中的数据完成下表（注：方差的计算结果精确到0.1）
（2）根据综合评价得分统计表中的数据，请在下图中画出乙组综合评价得分的折线统计图．
（3）根据折线统计图中的信息，请你分别对甲、乙两个小组连续六周的学习情况作出简要评价．
3．为选派一名学生参加全市实践活动 ( http: / / www.21cnjy.com )技能竞赛，A、B两位同学在学校实习基地现场进行加工直径为20mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据依次如下图表所示（单位：mm） 【来源：21·世纪·教育·网】
平均数 方差 完全符合要求个数
A 20 0.026 2
B 20 SB2 5
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
（1）考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为 B 的成绩好些；
（2）计算出SB2的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；
（3）考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由． ( http: / / www.21cnjy.com )
4、甲、乙两位同学本学年每个单元的测验成绩如下（单位：分）：
甲：98，100，100，90，96，91，89，99，100，100，93
乙：98，99，96，94，95，92，92，98，96，99，97
（1）他们的平均成绩分别是多少？
（2）甲、乙的11次单元测验成绩的标准差分别是多少？
（3）这两位同学的成绩各有什么特点？
（4）现要从中选出一人参加“希望杯”竞赛，历届比赛成绩表明，平时成绩达到98分以上才可能进入决赛，你认为应选谁参加这项竞赛，为什么？21世纪教育网版权所有
参考答案
1． 选择题、
1.D
【解析】
解：∵=（176+175+174+171+174）=174cm，
QUOTE \* MERGEFORMAT EMBED Equation.3 =（170+173+171+174+182）=174cm．
SA2= [（176﹣174）2+（173﹣174）2+（171﹣174）2+（174﹣174）2+（182﹣174）2]=3.6cm2；
SB2=[（170﹣174）2+（175﹣174）2+（174﹣174）2+（171﹣174）2+（174﹣174）2]=5.2cm2；
∴ QUOTE \* MERGEFORMAT EMBED Equation.3 ．
故选D．
2． D
【解析】解：因为丁城市的方差最小，所以丁最稳定．
故选D．
3.C
【解析】解：根据题意得：
80×5﹣（81+79+80+82）=78，
方差=[（81﹣80）2+（79﹣80）2+（78﹣80）2+（80﹣80）2+（82﹣80）2]=2．
故选C．
4、B
【解析】解：通过观察条形统计图可知：乙的成绩更整齐，也相对更稳定，
故选B．
5. B
【解析】解：三位男生的方差为6（分2），
设这三个学生的成绩分别为A，B，C，
则5位学生的平均成绩为：（A+B+C+17+15）=16，
所以，A+B+C=80﹣15﹣17=48分，
则这三个学生的平均成绩的也为16，
这三个学生的方差S3=[（A﹣16）2+（B﹣16）2+（C﹣16）2]=6
∴[（A﹣16）2+（B﹣16）2+（C﹣16）2]=6×3=18
这5个学生的方差S5=[（A﹣16）2+（B﹣16）2+（C﹣16）2+（17﹣16）2+（15﹣16）2]=（18+1+1）=4，21cnjy.com
而标准差是方差的算术平方根，所以标准差为2．
故选B．
二、填空题
1、5
【解析】解：∵在公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]平均数是，
∴在S2=[（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+…+（x50﹣5）2]中，
这个样本的平均数为5．
故答案为：5．
2、甲
【解析】解：根据方差的定义，方差越 ( http: / / www.21cnjy.com )小数据越稳定，因为S甲2=0.4，S乙2=3.2，S丙2=1.6，方差最小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲．2·1·c·n·j·y
故填答案为甲．
3、乙
【解析】解：甲的平均数=（3+0+0+2+0+1）=1，
乙的平均数=（1+0+2+1+0+2）=1，
∴S2甲= [（3﹣1）2+3×（0﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2]=
S2乙= [（2×（1﹣1）2+2×（0﹣1）2+2×（2﹣1）2]=
∴S2甲＞S2乙，
∴乙台机床性能较稳定．
故答案为乙．
4、2.8
【解析】解：∵一组数据5，8，10，x，9的众数是8，
∴x是8，
∴这组数据的平均数是（5+8+10+8+9）÷5=8，
∴这组数据的方差是：
[（5﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]=2.8．
故答案为：2.8．
三、解答题
1、解：（1）甲：（10+8+9+8+10+9）÷6=9，
乙：（10+7+10+10+9+8）÷6=9；
（2）s2甲＝
＝＝；
s2乙＝
＝＝．
（3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两 ( http: / / www.21cnjy.com )人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．
2、（1）
平均数 中位数 方差
甲组 14 14 1.7
乙组 14 15 11.7
（2）
（3）从折线图可看出：甲组成绩相对稳定，但进步不大，且略有下降趋势；乙组成绩不够稳定，但进步较快，呈上升趋势．21教育网
3、解：（1）根据表中数据可看出，B的完全符合要求的件数多，B的成绩好些．
（2）∵sB2=[4（20﹣20）2+3（19.9﹣20）2+2（20.1﹣20）2+（20.2﹣20）2]=0.008，
且sA2=0.026，
∴sA2＞sB2，即在平均数相同的情况下，B的波动性小，
∴B的成绩好些；
（3）从图中折线走势可知， ( http: / / www.21cnjy.com )尽管A的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，而B比较稳定，潜力小，所以不让B参加，而派A参加，即可选派A去参赛．
4、解：（1）甲＝×（98＋100＋100＋90＋96＋91＋89＋99＋100＋100＋93）＝96
乙＝×（98＋99＋96＋94＋95＋92＋92＋98＋96＋99＋97）＝96
（2）s2甲＝×［（98－96）2＋（100－96）2＋…＋（93－96）2］＝17.82
∴s甲＝4.221
s2乙＝×［（98－96）2＋（99－96）2＋…＋（97－96）2］＝5.817
∴s乙＝2.412
（3）乙较甲稳定，甲虽然状态不稳定，但发挥好时成绩比乙优秀．
（4）选甲去，甲比乙更有可能达到98分．
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方差和标准差
【义务教育教科书新浙教版八年级下册】
学校：________
教师：________
中位数：
众数：
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据叫做这组数据的中位数。
课前回顾
平均数、中位数和众数的异同点：
（1）平均数、众数和中位数都是描述一组数据
集中趋势的量；
（2）平均数、众数和中位数都有单位；
（3）平均数反映一组数据的平均水平，与这组
数据中的每个数都有关系，所以最为重要，
应用最广；
（4）中位数不受个别偏大或偏小数据的影响 ；
（5）众数与各组数据出现的频数有关，不受个
别数据的影响，有时是我们最为关心的数据。
课前回顾
情境引入
怎样选择选手去参加比赛呢？
难道算一下选手平时成绩的平均数？
射击比赛中
选谁去参加比赛呢？
探究1
我们先来算一算甲和乙命中环数的平均数吧！
咦？平均数一样耶！那怎么比较两人成绩的好坏呢？
探究1
探究1
大家可以看出甲的成绩和乙的成绩起伏变化
似乎不相同
我们来画折线图直观地比较一下
0
1
2
2
3
4
5
4
6
8
10
成绩（环）
射击次序
甲
乙
甲、乙两人的平均成绩相同，但是甲每次的射击成绩都均数8，而乙每次的射击成绩偏离平均数较大. 在评价数据的稳定性是，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标。
探究1
甲射击成绩与平均成绩的偏差的和：
乙射击成绩与平均成绩的偏差的和：
（7-8）+（8-8）+（8-8）+（8-8）+（9-8）=
（10-8）+（6-8）+（10-8）+（6-8）+（8-8）=
0
0
探究1
直接计算射击成绩与平均成绩偏差的和，发现它们是一样的。
（10-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（6-8）2+（8-8）2= ？
（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2= ？
现在我们计算一下甲、乙两人每次射击成绩与平均成绩的偏差的平方和.
乙：
你发现了甲乙的区别了吗？
2
16
甲：
探究1
上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？
——与射击次数有关！
用各偏差平方和的平均数来衡量数据的稳定性
探究1
叫做这组数据的方差.
总结
方差的计算公式：
S2= [(x1－x)2＋ (x2－x)2 ＋…＋ (xn－x)2 ]
1、方差是衡量数据稳定性的一个统计量；
2、方差的单位是所给数据单位的平方；
3、方差越大，波动越大，越不稳定；
方差越小，波动越小，越稳定。
方差的定义：
（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2 =
甲的方差<乙的方差.
探究1
所以，甲的成绩比乙的成绩稳定，应该选择甲去参加比赛。
（10-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（6-8）2+（8-8）2 = ？
乙：
0.4
3.2
甲：
[
[
]
]
刘亮和李飞参加射击训练的成绩(单位：环)如下：
刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9.
（1） 两人的平均成绩分别是多少？
（2） 计算这两组数据的方差？
（3） 谁的成绩比较稳定？
练习1
刘亮、李飞的射击成绩的方差分别是
计算结果表明： s2李飞> s2刘亮，这说明李飞的射击成绩波动大，而刘亮的射击成绩波动小，因此刘亮的射击成绩稳定.
解答
1、利用平均数公式计算这组数据的平均数X
2、利用方差公式计算这组数据的方差S2
计算方差的一般步骤：
总结
即
例: 为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10
株苗，测得苗高如下(单位:cm):
甲: 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11
乙: 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16
问哪种小麦长得比较整齐
典型例题
S2甲＝ （cm2）
S2乙＝ （cm2）
解答
X甲＝ （cm）
X乙＝ （cm）
数据的单位与方差的单位一致吗？
S2甲＝ （cm2）
S2乙＝ （cm2）
不一致，方差的单位是数据单位的平方。
分析
为了使单位一致，可用方差的算术平方根：
来表示，并把它叫做标准差.
S = [ (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 ]
特殊的：如果方差与标准差为零，说明数据
都没有偏差，即每个数都一样 。
总结
2、数据1、2、3、4、5的方差是_____,标准差是____
2
1、某样本的方差是9，则标准差是______
3
达标测评
3、已知一组数据为2、0、-1、3、-4，则这组数据的方差为 ．
4、甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4
乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7
经过计算，两人射击环数的平均数相同，但S S ，所以确定＿＿去参加比赛。
＞
S2=6
乙
达标测评
5、
达标测评
2
已知三组数据1、2、3、4、5；11、12、13、14、15
和3、6、9、12、15。
1、求这三组数据的平均数、方差和标准差。
2、对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？
平均数 方差 标准差
1、2、3、4、5
11、12、13、14、15
3、6、9、12、15
3
2
2
13
2
2
2
3
9
18
应用提高
请你用发现的结论来解决以下的问题：
已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，方差为b，标准差为c。则
①数据x1+3，x2 + 3，x3 +3 ，…，xn +3的平均数为--------，方差为-------， 标准差为----------。
②数据x1-3，x2 -3，x3 -3 ，…，xn -3的平均数为 ----------，方差为--------，标准差为----------。
a+3
b
a-3
b
c
c
知识拓展
③数据3x1，3x2 ，3x3 ，…，3xn的平均数为-----------，方差为-----------，标准差为----------。
④数据2x1-3，2x2 -3，2x3 -3 ，…，2xn -3的平均数为 ----------，方差为---------，标准差为----------。
3a
9b
2a-3
4b
3c
2c
知识拓展
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、什么是方差。
2、什么是标准差。
3、求方差的步骤。
布置作业
教材67页习题第2、4题。登陆21世纪教育 助您教考全无忧
课题：方差和标准差
教学目标 1. 知识与技能：掌握方差、 ( http: / / www.21cnjy.com )标准差的概念，会求出一组数据的方差与标准差；能结合具体情境体会平均数、方差和标准差三者的区别，能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的正确评判.2. 过程与方法：通过解决实际问题的过程，区分刻画“平均水平”的三个数据代表，让学生获得一定的评判能力，进一步发展其数学应用能力.3. 情感与态度：将知识的学习放在解决问题的情境中，通过数据分析与处理，体会数学与现实生活的联系，培养学生求真的科学态度.
教学重难点 教学重点：掌握方差、标准差的概念教学难点：选择恰当的数据代表对数据作出自己的正确评判。
教学过程
课前回顾 中位数：一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据叫做这组数据的中位数。 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数平均数、中位数和众数的异同点：（1）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量；（2）平均数、众数和中位数都有单位；（3）平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广；（4）中位数不受个别偏大或偏小数据的影响 ；（5）众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据。
怎样选择选手去参加比赛呢？
难道算一下选手平时成绩的平均数？
( http: / / www.21cnjy.com )
选谁去参加比赛呢？
咦？平均数一样耶！那怎么比较两人成绩的好坏呢？
我们来画折线图直观地比较一下
甲、乙两人的平均成绩相同，但是甲每次的射击成绩都均数8，而乙每次的射击成绩偏离平均数较大. 在评价数据的稳定性是，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标。
直接计算射击成绩与平均成绩偏差的和，发现它们是一样的。
现在我们计算一下甲、乙两人每次射击成绩与平均成绩的偏差的平方和.
刘亮和李飞参加射击训练的成绩(单位：环)如下：
刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9.
（1） 两人的平均成绩分别是多少？
（2） 计算这两组数据的方差？
（3） 谁的成绩比较稳定？
刘亮、李飞的射击成绩的方差分别是
计算方差的一般步骤：
例: 为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10
株苗，测得苗高如下(单位:cm):
甲: 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11
乙: 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16
问哪种小麦长得比较整齐
不一致，方差的单位是数据单位的平方。
为了使单位一致，可用方差的算术平方根：
来表示，并把它叫做标准差.
特殊的：如果方差与标准差为零，说明数据
都没有偏差，即每个数都一样 。
2、数据1、2、3、4、5的方差是_ 2____,标准差是_ ___
3、已知一组数据为2、0、-1、3、-4，则这组数据的方差为 ．
4、甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4
乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7
经过计算，两人射击环数的平均数相同，但 ，所以确定 乙＿去参加比赛。
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
求这三组数据的平均数、方差和标准差。
对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
体验收获 1、什么是方差。2、什么是标准差。3、求方差的步骤。
布置作业 教材67页习题第2、4题。
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