第2章 直线与圆的位置关系 专题训练（含答案）

第2章
直线与圆的位置关系
专题训练　
专项训练一：直线与圆的位置关系
名师点金：直线与圆的位置关系有相离、相切、相交三种情况，考查方向主要体现在：根据已知条件判断直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系求值或取值范围，有关直线与圆的位置关系的动态探究等．
根据d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系
1．在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定(　　)
A．与x轴相离，与y轴相切
B．与x轴、y轴都相离
C．与x轴相切，与y轴相离
D．与x轴、y轴都相切
2．已知⊙O的半径为2，圆心O到直线AB的距离为d，且方程x2－2x＋d＝0没有实数根，试确定直线AB与⊙O的位置关系．
根据直线与圆的位置关系求值或取值范围
3．如图，⊙P的半径为2，圆心P是抛物线y＝x2－1上的点，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为________．
(第3题)
4．如图，直线l与⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为H，已知AB＝16
cm，cos
∠OBH＝.
(1)求⊙O的半径；
(2)如果要将直线l向下平移到与⊙O相离的位置，平移的距离应满足什么条件？
(第4题)
有关直线与圆的位置关系的动态探究
5．如图①，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，AB＝4，BC＝6，AD＝8.点P，Q同时从A点出发，分别做匀速运动，其中点P沿AB，BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位．当这两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．设这两点运动了t秒．
(第5题)
(1)动点P与Q哪一点先到达终点？此时t为何值？(直接写出结果)
(2)当0＜t＜2时，求证：以PQ为直径的圆与AD相切(如图②)．
(3)以PQ为直径的圆能否与CD相切？若能，求出t的值或取值范围；若不能，请说明理由．
专项训练二：证明切线的技巧
名师点金：有关切线的证明分两种情况：一是直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，
证垂直，得切线”；二是直线和圆没有已知的公共点时，
通常“作垂直，证半径，得切线”．
已知半径，证明垂直
1．如图，已知⊙O的半径OB＝1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于点B，四边形BCOE是平行四边形．
(1)求AD的长．
(2)BC是⊙O的切线吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
(第1题)
连半径，证垂直
类型1：连一条半径证垂直
2．如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.
(1)求证：点D是AB的中点；
(2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
(第2题)
类型2：连两条半径证垂直
3．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于点F，若AC＝FC.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径r.
(第3题)
作垂直，证半径
4．如图，AB＝AC，D为BC的中点，⊙D与AB切于E点．求证：AC与⊙D相切．
　(第4题)
专项训练三：切线性质的应用
名师点金：在应用切线的性质时，如果只有切线，没有半径，就要添加辅助线——连结过切点的半径，则此半径必垂直于切线．应用切线的性质能解决几何计算与证明中的有关问题．
利用切线的性质求线段的长度
1．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D.若PC＝4，⊙O的半径为3，求OD的长．
(第1题)
利用切线的性质求角的度数
2．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延长线与AE的延长线交于F，且AF＝BF，求∠A的度数．
(第2题)
利用切线的性质证明线段相等
3．如图，AB是⊙O的直径，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E.求证：CD＝CE.
(第3题)
利用切线的性质证明角相等
4．如图，AB是⊙O的直径，BD切⊙O于点B，延长AB到C，使BC＝OB，过点C作⊙O的切线，E为切点，与BD交于点F，AE的延长线交BD于点D.
求证：∠D＝∠DFE.
(第4题)
答案
专项训练一
1．A
2．解：∵方程x2－2x＋d＝0没有实数根，
∴(－2)2－4d＜0，
即d＞1.
当1＜d＜2时，直线AB与⊙O相交；
当d＝2时，直线AB与⊙O相切；
当d＞2时，直线AB与⊙O相离．
3．(，2)或(－，2)
点拨：当⊙P与x轴相切时，由⊙P的半径为2，且圆的切线垂直于过切点的半径，可得P点纵坐标为2；又P在抛物线y＝x2－1上，故将y＝2代入得：2＝x2－1，解得：x1＝，x2＝－.
4．解：(1)∵直线l与半径OC垂直，∴HB＝AB＝×16＝8(cm)．
∵cos
∠OBH＝＝，∴OB＝HB＝×8＝10(cm)，即⊙O的半径为10
cm.
(2)在Rt△OBH中，OH＝＝＝6(cm)．
∴CH＝OC－OH＝10－6＝4(cm)．
∴将直线l向下平移到与⊙O相离的位置时，平移的距离必须大于4
cm.
5．(1)解：点P先到达终点，此时t＝5.
(2)证明：如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M，设圆与AB交于N，易得AM＝2.
(第5题)
又∵AB＝4，∴∠A＝60°.
连结QN，∵PQ为直径，∴∠QNP＝90°，∴∠NQA＝30°.
∵AQ＝t，AP＝2t，∴AN＝t，∴PN＝t，NQ＝t，∴PQ＝＝t.
∴AQ2＋PQ2＝AP2.
∴△APQ为直角三角形，且∠AQP＝90°.
∴以PQ为直径的圆与AD相切．
(3)解：能．设圆心为F，作FE⊥CD于E，PH⊥AD于H.∵CP＝10－2t，DQ＝8－t，∴EF＝(CP＋DQ)＝(18－3t)，PQ＝2EF＝18－3t.
∵PQ2＝PH2＋HQ2，且PH＝AB·sin60°＝2，
HQ＝(8－t)－(10－2t)＝t－2，
∴(t－2)2＋(2)2＝(18－3t)2.
解得t＝或t＝(舍去)．
故当t＝时，以PQ为直径的圆与CD相切．
专项训练二
1．解：(1)连结BD，∵DE是直径，∴∠DBE＝∠ABD＝90°.
∵四边形BCOE是平行四边形，
∴BC∥OE，BC＝OE＝1.
在Rt△ABD中，∵C为AD的中点，
∴BC＝AD＝1，∴AD＝2.
(2)是，理由如下：
∵BC∥OD，BC＝OD，∴四边形BCDO为平行四边形．
∵AD为⊙O的切线，∴OD⊥AD，
∴四边形BCDO为矩形．∴OB⊥BC.
∴BC是⊙O的切线．
2．(1)证明：连结CD.
∵BC是⊙O的直径，∴CD⊥AB.
又∵BC＝AC，∴点D是AB的中点．
(2)解：DE与⊙O相切．证明如下：
连结OD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.
又∵BC＝AC，D是AB的中点，
∴∠BCD＝∠ACD.
∵DE⊥AC，∴∠ACD＋∠CDE＝90°，
∴∠ODC＋∠CDE＝90°，
∴OD⊥DE.又∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
3．(1)证明：如图，连结OA，OD，则OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA＋∠OFD＝90°.∴∠OAD＋∠OFD＝90°，∵∠OFD＝∠AFC，∴∠OAD＋∠AFC＝90°.∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，∴∠OAD＋∠FAC＝90°，即∠OAC＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．
(2)解：∵BF＝8，OB＝r，∴OF＝8－r.∵在Rt△OFD中，OD2＋OF2＝DF2，∴r2＋(8－r)2＝()2，解得r＝2(舍去)或r＝6.
点拨：圆中和中点有关的问题常常结合垂径定理寻找解题方法．
(第3题)
4．证法一：连结DE，作DF⊥AC，垂足为F.
∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.
∵DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
又∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF.
∴DF＝DE.∴点F在⊙D上．
∴AC与⊙D相切．
证法二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足．
∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠DAB＝∠DAC.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
∴点F在⊙D上．∴AC与⊙D相切．
专项训练三
1．解：连结OC，∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴△OPC为直角三角形．
∵PC＝4，r＝3，∴OP＝5.易得OC2＝OD·OP，即5·OD＝9，
∴OD＝.
2．解：连结OC，∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD.
∵AF⊥CD，∴AF∥OC.
∴∠A＝∠BOC.
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B.
∵AF＝BF，∴∠A＝∠B，
∴∠BOC＝∠B＝∠OCB.
∴∠B＝60°，则∠A＝60°.
3．证明：连结OD，∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠CDE＋∠ODA＝90°.∵CO⊥AB，
∴∠A＋∠AEO＝90°.
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠CDE＝∠AEO＝∠CED.
∴CD＝CE.
4．证明：连结OE，
∵CE切⊙O于点E，∴OE⊥EC.
∵OB＝BC，OB＝OE，
∴在Rt△OEC中，OC＝2OE，
∴∠C＝30°，∴∠COE＝60°.
∴∠A＝∠COE＝30°.
∵BD切⊙O于点B，∴AB⊥BD.
在Rt△ABD中，∠D＝90°－∠A＝60°.
在Rt△FBC中，∠BFC＝90°－∠C＝60°.∴∠DFE＝∠BFC＝60°.
∴∠D＝∠DFE.