第2章 一元二次方程 专项训练（含答案）

第2章
一元二次方程
专项训练
解码专训一：巧用一元二次方程定义及相关概念求字母或代数式的值
名师点金：
巧用一元二次方程定义及相关概念求值主要体现在：利用定义或项的概念求字母的值，利用根的概念求字母或代数式的值，利用根的概念解决探究性问题等．
利用一元二次方程的定义确定字母的值或取值范围
1．已知(m－3)x2＋x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是(　　)
A．m≠3
B．m≥3
C．m≥－2
D．m≥－2且m≠3
2．已知关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0.
(1)m取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程．
(2)m取何值时，它是一元一次方程？
利用一元二次方程的项的概念求字母的值
3．若一元二次方程(2a－4)x2＋(3a＋6)x＋a－8＝0没有一次项，则a的值为________．
4．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为0，求m的值．
利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值
5．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
6．已知关于x的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2＋3k－4＝0的一个根为0，求k的值．
7．已知实数a是一元二次方程x2－2
015x＋1＝0的根，求代数式a2－2
014a－的值．
利用一元二次方程根的概念解决探究性问题
8．已知m，n是方程x2－2x－1＝0的两个根，是否存在实数a使(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解码专训二：一元二次方程的解法归类
名师点金：
解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有开平方法、因式分解法、配方法和公式法等，在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果．
形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程适合用开平方法求解
1．方程4x2－25＝0的解为(　　)
A．x＝　
B．x＝　
C．x＝±　
D．x＝±
2．用开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为(　　)
A．x2－5＝5
B．－3x2＝0
C．x2＋4＝0
D．(x＋1)2＝0
3．用开平方法解下列方程：
(1)9x2＝121；　　(2)(x＋3)2－2＝0.
当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解较方便
4．一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为(　　)
A．(x＋4)2＝17
B．(x＋4)2＝15
C．(x－4)2＝17
D．(x－4)2＝15
5．解方程：x2＋4x－2＝0.
6．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求的值．
能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程适合用因式分解法求解
7．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是(　　)
A．－1　　　B．0　　　C．1和2　　　D．－1和2
8．解下列一元二次方程：
　(1)x2－2x＝0；(2)16x2－9＝0；(3)4x2＝4x－1.
如果一个一元二次方程易化为一般式，则可用公式法来求它的解
9．用公式法解一元二次方程x2－＝2x，方程的解应是(　　)
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
10．解下列方程：
(1)x2－6x＝－5；　　(2)x2－4x＋1＝0.
如果在方程中出现一些相同的代数式，把它们用某一个字母代替后能形成一个较简单的一元二次方程，这样的方程可用换元法来求解
11．若(a＋b)(a＋b＋2)－8＝0，则a＋b的值为(　　)
A．－4或2
B．3或－
C．－2或4
D．3或－2
12．解方程：(x－2)2－3(x－2)＋2＝0.
解码专训三：特殊一元二次方程的解法技巧
名师点金：
一元二次方程的解法是本章的重点，也是解决其他问题的根本，只有熟悉各种解法的特点，才能准确地找出所给方程的最佳解法．除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊的解法．
构造法
1．解方程：6x2＋19x＋10＝0.
换元法
2．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
3．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
配方法
4．若m，n，p满足m－n＝8，mn＋p2＋16＝0，求m＋n＋p的值．
特殊解法
5．解方程：(x－2
013)(x－2
014)＝2
015×2
016.
解码专训四：巧用根的判别式
名师点金：
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
1．已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是(　　)
A．当k＝0时，方程无解
B．当k＝1时，方程有一个实数解
C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解
D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解
2．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是常数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．
利用根的判别式求字母的值或取值范围
3．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
利用根的判别式求代数式的值
4．已知关于x的一元二次方程mx2＋nx－2＝0(m≠0)有两个相等的实数根，求的值．
利用根的判别式确定三角形的形状
5．已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(b－c)x2＋2(a－b)x＋b－a＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．
解码专训五：根与系数的关系的应用
名师点金：
利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程根与系数的关系时，必须注意b2－4ac≥0这个前提，而应用判别式的前提是二次项系数a≠0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件b2－4ac≥0和a≠0.
利用根与系数的关系求代数式的值
1．设方程4x2－7x－3＝0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值：
(1)(x1－3)(x2－3)；(2)＋；(3)x1－x2.
利用根与系数的关系构造一元二次方程
2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2＋2x－3＝0两根的负倒数．
利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
3．已知关于x的方程x2＋2x＋a－2＝0.
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
(2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
巧用根与系数的关系确定字母参数的存在性
4．已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解码专训六：常见热点考题
名师点金：
本章主要考查一元二次方程的解法、根的判别式、根与系数的关系、实际应用问题等，考查形式多以选择题、填空题、解答题形式出现，一元二次方程是中考的热点之一．
解方程问题
1．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为(　　)
A．(x＋1)2＝0
B．(x－1)2＝0
C．(x＋1)2＝2
D．(x－1)2＝2
2．一元二次方程x2－2x－3＝0的解是(　　)
A．x1＝－1，x2＝3
B．x1＝1，x2＝－3
C．x1＝－1，x2＝－3
D．x1＝1，x2＝3
3．解方程：(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
根的判别式的问题
4．下列关于x的一元二次方程有实数根的是(　　)
A．x2＋1＝0
B．x2＋x＋1＝0
C．x2－x＋1＝0
D．x2－x－1＝0
5．已知关于x的一元二次方程(x＋1)2－m＝0有两个实数根，则m的取值范围是(　　)
A．m≥－
B．m≥0
C．m≥1
D．m≥2
根与系数的关系
6．已知方程x2－3x＋1＝0，构造个一元二次方程使它的根分别是原方程两根的倒数，则这个一元二次方程是(　　)
A．x2＋3x＋1＝0
B．x2＋3x－1＝0
C．x2－3x＋1＝0
D．x2－3x－1＝0
实际应用问题
7．某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个图形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B出发，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动．甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系：l＝t2＋t(t≥0)，乙以4
cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21
cm.
(1)甲运动4
s后的路程是多少？
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？
(第7题)
8．如图，某海关缉私艇在C处发现正北方向30海里的A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行．缉私艇随即调整方向，以75海里/时的速度航行，这样可同时到达B处进行拦截．缉私艇从C处到达B处航行了多少小时？
(第8题)
新定义问题
9．若x1，x2是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，且|x1|＋|x2|＝2|k|(k是整数)，则称方程x2＋bx＋c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2－6x－27＝0，x2－2x－8＝0，x2＋3x－＝0，x2＋6x－27＝0，x2＋4x＋4＝0都是“偶系二次方程”．
判断方程x2＋x－12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由．
解码专训七：常见题型荟萃
名师点金：
一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的概念，一元二次方程的解法，一元二次方程根的情况，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单明了．
一元二次方程的概念
1．方程mx2－3x－x2＋2＝0是关于x的一元二次方程的条件是(　　)
A．m＝1
B．m≠1
C．m≠0
D．m为任意实数
一元二次方程的解法
2．选择适当的方法解下列方程：
(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；(2)x2－6x－6＝0；
(3)6
000(1－x)2＝4
860；(4)(10＋x)(50－x)＝800.
一元二次方程根的情况
3．在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
一元二次方程根与系数的关系
4．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋4m－2＝0的两个实数根，当m为何值时，x12＋x22有最小值？最小值是多少？
一元二次方程的应用
5．当x取何值时，多项式x2－3x与多项式5x－15的值相等？
6．在一块长16
m，宽12
m的长方形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．
(第6题)
(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由；
(2)你还有其他的设计方案吗？请在图③中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．
答案
解码专训一
1．D　点拨：由题意，得解得m≥－2且m≠3.
2．解：(1)当时，它是一元二次方程．解得m＝1.
当m＝1时，原方程可化为2x2－x－1＝0.
(2)当或当m＋1＋(m－2)≠0且m2＋1＝1时，它是一元一次方程．
解得m＝－1或m＝0.
故当m＝－1或m＝0时，它是一元一次方程．
3．－2　点拨：由题意得解得a＝－2.
4．解：由题意，得解得m＝－1.
5．A　点拨：∵关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，∴a2－ab＋a＝0.∴a(a－b＋1)＝0.
∵a≠0，∴a－b＋1＝0.∴a－b＝－1.
6．解：把x＝0代入(k＋4)x2＋3x＋k2＋3k－4＝0，
得k2＋3k－4＝0.解得k1＝1，k2＝－4.
∵k＋4≠0，∴k≠－4，∴k＝1.
7．解：∵实数a是一元二次方程x2－2
015x＋1＝0的根，
∴a2－2
015a＋1＝0.
∴a2＋1＝2
015a，a2－2
015a＝－1.
∴a2－2
014a－＝a2－2
014a－＝a2－2
014a－a＝a2－2
015a＝－1.
8．解：由题意可知，m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，∴(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝[7(m2－2m)＋a][3(n2－2n)－7]＝(7＋a)(3－7)＝－4(7＋a)，由－4(7＋a)＝8得a＝－9，
故存在满足条件的实数a，且a的值等于－9.
解码专训二
1．C　2.C　
3．解：(1)9x2＝121.　　　　(2)(x＋3)2－2＝0.
　3x＝±11.
　　　(x＋3)2＝2.
x1＝，x2＝－.
x1＝－3＋，x2＝－3－.
4．C　
5．解：x2＋4x－2＝0.
　x2＋4x＝2.
(x＋2)2＝6.
　　　　　x＋2＝±.
x1＝－2＋，x2＝－2－.
6．解：x2－10x＋y2－16y＋89＝0.
(x2－10x＋25)＋(y2－16y＋64)＝0.
　　　　　　　(x－5)2＋(y－8)2＝0.
∴x＝5，y＝8.
∴＝.
7．D
8．解：(1)x2－2x＝0，x(x－2)＝0，x1＝0，x2＝2.
(2)16x2－9＝0，(4x＋3)(4x－3)＝0，x1＝－，x2＝.
(3)4x2＝4x－1，4x2－4x＋1＝0，(2x－1)2＝0，x1＝x2＝.
9．B
10．解：(1)x2－6x＋5＝0，a＝1，b＝－6，c＝5，∴b2－4ac＝(－6)2－4×1×5＝16，∴x＝.
∴x1＝5，x2＝1.
(2)x2－4x＋1＝0，
a＝1，b＝－4，c＝1，
∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×1＝12.
∴x＝＝＝2±.
∴x1＝2＋，x2＝2－.
11．A
12．解：(x－2)2－3(x－2)＋2＝0.
设x－2＝y，原方程化为y2－3y＋2＝0，
解得y1＝1，y2＝2.
当y＝1时，x－2＝1，x＝3，
当y＝2时，x－2＝2，x＝4.
∴原方程的解为x1＝3，x2＝4.
解码专训三
1．解：将原方程两边同乘以6，得
(6x)2＋19·(6x)＋60＝0.
解得6x＝－15或6x＝－4.
∴x1＝－，x2＝－.
2．解：原方程即[(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48，
即(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48.
设y＝x2－5x＋5，则原方程变为(y－1)(y＋1)＝48.
解得y1＝7，y2＝－7.
当x2－5x＋5＝7时，
解得x1＝，x2＝；
当x2－5x＋5＝－7时，b2－4ac＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根．
∴原方程的根为x1＝，x2＝.
3．解：经验证，x＝0不是方程的根，原方程两边同除以x2，得6x2－35x＋62－＋＝0，
即6－35＋62＝0.
设y＝x＋，则x2＋＝y2－2，
原方程可变为6(y2－2)－35y＋62＝0.
解得y1＝，y2＝.
当x＋＝时，解得x1＝2，x2＝；
当x＋＝时，解得x3＝3，x4＝.
经检验，均符合题意．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝，x3＝3，x4＝.
4．解：因为m－n＝8，所以m＝n＋8.
将m＝n＋8代入mn＋p2＋16＝0中，得n(n＋8)＋p2＋16＝0，所以n2＋8n＋16＋p2＝0，即(n＋4)2＋p2＝0.
又因为(n＋4)2≥0，p2≥0，
所以解得
所以m＝n＋8＝4，所以m＋n＋p＝4＋(－4)＋0＝0.
5．解：方程组的解一定是原方程的解，解得x＝4
029.
方程组的解也一定是原方程的解，解得x＝－2.
∵原方程最多有两个实数解，
∴原方程的解为x1＝4
029，x2＝－2.
点拨：解本题也可采用换元法．设x－2
014＝t，则x－2
013＝t＋1，原方程可化为t(t＋1)＝2
015×2
016，先求出t，进而求出x.
解码专训四
1．C　点拨：当k＝0时，方程为一元一次方程，解为x＝1；当k≠0时，因为b2－4ac＝(1－k)2－4k·(－1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0，所以当k＝1时，b2－4ac＝4，方程有两个不相等的实数解；
当k＝－1时，b2－4ac＝0，方程有两个相等的实数解；
当k≠0时，b2－4ac≥0，方程总有两个实数解．故选C.
2．解：∵x2－2x－m＝0没有实数根，
∴(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，
即m<－1.
∴对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0，
b2－4ac＝(2m)2－4·m(m＋1)＝－4m>4，
∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根．
3．解：(1)根据题意得b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k>0，
解得k<.
(2)由k为正整数，可得k＝1或k＝2.
利用求根公式可求出方程的根为x＝－1±，
∵方程的根为整数，∴5－2k为完全平方数，
∴k的值为2.
4．解：由题意可知，b2－4ac＝n2＋8m＝0，
∴8m＝－n2，
∴＝＝＝＝.
∵m≠0，∴＝＝－8.
5．解：∵一元二次方程(b－c)x2＋2(a－b)x＋b－a＝0有两个相等的实数根，
∴[2(a－b)]2－4(b－c)·(b－a)＝0，
∴4(a－b)(a－c)＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴此三角形是等腰三角形．
解码专训五
1．解：根据一元二次方程根与系数的关系，有
x1＋x2＝，x1x2＝－.
(1)(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝－－3×＋9＝3.
(2)＋＝
＝
＝
＝＝.
(3)∵(x1－x2)2＝
(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝，
∴x1－x2＝±＝±.
2．解：设方程5x2＋2x－3＝0的两根为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
设所求方程为y2＋py＋q＝0，两根为y1，y2，
则y1＝－，y2＝－.
∴p＝－(y1＋y2)＝－＝＋＝＝；q＝y1y2＝＝＝－.
∴所求的方程为y2＋y－＝0，即3y2＋2y－5＝0.
3．解：(1)∵22－4×1×(a－2)＝12－4a>0，解得a<3.
∴a的取值范围是a<3.
(2)设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得
解得
4．解：不存在．理由如下：
∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根，
∴k≠0，且b2－4ac＝(－4k)2－4×4k(k＋1)＝－16k≥0，
∴k＜0.
∵x1，x2是方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝1，x1x2＝.
∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝－.
∵(2x1－x2)(x1－2x2)＝－，
∴－＝－，∴k＝.
又∵k<0，∴不存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立．
解码专训六
1．D　2.A　
3．解：(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7.
x2－6x＋8＝0.
x1＝2，x2＝4.
4．D　5.B　
6．C　点拨：设方程x2－3x＋1＝0的两根分别为x1，x2，新方程为x2＋bx＋c＝0，新方程两根分别为x1′，x2′，则x1＋x2＝3，x1·x2＝1，b＝－(x1′＋x2′)＝－＝－＝－3，c＝x1′·x2′＝·＝＝1.
7．解：(1)当t＝4时，l＝t2＋t＝×42＋×4＝14.
答：甲运动4
s后的路程是14
cm.
(2)设它们运动了m
s，根据题意，
得m2＋m＋4m＝21.
解得：m1＝3，m2＝－14(不合题意，舍去)．
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3
s.
(3)设它们运动了n
s后第二次相遇，根据题意，得
＋4n＝21×3.
解得n1＝7，n2＝－18(不合题意，舍去)．
答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7
s.
8．解：设缉私艇航行了x小时到达B处．根据题意，得
302＋(60x)2＝(75x)2，
解得x1＝，x2＝－(不符合题意，舍去)．
答：缉私艇从C处到达B处航行了小时．
点拨：本题是根据速度、时间、路程之间的关系和勾股定理等有关知识列方程解答，把几何知识、代数知识有机结合来进行解答．
9．解：不是，理由如下：
解方程x2＋x－12＝0，得x1＝－4，x2＝3.
|x1|＋|x2|＝4＋3＝2×|3.5|.
∵3.5不是整数，
∴方程x2＋x－12＝0不是“偶系二次方程”．
解码专训七
1．B　
2．解：(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0.
　　　(x－1)(x－1＋2x)＝0.
　　　(x－1)(3x－1)＝0.
x1＝1，x2＝.
(2)x2－6x－6＝0.
a＝1，b＝－6，c＝－6，
b2－4ac＝(－6)2－4×1×(－6)＝60.
∴x＝＝3±，
即x1＝3＋，x2＝3－.
(3)6
000(1－x)2＝4
860.
　　　(1－x)2＝0.81.
　　　　　1－x＝±0.9.
x1＝1.9，x2＝0.1.
(4)(10＋x)(50－x)＝800.
x2－40x＋300＝0.
(x－10)(x－30)＝0.
x1＝10，x2＝30
3．解：∵关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个相等的实数根．
∴(b＋2)2－4(6－b)＝0，
解得b1＝2，b2＝－10(舍去)．
当a为腰时，△ABC的周长＝5＋5＋2＝12，
当b为腰时，2＋2<5，不能构成三角形．
∴△ABC的周长为12.
4．解：由题意得b2－4ac＝(2m)2－4(m2＋4m－2)≥0，
∴m≤.
又∵x1＋x2＝－2m，x1x2＝m2＋4m－2，
∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝2(m－2)2－4.
∵m≤，且2(m－2)2≥0，
∴当m＝时，x12＋x22的值最小．
此时x12＋x22＝2－4＝，即最小值为.
点拨：本题中考虑b2－4ac≥0，从而确定m的取值范围．这一过程易被忽略，2(m－2)2－4在m≤时，m越大，其值越小，故应取m＝.
5．解：由题意得x2－3x＝5x－15，
即x2－8x＋15＝0.
解得x1＝3，x2＝5.
∴当x取3或5时，多项式x2－3x与多项式5x－15的值相等．
6．解：(1)不符合．
设小路宽度均为x
m，根据题意得
(16－2x)(12－2x)＝×16×12，
解这个方程得x1＝2，x2＝12.
但x2＝12不符合题意，应舍去，∴x＝2.
∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2
m.
(2)答案不唯一．
例如：
(第6题)
如图①，取上边的中点作为三角形的一个顶点，下边的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于长方形面积的一半；
如图②，花园在每一处的宽都相同，其宽为4米时，除去花园剩下的面积为长方形面积的一半．