2.2.2
开平方法
教案
教学目的：掌握解一元二次方程的直接开平方法；
重点、难点：直接开平方法解一元二次方程
教学过程：
一、探索：
请你和同学一起来探讨如何解下列方程：
（1）x2＝4；
（2）x2－1＝0;
归纳什么是直接开平方法；
二、新课：
解下列方程：
（1）x2－2＝0;
（2）16x2－25＝0.
解：（1）移项
：
(2)
直接开平方：
∴原方程的解是
2、练习：解下列方程：
x2＝169；
（2）x2－7=0
（3）45－x2＝0；
(4)
12y2－25＝0
(5)16x2－49=0
(6)2x2－32=0
例2解下列方程
（1）（x＋1）2－4＝0；
（2）12（2－x）2－9＝0.
分析：两个方程都可以转化为（
）2=a的形式，从而用直接开平方法求解.
解：（1）
（2）
4、练习：解下列方程：
（1）（x＋2）2－16＝0；
（2）(x－1)2－18＝0；
（3）(1－3x)2＝1；
（4）(2x＋3)2－25＝0.
（5）（2x－3）2=5
(6)(x+1)2－12=0
(7)
(x－5)2－36=0
(8)
(6x－1)2=25
三、堂上练习：
1、用直接开平方法解下列方程；
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）4
（12）
四、成果检测：
1、解下列方程
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
2、填空：
（1）方程的根是
；
（2）方程的根是
；
（3），则
；
（4）若关于x的一元二次方程有实数根，则n的取值范围是
；
3、用直接开平方法解方程
，方程的根为（
）
A
B
C
D
4、方程的根为（
）
A
）
2
B）－2
C
）
±2
D）无实根
5、下列方程能用直接开平方法解的是（
）
A）
B
）
C
）
D）
6、方程的实数根的个数是（
）
A）0
B）1
C）2
D）3
7、方程整理成一般形式后为（
）
A）
B）
C）
D）
8、方程的根为（
）
A）
B）
C）
D）±2.2.3
配方法
教案
教学目标
1、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
探究配方法，学会对一元二次方程进行变形。
通过对一元二次方程的配方，体会转化思想。
积极探索，类比交流，在探索中寻求解决问题的方法与途径，从而不断拓展数学思维。
教学重点
用配方法解一元二次方程。
教学难点
如何对一元二次方程进行配方。
教学过程
创设情境
导入新课
题组训练：
（1）
（2）
（3）
（4）
2、提问：这四个方程是一元二次方程的一般形式吗？如果不是，你能化成一般形式吗？
3、提问：方程如何解？
4、提问：你是采用什么方法将方程转化成的形式的？
合作交流
解读探究
1、填空：
①
②
③
④
⑤
2、引例：把下列方程化为的形式。
（1）
（2）
（三）应用迁移
巩固提高
例1解下列方程：
（1）
（2）
解：（2）移项，得
配方，得
即
解之得：
∴，
【变式题】解方程
练习巩固：课本练习。
例5
用配方法解下列方程
(1)x2-6x-7＝0
（2）x2
+3x+1＝0
（四）总结反思
拓展升华
【总结】1、用配方法解一元二次方程的一般步骤（二次项系数为1）
（1）移项
（2）配方
（3）用直接开平方法求解
2、配方法解一元二次方程的作用主要是为了转化，以便用直接开平方法求解。
【反思】是不是所有的一元二次方程配方后都能直接开平方？
解方程：
【拓展】请你判断二次三项式的值能否为0？
解：（法一）通过配方法解方程判断。
（法二）原式＝
＝
∵
∴≥
即≥
∴的值不可能为0。课题
2.2.4
公式法
教学目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程；会用公式法解一元二次方程。
教学重点
公式法解一元二次方程
教学难点
一元二次方程求根公式的推导。
学案设计
教案设计
教学过程
一、1.阅读教材P33-35内容.理解并掌握一元二次方程求根公式的推导过程；掌握公式的运用和书写格式。2.自学作业：一、用公式法解下列方程:二、选择适当的方法解下列方程
一、自学检测：1.用公式法解方程：2x2+x-1=02.
你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)吗？二、探究新知：1.结合自学检测2，推导一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式：(a≠0,
b2-4ac≥0)提问：当b2-4ac＜0时，一元二次方程的根会怎样？（方程ax2+bx+c=0无实数根。）三、当堂练习：1.解下列方程：（1）（2）（3）x2+2x+2=0指名上黑板练习，并归纳。问：一元二次方程的解有几种情况？（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。（2）当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根。（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程没有实数根。2.
解方程:三、综合练习：选择适当的方法解下列方程（1）x（2x-7）=2x（2）x +4x=3（3）（2x-1)2=（3x+1)2（4）(x+1)(x-1)=2引导学生观察方程的特点，选择适当的方法。四、课堂小结：1.通过本节课的学习，你学习到了什么知识或者方法？2.注意公式运用的规范过程。3.注意选择适当的方法解一元二次方程。五、布置作业。必做题：作业本中的基础练习选做题：作业中的综合练习。
教后反思2.2.1用因式分解法解一元二次方程
教案
课
时
教
学
目
标
掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.
2.会用因式分解法解一元二次方程.
教
学
设
想
教学重点：用因式分解法解一元二次方程.
教学难点：例3方程中含有无理系数，需将常数项2看成（
），
才能分解因式，是本节教学的难点.
一，复习引入
教
学
程
序
与
策
略
将下列各式分解因式：
(1)y-3y
(2)4x-9
(3)(3x-4)-(4x-3)
教师指出：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解.
你能利用因式分解解下列方程吗？
(1)y-3y=0
(2)4x=9
请中等学生上来板演，其余学生写在练习本上，教师巡视.之后教师指出：像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。（板书课题）
二.新课学习
1、归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：
教师首先指出：当方程的一边为0，另一边容易分解成两个一次因式的积时，用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤：（板书）
①
若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；
②
将方程的左边分解因式；
③
根据若M N=0，则M=0或N=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。
2、讲解例2.
解下列一元二次方程：
(1)(x-5)(3x-2)=10;
(2)x-2=x(x-2）;
(3)(3x-4)=(4x-3).
教师在讲解中不仅要突出整体的思想：把x-2及3x-4和4x-3看成整体，还要突出化归的思想：通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演，示范表述格式，强调两个一元一次方程之间的连结词要用“或”，而不能用“且。
（2）想一想：将第（1），（2），（3）题的解分别代人原方程的左、右两边，等式成立吗？
（3）归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型：
①先变形成一般形式，再因式分解：
②移项后直接因式分解.2.2.5
一元二次方程的根的判别式
教案
〖教学目标〗
知识与技能：了解一元二次方程根的判别式，理解为什么能根据它判断方程根的情况；能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根以及两个实数根是否相等。
过程与方法：经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。
情感态度与价值观：通过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严谨的治学态度。
〖重点难点〗
本节内容的教学重点是用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；教学难点是弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。
〖教学准备〗
教具准备：多媒体课件。
学生准备：复习一元二次方程的解法，预习本节内容。
〖教学流程〗
一、创设情境，提出问题
1、你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？
2、能力展示：分组比赛用公式法解方程
（1）x2+4=4x ；（2）x2+2x=3 ；（3）x2-x+2=0 。
（待学生做完后，教师点评。（1）x1=
x2 =
2 ；（2）x 1 =
1 ，x2 =
-3 ；（3）无实数根。)
3、发现问题
观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？
(1)方程根的情况？ （2）与b2-4ac的值，有什么关系？
4、提出问题
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？方程的根的情况是由什么决定的？
二、探究新知
1、一元二次方程的根的判别式
活动1 学生自学，初步感悟
请学生带着上面的问题，自学第31页课文至倒数第四行，并注意分类讨论的思想方法的使用。
教师巡视，并注意收集问题，为下一步集中释疑做准备。
活动2 合作交流，深入探究
请学生结合自己的理解，就上述问题的答案在小组内进行讨论、探究，然后教师组织全班进行交流，关键让学生讲清每个结论的理由。
活动3 师生合作，归纳提升（屏幕显示）：
由上面的讨论可见，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由b2-4ac来决定。因此，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。通常用符号“Δ”（希腊字母）来表示，读做“得尔塔”，即Δ=b2-4ac。在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美。（书写标题）
2、一元二次方程的根的判别方法
思考：你能说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况具体有哪几种，又是如何判别的吗？
学生思考，师生共同得出：
定理
一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，没有实数根。
这个结论告诉我们，只要算出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式的值，就可以由它的符号直接判别方程根的情况。
活动4 应用迁移，发展能力
例题1 不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）5x2-3x=2（2）25y2+4=20y（3）2x2+x+1=0
本例先让学生思考，分析解题思路，然后请学生口述第（1）小题的解法，教师板书，以进一步明确思路，强调解题方法及格式。
解
（1）原方程可变形为
5x2-3x-2=0，
因为Δ＝（-3）2-
4×5×（-2）＞0，
所以，原方程有两个不相等的实数根。
请学生回顾上面的解题过程，总结判别一元二次方程的根的情况的一般步骤：
一化（将一元二次方程化为一般形式）；
二算（确定a、b、c的值，算出Δ的值）；
三判断（根据定理判别方程根的情况）。
（2）、（3）小题由学生完成。
练习反馈：课本第32页练习1。
3、逆定理
活动5 逆向思考，拓展延伸
上面的定理中共有三个命题，你能分别说出它们的逆命题吗？（屏幕显示定理）
学生思考、交流并回答，教师指出：这三个命题也是真命题，从而得到：
逆定理 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；
当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；
当方程没有实数根时，Δ＜0。
例题2 已知关于x的方程x2－3x
+
k
=
0，问k取何值时，这个方程有两个相等的实数根
学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，然后请同学说出自己的想法。
变式：已知关于x的方程x2－3x
+
k
=
0，问k取何值时，这个方程有两个实数根
学生思考、分析，并与同伴交流与讨论，师生共同得到正确解题思路。
三、当堂检测
1.一元二次方程3x2-2x+1=0的根的判别式的值为______
,所以方程根的情况是_______________.
2.若一元二次方程x2-ax+1=0的两实根相等，则a的值是（ ）
A.a=0 B.a
=2或a
=-2
C.a
=2
D.a
=2或a
=0
3. 若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是
（ ）
A
.m ﹥0 B
.
m ≥ 0
C
.
m ﹥ 0 且m≠1 D
.
m≥0且m≠1
四、小结与评价
1、通过本节课的学习，你有哪些收获？
本节课的主要内容：
（1）、一元二次方程根的判别式的意义；
（2）、由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况的定理和逆定理
2、本节课你对自己的表现满意吗？对同学呢？能给老师一个评价吗？
五、作业设计
课本作业题
板书设计：
一元二次方程根的判别式1、定义 例题解（1） 学生板演处2、定理逆定理3、一化二算三判断
