2.1 直线与圆的位置关系(2)
1.
如图,△ABC的一边AB是⊙O的直径,请你添加一个条件,使BC是⊙O的切线:∠ABC=90°(答案不唯一).
( http: / / www.21cnjy.com )
(第1题)
(第2题)
2.如图,在△ABC中,∠BAC=45°
( http: / / www.21cnjy.com ).以点A为圆心,AC为半径作圆,要使BC为圆的切线,则边AC与BC所满足的条件是AC=BC或AC⊥BC.
(第3题)
3.如图,已知∠AOB=30°,点M为OB边上任意一点,以点M为圆心,2
cm为半径作⊙M,当OM=__4__
cm时,⊙M与OA相切.
4.命题“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是(D)
A.经过半径的外端点的直线是圆的切线
B.垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线
C.垂直于半径的直线是圆的切线
D.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
5.已知PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点B.若PA=6,PB=4,则⊙O的半径是(A)
A. B. C.2 D.5
(第6题)
6.如图,⊙B的半径为4
cm,∠MBN=60°,点A,C分别是射线BM,BN上的动点,且直线AC⊥BN.当AC平移到与⊙B相切时,AB的长度是
(D)
A.7
cm B.4
cm C.6
cm D.8
cm
(第7题)
7.如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,∠BAC=∠CAD,CD⊥AD,垂足为点D.求证:CD与⊙O相切.
【解】 连结OC.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.
∵∠OAC=∠CAD,∴∠CAD=∠OCA,
∴AD∥OC.
∵AD⊥DC,∴OC⊥CD.
又∵点C为⊙O上一点,
∴CD是⊙O的切线.
8.如图,AB是⊙O的直径,AD是弦,OC⊥BD于点E,∠DBC=∠A.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若BD=12,EC=10,求AD的长.
(第8题)
【解】 (1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠D=90°,
∴∠A+∠ABD=90°.
∵∠DBC=∠A,
∴∠DBC+∠ABD=90°.
即∠ABC=90°,∴AB⊥BC.
∴BC是⊙O的切线.
(2)∵OC⊥BD,∴OC∥AD.
∵点O是AB的中点,∴BE=DE=BD=6.
∵∠BEC=∠D=90°,∠DBC=∠A,
∴△BEC∽△ADB,∴=.
∴=,∴AD=7.2.
9.如图①,⊙O是△ABC的外接圆,且∠B=∠CAD.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)如图②,把条件“∠B=∠CAD”改为“延长BC交直线AD于点D,且AD2=DC·DB”,其他条件不变,则AD还是⊙O的切线吗?请说明理由.
,①) ,②)
(第9题)
【解】 (1)作直径AE,连结CE.
由∠CAD=∠B=∠AEC得
∠EAD=∠EAC+∠CAD
=∠EAC+∠AEC=90°,
∴AD是⊙O的切线.
(2)AD是⊙O的切线.理由如下:
由AD2=DC·DB,得=.
又∵∠D=∠D,
∴△CAD∽△ABD,∴∠CAD=∠B.
从而由(1)可证得AD还是⊙O的切线.
10.如图,在△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于点D,过点D作DE⊥AC于点E,交BC的延长线于点F.求证:
(1)AD=BD;
(2)DF是⊙O的切线.
(第10题)
【解】 (1)连结OD,CD.
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BDC=∠ADC=90°.
又∵AC=BC,
∴BD=AD.
(2)∵AD=BD,BO=CO,
∴DO是△ABC的中位线.
∴DO∥AC.
∵DE⊥AC,即DF⊥AC,∴DF⊥OD.
∵OD是⊙O的半径,∴DF是⊙O的切线.
(第11题)
11.如图,⊙O的半径为2,点A的坐标为(2,2
),直线AB为⊙O的切线,点B为切点.则点B的坐标为(D)
A.
B.(-,1)
C.
D.(-1,)
【解】 过点A作x轴的垂线交x轴于点C,则OC=2.
∵AB为⊙O的切线,点B为切点,
∴OB⊥AB,且OB=2.
又∵AO=AO,∴Rt△ABO≌Rt△ACO(HL).
∵tan∠AOC===,
∴∠AOC=60°,∴∠AOB=60°.∴∠BOD=60°.
过点B作BD⊥x轴于点D,
则BD=BO·sin60°=2×=,∴DO=1.
∴点B的坐标为(-1,).
12.如图,在△ABO中,OA=OB,以点O为圆心的圆经过AB的中点C,且分别交OA,OB于点E,F.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若△ABO腰上的高等于底边的一半,且AB=4
,求的长.
(第12题)
【解】 (1)连结OC.
∵点C为AB中点,∴AC=BC.
∵OA=OB,OC=OC,
∴△AOC≌△BOC,
∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=90°.
∴AB是⊙O的切线.
(2)过点B作△AOB的高BH.
∵BH=AB,∠BHA=90°,∴∠A=30°.
∵∠ACO=90°,∴OC=AO.
∵AC=BC=AB,AB=4
,
∴AC=2
.∴OC=2.
∵AO=BO,∴∠OBC=∠A=30°.
∴∠AOB=120°,
∴的长==π.
13.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,直线MN过点C,过点A作直线MN的垂线,垂足为D,且∠BAC=∠DAC.
(1)猜想直线MN与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若CD=6,cos∠ACD=,求⊙O的半径.
(第13题)
【解】 (1)直线MN与⊙O的位置关系是相切.
理由如下:
连结OC.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∵∠CAB=∠DAC,
∴∠DAC=∠OCA,
∴OC∥AD.
∵AD⊥MN,
∴OC⊥MN.
又∵OC是⊙O的半径,
∴MN是⊙O的切线.
(2)∵CD=6,cos∠ACD==,
∴AC=10,∴AD=8.
∵AB是⊙O的直径,AD⊥MN,
∴∠ACB=∠ADC=90°.
∵∠DAC=∠BAC,
∴△ADC∽△ACB,
∴=,
∴=,
∴AB=,
∴⊙O的半径为×=.
(第14题)
14.如图,已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圆,∠ADE=90°,延长ED到点C,使DC=AD,以AD,
DC为邻边作正方形ABCD,连结AC,连结BE交AC于点H,求证:
(1)AC是⊙O的切线;
(2)CH=2AH.
【解】 (1)∵∠ADE=90°,
∴AE为⊙O的直径.
∵△ADE为等腰直角三角形,
∴∠EAD=45°.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠DAC=45°,
∴∠EAC=45°+45°=90°,
∴AC⊥AE.
又∵OA为⊙O的半径,
∴AC是⊙O的切线.
(2)∵四边形ABCD为正方形,
∴AB∥CD,
∴△ABH∽△CEH,
∴AH∶CH=AB∶CE.
∵△ADE为等腰直角三角形,
∴AD=ED.
又∵AD=AB=DC,
∴CE=2AB,
∴AH∶CH=1∶2,
即CH=2AH.2.1 直线与圆的位置关系(1)
1.已知⊙O的直径为6
cm,直线m与⊙O相切,则圆心O与直线m的距离为__3__cm.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5
cm,BC=3
cm,以点A为圆心,4
cm长为半径作圆,那么:
(1)直线BC与⊙A的位置关系是__相切__;
(2)直线AC与⊙A的位置关系是__相交__;
(3)以C为圆心,半径为____cm的圆与直线AB相切.
3.⊙O的半径为4,直线l与⊙O相交,则圆心O到直线l的距离d的取值范围是__0≤d<4__.
(第4题)
4.
如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,D,E分别是AC,AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是相交.
5.下列图形中的直线l与⊙O的位置关系是相离的是(C)
6.在正方形ABCD中,若以AB为直径画圆,则在正方形的其余三条边中,与这个圆相切的条数是(C)
A.0
B.1
C.2
D.3
7.已知⊙O的半径为8,圆心O到直线l的距离为4,则直线l与⊙O的位置关系是(B)
A.相切
B.相交
C.相离
D.不能确定
8.在平面直角坐标系中,以点(4,3)为圆心,3为半径的圆,必定(A)
A.与x轴相切
B.与x轴相交
C.与y轴相切
D.与y轴相交
9.如图,⊙O的半径是6,⊙O的一条弦AB的长为6
,以3为半径的同心圆与AB的位置关系是什么?并说明理由.
(第9题)
【解】 相切.理由如下:过点O作OC⊥AB于点C,则AC=BC=AB=3
.
连结AO,则AO=6.
∴在Rt△ACO中,CO==3.
∴以3为半径的同心圆与AB相切.
(第10题)
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,
( http: / / www.21cnjy.com )∠A=30°.O为射线BA上一点,BO=m,⊙O的半径为.当m在什么范围内取值时,直线BC与⊙O相离?相切?相交?
【解】 当m>时,直线BC与⊙O相离;当m=时,直线BC与⊙O相切;当0≤m<时,直线BC与⊙O相交.
(第11题)
11.如图,有两个同心圆,大圆的半径为5
cm,小圆半径为3
cm,若大圆的弦AB与小圆相交,则弦AB的取值范围是8<AB≤10.
【解】 如图,当AB与小圆相切时,有一个公共点D,连结OA,OD,可得OD⊥AB,
∴AD=BD.
在Rt△ADO中,OD=3,OA=5,
∴AD=4,
∴AB=2AD=8.
当AB为大圆直径时,AB最大且与小圆相交,有两个公共点,
此时AB=10.
∴AB的取值范围是8<AB≤10.
(第12题)
12.如图,以点O为圆心,方圆8海里范围内有暗礁.某轮船行驶到距O点正西16海里的A处接到消息,则该船在南偏东多少度以内航行才不会触礁?
【解】 若要使该船不触礁,则航线至少与⊙O相切,过点A作⊙O的切线AB,与⊙O切于点C,连结OC,则OC=8,AO=16,
在Rt△OAC中,sinA===,
∴∠A=30°,即当该船在南偏东60°以内航行时,才不会触礁.
13.如图,点P为∠ABC的角平分线上一点,BC与⊙P相切,则AB与⊙P相切吗?为什么?
(第13题)
【解】 过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥AB于点F.
设⊙P的半径为r.
∵BP是角平分线,
∴PE=PF.
∵BC是⊙P的切线,
∴PE=r.
∴PF=PE=r.
∴AB与⊙P也相切.2.1 直线与圆的位置关系
(3)
1.如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D.若∠C=26°,则∠CDA=__122°__.
,(第1题)) ,(第2题))
2.如图,AB是半圆O的直径,点P在AB的延长线上,PM切半圆O于点M.若OA=a,PM=a,则△PMB的周长是(2+)a.
(第3题)
3.如图,已知线段OA交⊙O于点B,且OB=AB,点P是⊙O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是(D)
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
4.已知PA,PB是⊙O的切线,切点分别为A,B,点C为⊙O上与A,B不重合的点.如果∠P=50°,那么∠ACB等于(D)
A.40°
B.50°
C.65°
D.65°或115°
5.如图,直线AB与半径为2的⊙O相切于点C,点D是⊙O上一点,且∠EDC=30°.若弦EF∥AB,则EF的长度为(B)
A.2
B.2
C.
D.2
,(第5题)) ,(第6题))
6.如图,以正方形ABCD的边AB,AD为直径向外作半圆,过点A作直线分别交两半圆于点E,F.若AF=3,AE=4,则正方形的面积为(C)
A.9
B.16
C.25
D.12
(第7题)
7.如图,已知AB是⊙O的直径,直线BC与⊙O相切于点B,∠ABC的平分线BD交⊙O于点D,AD的延长线交BC于点C.
(1)求∠BAC的度数;
(2)求证:AD=CD.
【解】 (1)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠CDB=90°,BD⊥AC.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中,
∵
∴△ABD≌△CBD(ASA),
∴AB=CB.
∵直线BC与⊙O相切于点B,
∴∠ABC=90°,
∴∠BAC=∠C=45°.
(2)∵AB=CB,BD⊥AC,
∴AD=CD.
8.如图,在△ABC中,BC=4,以点
( http: / / www.21cnjy.com )A为圆心,2为半径的⊙A与BC相切于点D,交AB于点E,交AC于点F.点P是⊙A上的一点,且∠EPF=40°,求图中阴影部分的面积.
(第8题)
【解】 连结AD.
∵BC切⊙A于点D,
∴AD⊥BC且AD=2.
∴S△ABC=AD·BC=4.
∵∠EPF=40°,∴∠EAF=80°.
∴S扇AEF==π.
∴S阴=S△ABC-S扇AEF=4-.
(第9题)
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,点O是AB上的点,以点O为圆心,OB为半径的圆与AB相交于点E,与AC相切于点D.已知AD=2,AE=1,求BC.
【解】 连结OD.
∵⊙O切AC于点D,
∴∠ODA=90°.
设⊙O的半径为r.
∵AD2+OD2=(AE+EO)2,
∴22+r2=(1+r)2,∴r=1.5.
∵OD⊥AC,BC⊥AC,∴=,
∴=,∴BC=2.4.
10.如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O于点B,AC交⊙O于点D.若∠A=30°,AD=2,求BC的长.
(第10题)
【解】 连结BD,则∠ADB=90°.
设⊙O的半径为r.
∵∠A=30°,∴DB=r.∴AD=r.
∵AD=2,∴r=
.
∵⊙O切BC于点B,
∴∠CBA=90°.
∴△ABD∽△ACB.
∴=.∴BC=.
(第11题)
11.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,以点A为圆心,AD为半径的圆与BC相切于点M,与AB交于点E.若AD=2,BC=6,则的长为____.
【解】 连结AM,可知AD=AM=BM=2,
∴∠B=45°,∠BAD=135°,
∴l==.
12.
如图,在Rt△AOB中,
OA=OB=3
,⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点),则切线PQ的最小值为2_.
【解】 连结OP,OQ.
∵PQ为⊙O的切线,
∴PQ⊥OQ,∴PQ=.
∵OQ=1,∴当OP最小时,OQ最小.
当OP⊥AB时,OP最小,此时OP=OA·sinA=3
×=3.
∴PQ最小==2
.
(第12题) (第13题)
13.如图,AB是⊙O的直径,DE切⊙O于点C,要使AE⊥DE,应补充的一个条件是__AC平分∠BAE(答案不唯一)__(不另外添加线).
14.如图,已知OA,OB是⊙O的
( http: / / www.21cnjy.com )半径,且OA⊥OB.P是射线OA上一点(与点A不重合),直线BP交⊙O于点Q,过点Q作⊙O的切线交直线OA于点E.
(1)若点P在线段OA上,求证:∠OBP+∠AQE=45°;
(2)如图①,若点P在线段OA的延长线上,其他条件不变,∠
OBP和∠AQE之间是否存在某种确定的等量关系?请你完成图②,并写出你的结论(不需证明).
(第14题)
【解】 (1)证明:如图①,连结OQ.
∵OB⊥OA,∴∠BOA=90°.
在△BOQ中,∠OBQ+∠BOA+∠EOQ+∠OQB=180°,
∴∠OBQ+∠EOQ+∠OQB=90°.
∵OB=OQ,∴∠OBQ=∠OQB,
∴2∠OQB+∠EOQ=90°①.
又∵EQ切⊙O于点Q,∴OQ⊥QE,
∴∠OQE=∠OQB+∠BQA+∠AQE=90°.
∵OQ=OA,∴∠OQA=∠OAQ.
在△OAQ中,∠EOQ+2(∠OQB+∠BQA)=180°②.
由①②,得2∠BQA=90°,
∴∠BQA=45°,
∴∠OBP+∠AQE=∠OQB+∠AQE=45°.
(2)如解图. (第14题解)
结论:∠OBP-∠AQE=45°.
(第15题)
15.如图,已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B,PD交⊙O于点C,D,PE是⊙O的切线,E为切点,连结AE,交CD于点F.
(1)若⊙O的半径为8,求CD的长;
(2)求证:PE=PF;
(3)若PF=13,sinA=,求EF的长.
【解】 (1)连结OD.
∵直线PD垂直平分OA于点B,OA=8,
∴OB=OA=4,BC=BD=CD,
∴在Rt△OBD中,BD==4
,
∴CD=2BD=8
.
(2)∵PE是⊙O的切线,∴∠PEO=90°,
∴∠PEF=90°-∠AEO.
∵OE=OA,∴∠A=∠AEO.
∵∠PFE=∠AFB=90°-∠A,
∴∠PEF=∠PFE,∴PE=PF.
(3)过点P作PG⊥EF于点G,
则∠PGF=∠ABF=90°.
∵∠PFG=∠AFB,
∴∠FPG=∠A,
∴FG=PF·sinA=13×=5.
∵PE=PF,∴EF=2FG=10.