2.2切线长定理 课时练习含答案
图片预览
文档简介
2.2 切线长定理
1．如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O分别切边AB，BC，AC于点D，E，F，则AF的长为(A)
A．5
B．10
C．7.5 D．4
(第1题) (第2题)
2．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，B，C是切点，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为(C)
A．130°
B．120°
C．110°
D．100°
3．已知⊙O的半径是4，P是⊙O外的一点，且PO＝8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，则AB＝(C)
A．4 B．4
C．4
D．2
4．如图，AB，CD分别为⊙O1，⊙O2的弦，AC，BD为两圆的公切线且交于点P.若PC＝2，CD＝3，DB＝6，则△PAB的周长为(D)
A．6 B．9
C．12 D．14
(第4题) (第5题)
5．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O相切于点A，B，C是上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA，PB于点D，E，若△PDE的周长为12，则PA的长为__6__．
6．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，
C是切点，A，D是⊙O上的两点．若∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是__99°__．
(第6题) (第7题)
7.
如图，⊙O的半径OC是⊙O1的直径
( http: / / www.21cnjy.com )，且有OC垂直于⊙O的直径AB.⊙O1的切线AD交OC的延长线于点E，切点为D，已知⊙O1的半径为r，则AO1＝r，DE＝__r__．
(第8题)
8．如图，AB为半圆O的直径，在AB的同侧
( http: / / www.21cnjy.com )作AC，BD切半圆O于点A，B，CD切半圆O于点E.请分别写出一对相等的角．一对相等的线段和一对相似三角形．
【解】 答案不唯一，如：∠ACO＝∠OCD，
AC＝CE，△ACO∽△OCD.
9．如图，直尺、三角尺和⊙O相切，AB＝8
cm.求⊙O的直径．
(第9题) (第9题解)
【解】 连结OE，OA，OB，如解图．
∵AC，AB都是⊙O的切线，切点分别是E，B，
∴∠OBA＝∠OEA＝90°，AE＝AB.
又∵OA＝OA，∴Rt△OAE≌Rt△OAB(HL)，
∴∠OAE＝∠OAB＝∠BAC.
∵∠CAD＝60°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠OAB＝×120°＝60°，
∴∠BOA＝30°，
∴OA＝2AB＝16
cm.
∴OB＝＝＝8
(cm)，
∴⊙O的直径是16
cm.
10．如图，已知CA，CD分别切⊙O1于点A，D，CB，CE分别切⊙O2于点B，E.若∠1＝60°，∠2＝65°，比较AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是(A)
(第10题)
A．AB>CE>CD
B．AB＝CE>CD
C．AB>CD>CE
D．AB＝CD＝CE
【解】 ∵∠1＝60°，∠2＝65°，
∴∠ABC＝180°－∠1－∠2＝55°，
∴∠2>∠1>∠ABC，
∴AB>BC>AC.
∵CA，CD分别切⊙O1于点A，D，CB，CE分别切⊙O2于点B，E，
∴AC＝CD，BC＝CE，
∴AB>CE>CD.
(第11题)
11．如图，在△ABC中，∠B＝90°，O
( http: / / www.21cnjy.com )是AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AB交于点E，与AC相切于点D，直线ED交BC的延长线于点F.
(1)求证：BC＝FC；
(2)若AD∶AE＝2∶1，求tanF的值．
【解】 (1)连结BD.
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠EBD＝90°－∠BED.
∵∠EBF＝90°，
∴∠F＝90°－∠BEF.
∴∠F＝∠EBD.
∵AC切⊙O于点D，
∴∠EBD＝∠ADE＝∠CDF.
∴∠F＝∠CDF，
∴DC＝FC.
∵OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线，
∴DC＝BC.
∴BC＝FC.
(2)在△ADE和△ABD中，
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABD，
∴△ADE∽△ABD，
∴＝＝.
又∵∠F＝∠EBD，
∴tan
F＝tan∠EBD＝＝.
12．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E.
(1)求证：EB＝EC＝ED；
(2)试问：在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF·DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．
(第12题)
【解】 (1)连结OD，BD.
∵ED，EB是⊙O的切线，
∴ED＝EB，∠EDO＝∠EBO.
∵OD＝OB，OE＝OE，
∴△ODE≌△OBE，
∴∠DEO＝∠BEO，
∴OE垂直平分BD.
又∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD.
∴AD∥OE.
即OE∥AC.
又∵O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴EB＝EC，
∴EB＝EC＝ED.
(2)在△DEC中，∵ED＝EC，
∴∠C＝∠CDE，
∴∠DEC＝180°－2∠C.
①当∠DEC>∠C时，有180°－2∠C>∠C，即0°<∠C<60°，在线段DC上存在点F满足BC2＝4DF·DC.
在△DEC中，过点E作∠DEF＝∠C，EF交CD于点F，则点F即为所求．
证明如下：
在△DCE和△DEF中，
∵∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF，
∴△DEF∽△DCE，
∴DE2＝DF·DC，
即＝DF·DC，
∴BC2＝4DF·DC.
②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC＝∠C＝60°.
此时，点C即为满足条件的点F，∴DF＝DC＝DE，仍有BC2＝4DE2＝4DF·DC.
③当∠DEC<∠C时，有1
( http: / / www.21cnjy.com )80°－2∠C<∠C，即60°<∠C<90°，所作的∠DEF>∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F.
1．如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O分别切边AB，BC，AC于点D，E，F，则AF的长为(A)
A．5
B．10
C．7.5 D．4
(第1题) (第2题)
2．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，B，C是切点，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为(C)
A．130°
B．120°
C．110°
D．100°
3．已知⊙O的半径是4，P是⊙O外的一点，且PO＝8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，则AB＝(C)
A．4 B．4
C．4
D．2
4．如图，AB，CD分别为⊙O1，⊙O2的弦，AC，BD为两圆的公切线且交于点P.若PC＝2，CD＝3，DB＝6，则△PAB的周长为(D)
A．6 B．9
C．12 D．14
(第4题) (第5题)
5．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O相切于点A，B，C是上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA，PB于点D，E，若△PDE的周长为12，则PA的长为__6__．
6．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，
C是切点，A，D是⊙O上的两点．若∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是__99°__．
(第6题) (第7题)
7.
如图，⊙O的半径OC是⊙O1的直径
( http: / / www.21cnjy.com )，且有OC垂直于⊙O的直径AB.⊙O1的切线AD交OC的延长线于点E，切点为D，已知⊙O1的半径为r，则AO1＝r，DE＝__r__．
(第8题)
8．如图，AB为半圆O的直径，在AB的同侧
( http: / / www.21cnjy.com )作AC，BD切半圆O于点A，B，CD切半圆O于点E.请分别写出一对相等的角．一对相等的线段和一对相似三角形．
【解】 答案不唯一，如：∠ACO＝∠OCD，
AC＝CE，△ACO∽△OCD.
9．如图，直尺、三角尺和⊙O相切，AB＝8
cm.求⊙O的直径．
(第9题) (第9题解)
【解】 连结OE，OA，OB，如解图．
∵AC，AB都是⊙O的切线，切点分别是E，B，
∴∠OBA＝∠OEA＝90°，AE＝AB.
又∵OA＝OA，∴Rt△OAE≌Rt△OAB(HL)，
∴∠OAE＝∠OAB＝∠BAC.
∵∠CAD＝60°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠OAB＝×120°＝60°，
∴∠BOA＝30°，
∴OA＝2AB＝16
cm.
∴OB＝＝＝8
(cm)，
∴⊙O的直径是16
cm.
10．如图，已知CA，CD分别切⊙O1于点A，D，CB，CE分别切⊙O2于点B，E.若∠1＝60°，∠2＝65°，比较AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是(A)
(第10题)
A．AB>CE>CD
B．AB＝CE>CD
C．AB>CD>CE
D．AB＝CD＝CE
【解】 ∵∠1＝60°，∠2＝65°，
∴∠ABC＝180°－∠1－∠2＝55°，
∴∠2>∠1>∠ABC，
∴AB>BC>AC.
∵CA，CD分别切⊙O1于点A，D，CB，CE分别切⊙O2于点B，E，
∴AC＝CD，BC＝CE，
∴AB>CE>CD.
(第11题)
11．如图，在△ABC中，∠B＝90°，O
( http: / / www.21cnjy.com )是AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AB交于点E，与AC相切于点D，直线ED交BC的延长线于点F.
(1)求证：BC＝FC；
(2)若AD∶AE＝2∶1，求tanF的值．
【解】 (1)连结BD.
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠EBD＝90°－∠BED.
∵∠EBF＝90°，
∴∠F＝90°－∠BEF.
∴∠F＝∠EBD.
∵AC切⊙O于点D，
∴∠EBD＝∠ADE＝∠CDF.
∴∠F＝∠CDF，
∴DC＝FC.
∵OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线，
∴DC＝BC.
∴BC＝FC.
(2)在△ADE和△ABD中，
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABD，
∴△ADE∽△ABD，
∴＝＝.
又∵∠F＝∠EBD，
∴tan
F＝tan∠EBD＝＝.
12．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E.
(1)求证：EB＝EC＝ED；
(2)试问：在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF·DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．
(第12题)
【解】 (1)连结OD，BD.
∵ED，EB是⊙O的切线，
∴ED＝EB，∠EDO＝∠EBO.
∵OD＝OB，OE＝OE，
∴△ODE≌△OBE，
∴∠DEO＝∠BEO，
∴OE垂直平分BD.
又∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD.
∴AD∥OE.
即OE∥AC.
又∵O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴EB＝EC，
∴EB＝EC＝ED.
(2)在△DEC中，∵ED＝EC，
∴∠C＝∠CDE，
∴∠DEC＝180°－2∠C.
①当∠DEC>∠C时，有180°－2∠C>∠C，即0°<∠C<60°，在线段DC上存在点F满足BC2＝4DF·DC.
在△DEC中，过点E作∠DEF＝∠C，EF交CD于点F，则点F即为所求．
证明如下：
在△DCE和△DEF中，
∵∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF，
∴△DEF∽△DCE，
∴DE2＝DF·DC，
即＝DF·DC，
∴BC2＝4DF·DC.
②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC＝∠C＝60°.
此时，点C即为满足条件的点F，∴DF＝DC＝DE，仍有BC2＝4DE2＝4DF·DC.
③当∠DEC<∠C时，有1
( http: / / www.21cnjy.com )80°－2∠C<∠C，即60°<∠C<90°，所作的∠DEF>∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F.