2.3《三角形的内切圆》同步提升练习
一、选择题
1．下列命题正确的是（
）
A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B．三角形的内心不一定在三角形的内部
C．等边三角形的内心，外心重合
D．一个圆一定有唯一一个外切三角形
图2
图3
2．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（
）
A．70°
B．110°
C．120°
D．130°
3．如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（
）
A．112.5°
B．112°
C．
125°
D．55°
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ）
A、1.5，2.5
B、2，5
C、1，2.5
D、2，2.5
5．已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（）
A、0＜d＜1
B、d＞5
C、0＜d＜1或d＞5
D、0≤d＜1或d＞5
6.如图,
O为Rt△ABC内切圆,
∠C=90°,
AO延长线交BC于D点,若AC＝4,
CD=1，
则⊙O半径为（ ）
A、
B、
C、
D、
二、填空题
7.若直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则它的外接圆半径为________ ，内切圆半径为________ ．
8.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=12cm，⊙O是Rt△ABC的内切圆，则⊙O的面积是 ________（用含π的式子表示）．
9.如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，AC=8，则它的内切圆半径是________
10.如图，若△ABC的三边长分别为AB=9，BC=5，CA=6，△ABC的内切圆⊙O切AB，BC，AC于点D，E，F，则AF的长为________．
11.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：
①∠BOC＝90 ＋∠A；
②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn；
④EF是△ABC的中位线．其中正确的结论是________．
三、解答题
12．如图，△ABC，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．
（1）求证：BF=CE；
（2）若∠C=30°，CE=2，求AC的长．
13．如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M是
上的动点（与D，E不重合），∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由．
14．如图，已知正三角形ABC的边长为2a．
（1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；
（2）根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积；
（3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形”，你能得出怎样的结论？
（4）已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环面积．
15．如图，已知△ABC的内切圆⊙O分别和边BC，AC，AB切于D，E，F，如果AF=2，BD=7，CE=4．
（1）求△ABC的三边长；
（2）如果P为上一点，过P作⊙O的切线，交AB于M，交BC于N，求△BMN的周长．
参考答案
1．B
2．B
3．A
4．C
5．C
6.
A
7．∠DMF的大小一定，∠DMF=65°
8．（1）90°+m°
（2）2m°
（3）180°－m°
9．AC=4
10．AC
11．（1）a2
（2）弦AB或BC或
（3）圆环的面积均为·（）2
（4）a2
12．（1）AB=9，BC=11，AC=6
（2）14
13．（1）2
（2）r=
14．（提示：连ID，IE，IF，IB，证四边形CEID为正方形，求出ID=CE=2，证BF=BE=4，OF=1，再在Rt△IFO中求IO）
15．（1）AB+CD=AD+BC，证明略
（2）4m2．1《直线与圆的位置关系》同步提升试题
1．命题“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是()
A．经过半径的外端点的直线是圆的切线
B．垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
2．已知PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B.若PA＝6，PB＝4，则⊙O的半径是()
A.
B.
C．2
D．5
3．如图，⊙B的半径为4
cm，∠MBN＝60°，点A，C分别是射线BM，BN上的动点，且直线AC⊥BN.当AC平移到与⊙B相切时，AB的长度是()
A．7
cm
B．4
cm
C．6
cm
D．8
cm
4．如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为(2，2
)，直线AB为⊙O的切线，点B为切点．则点B的坐标为()
A.
B．(－，1)
C.
D．(－1，)
5．已知PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，点C为⊙O上与A，B不重合的点．如果∠P＝50°，那么∠ACB等于()
A．40°
B．50°
C．65°
D．65°或115°
6．如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，点D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°.若弦EF∥AB，则EF的长度为()
A．2
B．2
C.
D．2
7．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，直线MN过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为D，且∠BAC＝∠DAC.
(1)猜想直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若CD＝6，cos∠ACD＝，求⊙O的半径．
8．如图，已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圆，∠ADE＝90°，延长ED到点C，使DC＝AD，以AD，DC为邻边作正方形ABCD，连结AC，连结BE交AC于点H，求证：
(1)AC是⊙O的切线；
(2)CH＝2AH.
9．如图，已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C，D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F.
(1)若⊙O的半径为8，求CD的长；
(2)求证：PE＝PF；
(3)若PF＝13，sinA＝，求EF的长．
10．如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC⊥BD于点E，∠DBC＝∠A.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BD＝12，EC＝10，求AD的长．
11．如图①，⊙O是△ABC的外接圆，且∠B＝∠CAD.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)如图②，把条件“∠B＝∠CAD”改为“延长BC交直线AD于点D，且AD2＝DC·DB”，其他条件不变，则AD还是⊙O的切线吗？请说明理由．
,①) ,②)
答案：
1—6
D；A；D；D；D；B
7.【解】 (1)直线MN与⊙O的位置关系是相切．
理由如下：
连结OC.
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA.
∵∠CAB＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD.
∵AD⊥MN，
∴OC⊥MN.
又∵OC是⊙O的半径，
∴MN是⊙O的切线．
(2)∵CD＝6，cos∠ACD＝＝，
∴AC＝10，∴AD＝8.
∵AB是⊙O的直径，AD⊥MN，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°.
∵∠DAC＝∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝，
∴⊙O的半径为×＝.
8.【解】 (1)∵∠ADE＝90°，
∴AE为⊙O的直径．
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴∠EAD＝45°.
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAC＝45°，
∴∠EAC＝45°＋45°＝90°，
∴AC⊥AE.
又∵OA为⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．
(2)∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，
∴△ABH∽△CEH，
∴AH∶CH＝AB∶CE.
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴AD＝ED.
又∵AD＝AB＝DC，
∴CE＝2AB，
∴AH∶CH＝1∶2，
即CH＝2AH.
9.【解】 (1)连结OD.
∵直线PD垂直平分OA于点B，OA＝8，
∴OB＝OA＝4，BC＝BD＝CD，
∴在Rt△OBD中，BD＝＝4
，
∴CD＝2BD＝8
.
(2)∵PE是⊙O的切线，∴∠PEO＝90°，
∴∠PEF＝90°－∠AEO.
∵OE＝OA，∴∠A＝∠AEO.
∵∠PFE＝∠AFB＝90°－∠A，
∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF.
(3)过点P作PG⊥EF于点G，
则∠PGF＝∠ABF＝90°.
∵∠PFG＝∠AFB，
∴∠FPG＝∠A，
∴FG＝PF·sinA＝13×＝5.
∵PE＝PF，∴EF＝2FG＝10.
10.【解】 (1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠D＝90°，
∴∠A＋∠ABD＝90°.
∵∠DBC＝∠A，
∴∠DBC＋∠ABD＝90°.
即∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.
∴BC是⊙O的切线．
(2)∵OC⊥BD，∴OC∥AD.
∵点O是AB的中点，∴BE＝DE＝BD＝6.
∵∠BEC＝∠D＝90°，∠DBC＝∠A，
∴△BEC∽△ADB，∴＝.
∴＝，∴AD＝7.2.
11.【解】 (1)作直径AE，连结CE.
由∠CAD＝∠B＝∠AEC得
∠EAD＝∠EAC＋∠CAD
＝∠EAC＋∠AEC＝90°，
∴AD是⊙O的切线．
(2)AD是⊙O的切线．理由如下：
由AD2＝DC·DB，得＝.
又∵∠D＝∠D，
∴△CAD∽△ABD，∴∠CAD＝∠B.
从而由(1)可证得AD还是⊙O的切线．2.2《切线长定理》同步提升练习题
一、选择题
1．下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦；③三角形的内心到三条边的距离相等；④圆的切线垂直于经过切点的半径．其中正确的个数是（
）
A、0
B、2
C、3
D、4
2．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A、点（0，3）
B、点（2，3）
C、点（5，1）
D、点（6，1）
3．已知⊙O的半径是4，P是⊙O外的一点，且PO＝8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，则AB＝0
A．4
B．4
C．4
D．2
4．如图，AB，CD分别为⊙O1，⊙O2的弦，AC，BD为两圆的公切线且交于点P.若PC＝2，CD＝3，DB＝6，则△PAB的周长为(
)
A．6
B．9
C．12
D．14
5.如图，半圆D的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是
(
)
A、y=-x2+x
B、y=-x2+x
C、y=-x2-x
D、y=x2-x
6、如图，在⊙O中，AD，CD是弦，连接OC并延长，交过点A的切线于点B，若∠ADC=30°，则∠ABO的度数为
A、20°B、30°C、40°D、50°
7、如图，AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F，如果AD=20，则△ABC的周长为（ ）
A、20
B、30
C、40
D、50
8、如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，0C=8cm，则BE+CG的长等于（）
A、13
B、12
C、11
D、10
二、填空题
9．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O相切于点A，B，C是上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA，PB于点D，E，若△PDE的周长为12，则PA的长为____．
10．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上的两点．若∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是___．
11.
如图，⊙O的半径OC是⊙O1的直径，且有OC垂直于⊙O的直径AB.⊙O1的切线AD交OC的延长线于点E，切点为D，已知⊙O1的半径为r，则AO1＝r，DE＝___
12、如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，已知AB=5，CD=7，那么AD+BC=______.
13、如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于E，PA=6，则△PDC的周长为_____.
14、如图，AB为半⊙O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半⊙O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长是________
三、解答题
15．如图，AB为半圆O的直径，在AB的同侧作AC，BD切半圆O于点A，B，CD切半圆O于点E.请分别写出一对相等的角．一对相等的线段和一对相似三角形
16．如图，直尺、三角尺和⊙O相切，AB＝8
cm.求⊙O的直经
17．如图，已知CA，CD分别切⊙O1于点A，D，CB，CE分别切⊙O2于点B，E.若∠1＝60°，∠2＝65°，比较AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是
A．AB>CE>CD
B．AB＝CE>CD
C．AB>CD>CE
D．AB＝CD＝CE
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AB交于点E，与AC相切于点D，直线ED交BC的延长线于点F.
(1)求证：BC＝FC；
(2)若AD∶AE＝2∶1，求tanF的值．
19．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E.
(1)求证：EB＝EC＝ED；
(2)试问：在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF·DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．
答案：15.【解】 答案不唯一，如：∠ACO＝∠OCD，AC＝CE，△ACO∽△OCD
16.【解】 连结OE，OA，OB，如解图
∵AC，AB都是⊙O的切线，切点分别是E，B，
∴∠OBA＝∠OEA＝90°，AE＝AB.
又∵OA＝OA，∴Rt△OAE≌Rt△OAB(HL)，
∴∠OAE＝∠OAB＝∠BAC.
∵∠CAD＝60°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠OAB＝×120°＝60°，
∴∠BOA＝30°，
∴OA＝2AB＝16
cm.
∴OB＝＝＝8
(cm)，
∴⊙O的直径是16
cm.
17.【解】 ∵∠1＝60°，∠2＝65°，
∴∠ABC＝180°－∠1－∠2＝55°
∴∠2>∠1>∠ABC
∴AB>BC>AC
∵CA，CD分别切⊙O1于点A，D，CB，CE分别切⊙O2于点B，E，
∴AC＝CD，BC＝CE
∴AB>CE>CD
18.【解】 (1)连结BD.
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠EBD＝90°－∠BED.
∵∠EBF＝90°，
∴∠F＝90°－∠BEF.
∴∠F＝∠EBD.
∵AC切⊙O于点D，
∴∠EBD＝∠ADE＝∠CDF.
∴∠F＝∠CDF，
∴DC＝FC
∵OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线，
∴DC＝BC
∴BC＝FC.
(2)在△ADE和△ABD中，
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABD
∴△ADE∽△ABD，
∴＝＝.
又∵∠F＝∠EBD，
∴tan
F＝tan∠EBD＝＝.
19.【解】 (1)连结OD，BD.
∵ED，EB是⊙O的切线，
∴ED＝EB，∠EDO＝∠EBO.
∵OD＝OB，OE＝OE
∴△ODE≌△OBE，
∴∠DEO＝∠BEO
∴OE垂直平分BD.
又∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD.
∴AD∥OE.
即OE∥AC.
又∵O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线
∴EB＝EC
∴EB＝EC＝ED.
(2)在△DEC中，∵ED＝EC，
∴∠C＝∠CDE，
∴∠DEC＝180°－2∠C.
①当∠DEC>∠C时，有180°－2∠C>∠C，即0°<∠C<60°，在线段DC上存在点F满足BC2＝4DF·DC.
在△DEC中，过点E作∠DEF＝∠C，EF交CD于点F，则点F即为所求．
证明如下：
在△DCE和△DEF中，
∵∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF
∴△DEF∽△DCE，
∴DE2＝DF·DC，
即＝DF·DC，
∴BC2＝4DF·DC.
②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC＝∠C＝60°.
此时，点C即为满足条件的点F，∴DF＝DC＝DE，仍有BC2＝4DE2＝4DF·DC.
③当∠DEC<∠C时，有180°－2∠C<∠C，即60°<∠C<90°，所作的∠DEF>∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F.
