浙教版八年级数学下册单元测试《第5章 特殊平行四边形》（解析版）

《第5章
特殊平行四边形》
一、选择题
1．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线平分一组对角
D．对角线互相垂直
2．如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，连结EC，则∠BEC的度数为（　　）
A．60°
B．45°
C．75°
D．67.5°
3．已知正方形ABCD的边长为2，E、F分别BC和CD边上的中点，则S△AEF=（　　）
A．
B．
C．2
D．
4．如图，正方形ABCD的边长为8，M在CD上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为（　　）
A．8+2
B．4+2
C．8
D．10
　
二、填空题
5．正方形的面积为4，则它的边长为　　，一条对角线长为　　．
6．已知正方形ABCD对角线AC，BD相交于点O，且AC=16cm，则DO=　　cm，BO=　　cm，∠OCD=　　度．
7．如图所示，E是正方形ABCD的BC边的延长线上一点，若CE=CA，AE交CD于F，则∠FAC=　　度．
8．如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是　　；△BPD的面积是　　．
9．如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=　　度．
10．如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，依此类推，若正方形①的边长为64cm，则正方形⑦的边长为　　cm．
11．如图，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，边长分别为a，b，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上，则c=　　（用含有a，b的代数式表示）．
12．如图1，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1，再把正方形A1B1C1D1的各边延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图2），如此进行下去，正方形AnBnCnDn的面积为　　．（用含有n的式子表示，n为正整数）
　
三、解答题
13．如图①，在正方形ABCD中，点E在AC上．
（1）求证：BE=DE；
（2）你能将上面的命题用文字概括成一个命题吗？
（3）你能用这个命题证下面这道题吗？如图②，点P在正方形ABCD的对角线AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F．求证：EF=DP．
14．如图所示，正方形纸片ABCD的边长为1，M，N分别是AD，BC的中点，将点C折叠到MN上，落在点P的位置，折痕为BQ．连结QP，PB，求PN，MP和CQ的长．
15．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（与C，D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．
（1）猜想图1中线段BG，DE的数量关系及所在直线的位置关系（不必证明）；
（2）将图1中的正方形CEFG绕点C按顺时针（或逆时针）方向任意旋转角度α；得到图2，图3．请你通过观察、测量等方法判断（1）中所得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．
　
《第5章
特殊平行四边形》
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线平分一组对角
D．对角线互相垂直
【考点】正方形的性质；菱形的性质．
【分析】根据正方形的性质以及菱形的性质即可判断．
【解答】解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；
菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．
故选B．
【点评】本题主要考查了正方形与菱形的性质，正确对图形的性质的理解记忆是解题的关键．
　
2．如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，连结EC，则∠BEC的度数为（　　）
A．60°
B．45°
C．75°
D．67.5°
【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．
【分析】在□ABCD中，△ABE是等边三角形，可求出∠ABE的大小以及推断出BC=BE，从而可求出∠BEC．
【解答】解：如图，在□ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC．
∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=60°，AB=BE，
∴∠EBC=90°﹣60°=30°，BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC=（180°﹣30°）=75°．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质．根据正方形和等边三角形的性质推知BE=BC是解题的关键．
　
3．已知正方形ABCD的边长为2，E、F分别BC和CD边上的中点，则S△AEF=（　　）
A．
B．
C．2
D．
【考点】正方形的性质；三角形的面积．
【专题】计算题．
【分析】根据公式S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ECF﹣S△ADF即可求得S△AEF
【解答】解：∵S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ECF﹣S△ADF
∵S正方形ABCD=4，S△ABE=1，S△ECF=，S△ADF=1
∴S△AEF=
故选B．
【点评】此题主要考查了正方形及三角形的面积公式．
　
4．如图，正方形ABCD的边长为8，M在CD上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为（　　）
A．8+2
B．4+2
C．8
D．10
【考点】轴对称﹣最短路线问题；勾股定理；正方形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】连接BD交AC于O，连接BM交AC于N，根据正方形的性质推出D、B关于AC对称，求出DN+MN=BM，在△BCM中由勾股定理求出BM即可．
【解答】解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OD=OB，
即D、B关于AC对称，
∴DN=BN，
连接BM交AC于N，则此时DN+MN最小，
∵DN=BN，
∴DN+MN=BN+MN=BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=8，CM=8﹣2=6，
由勾股定理得：BM==10，
∴DN+MN=BM=10，
故选：D．
【点评】本题主要考查对正方形的性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题等知识点的理解和掌握，能求出DN+NM=BM和BM的长是解此题的关键．
　
二、填空题
5．正方形的面积为4，则它的边长为　2　，一条对角线长为　2　．
【考点】正方形的性质．
【分析】根据正方形的面积公式可得到正方形的边长，根据正方形的对角线的求法可得对角线的长．
【解答】解：设正方形的边长为x，则对角线长为=x；
由正方形的面积为4，即x2=4；
解可得x=2，故对角线长为2；
故正方形的边长为2，对角线长为2．
故答案为2，2．
【点评】本题考查正方形的面积公式以及正方形的性质，此题是基础题，比较简单．
　
6．已知正方形ABCD对角线AC，BD相交于点O，且AC=16cm，则DO=　8　cm，BO=　8　cm，∠OCD=　45　度．
【考点】正方形的性质．
【专题】数形结合．
【分析】正方形的对角线相等且互相平分，且AC=16cm，那么DO=AC=8=BO，∠OCD=45°．
【解答】解：∵正方形ABCD，AC=16cm
∴DO=AC=8=BO
∠OCD=45°．
故答案为8，8，45．
【点评】本题考查正方形对角线相等平分垂直的性质．
　
7．如图所示，E是正方形ABCD的BC边的延长线上一点，若CE=CA，AE交CD于F，则∠FAC=　22.5　度．
【考点】正方形的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据正方形的性质及等边对等角的性质可得到，∠CEA=∠CAE，再根据外角的性质即可求得∠FAC的度数．
【解答】解：∵AC为正方形ABCD的对角线
∴∠ACB=45°
∵CE=CA
∴∠CEA=∠CAE
∵∠ACB是∠CEA和∠CAE的外角
∴∠FAC=22.5°
故答案为22.5．
【点评】此题主要利用正方形的对角线平分对角的性质和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．
　
8．如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是　1　；△BPD的面积是　　．
【考点】正方形的性质；等边三角形的性质；特殊角的三角函数值．
【专题】压轴题．
【分析】因为△BPC为等边三角形，则CP=CD=2，△CDP的面积为×2×2sin
30°=1，S△BPD=S△BPC+S△CPD﹣S△BCD=×2×2sin60°+1﹣2×2×=+1﹣2=﹣1．
【解答】解：过P作PM⊥BC于M，PN⊥CD于N，
∵△BPC为等边三角形，PM⊥BC，
∴CP=CD=2，CM=BM=1，
∴PN=CM=1，
由勾股定理得：PM==，
∴△CDP的面积为CD×PN=×2×1=1
∴S△BPD=S△BPC+S△CPD﹣S△BCD=×2×+1﹣2×2×=+1﹣2=﹣1．
【点评】此题根据正四边形的性质和正三角形的形质，确定出∠PCD和∠PCB的度数，利用三角形面积公式解答．
　
9．如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=　135　度．
【考点】全等图形．
【分析】首先利用全等三角形的判定和性质得出∠1+∠3的值，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：∠2=45°，
在△ACB和△DCE中，
，
∴△ACB≌Rt△DCE（SAS），
∴∠ABE=∠3，
∴∠1+∠2+∠3=（∠1+∠3）+45°=90°+45°=135°．
故答案为：135．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，得出∠1+∠3的值是解题关键．
　
10．如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，依此类推，若正方形①的边长为64cm，则正方形⑦的边长为　8　cm．
【考点】正方形的性质；等腰直角三角形．
【专题】规律型．
【分析】第一个正方形的边长为64cm，则第二个正方形的边长为64×cm，第三个正方形的边长为64×（）2cm，依此类推，通过找规律求解．
【解答】解：解：根据题意：第一个正方形的边长为64cm；
第二个正方形的边长为：64×=32cm；
第三个正方形的边长为：64×（）2cm，
…
此后，每一个正方形的边长是上一个正方形的边长的，
所以第7个正方形的边长为64×（））7﹣1=8cm，
故答案为8．
【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
　
11．如图，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，边长分别为a，b，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上，则c=　　（用含有a，b的代数式表示）．
【考点】勾股定理；全等三角形的判定．
【专题】压轴题．
【分析】由三个正方形如图的摆放，易证△CBN≌△NEH，再根据勾股定理即可解答．
【解答】解：由三个正方形如图的摆放，因为四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，所以∠CNB+∠ENH=90°，
又因为∠CNB+∠NCB=90°，∠ENH+∠EHN=90°，所以∠CNB=∠EHN，∠NCB=∠ENH，
又因为CN=NH，∴△CBN≌△NEH，
所以HE=BN，故在Rt△CBN中，BC2+BN2=CN2，
又已知三个正方形的边长分别为a，b，c，
则有a2+b2=c2，
∴c=．
【点评】解答此题的关键是从图中分析得出规律，再利用勾股定理作答．
　
12．如图1，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1，再把正方形A1B1C1D1的各边延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图2），如此进行下去，正方形AnBnCnDn的面积为　5n　．（用含有n的式子表示，n为正整数）
【考点】正方形的性质．
【专题】规律型．
【分析】根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答．
【解答】解：如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△AA1B1的面积是1，
新正方形A1B1C1D1的面积是5，
从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5=25，
…
正方形AnBnCnDn的面积为5n．
故答案为：5n．
【点评】此题考查了正方形的性质和三角形的面积公式，能够从图形中发现规律，此题难度不大．
　
三、解答题
13．如图①，在正方形ABCD中，点E在AC上．
（1）求证：BE=DE；
（2）你能将上面的命题用文字概括成一个命题吗？
（3）你能用这个命题证下面这道题吗？如图②，点P在正方形ABCD的对角线AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F．求证：EF=DP．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，正方形的对角线平分一组对角可得∠BAC=∠DAC=45°，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据BE、DE的位置写出命题即可；
（3）连接PB，求出四边形BFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可EF=PB，再根据（2）的结论证明即可．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE；
（2）解：命题：正方形一条对角线上的点到另一对角线的两端点的距离相等；
（3）证明：如图，连接PB，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠ABC=90°，
∴四边形BFPE是矩形，
∴EF=PB，
由（2）PB=DP，
∴EF=DP．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟记正方形的性质得到三角形全等的条件是解题的关键．
　
14．如图所示，正方形纸片ABCD的边长为1，M，N分别是AD，BC的中点，将点C折叠到MN上，落在点P的位置，折痕为BQ．连结QP，PB，求PN，MP和CQ的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】由中点的定义可得BN=，折叠的性质可得BP=BC=1，在Rt△BPN中，根据勾股定理求PN的值，即可求得MP；由折叠的性质知∠BPQ=∠C=90°，利用直角三角形中的cos∠PBN=BN：PB=1：2，可求得∠PBN=60°，∠PBQ=30°，从而求出CQ=PQ=PBtan30°．
【解答】解：∵ABCD是正方形，M、N分别为AD、BC的中点，
∴ABNM是矩形，BN=BC=，
∵BP=BC=1（折叠的性质），
在Rt△BPN中，
PN==，
∴MP=MN﹣PN=1﹣；
∵∠CBQ=∠PBQ=∠PBC，BC=PB=2BN=1，∠BPQ=∠C=90°
∴cos∠PBN=BN：PB=1：2
∴∠PBN=60°，∠PBQ=30°
∴CQ=PQ=PBtan30°=．
【点评】考查了翻折变换（折叠问题），本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、正方形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．
　
15．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（与C，D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．
（1）猜想图1中线段BG，DE的数量关系及所在直线的位置关系（不必证明）；
（2）将图1中的正方形CEFG绕点C按顺时针（或逆时针）方向任意旋转角度α；得到图2，图3．请你通过观察、测量等方法判断（1）中所得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据全等三角形结合图形判断出BG和DE相等且互相垂直；
（2）根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，然后求出∠BCG=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCG和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=DE，全等三角形对应角相等可得∠CBG=∠CDE，然后求出∠DOH=90°，再根据垂直的定义证明即可．
【解答】（1）解：BG=DE，BG⊥DE；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，
即∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
∵∠CBG+∠BHC=90°，∠BHC=∠DHO（对顶角相等），
∴∠CDE+∠DHO=90°，
在△DHO中，∠DOH=180°﹣（∠CDE+∠DHO）=180°﹣90°=90°，
∴BG⊥DE．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图确定出三角形全等的条件是解题的关键，也是本题的难点．